Introduzione al calcolo combinatorio

Un ristorante offre un menù del giorno con $4$ primi piatti, $3$ secondi piatti e $5$ dessert. In quanti modi diversi si può ordinare un menù completo composto da un primo, un secondo e un dessert?

Una marca di biciclette produce un modello disponibile in $3$ taglie diverse di telaio, $5$ colori e con $2$ tipi di freni diversi. Quante versioni diverse di questo modello di bicicletta esistono sul mercato?

Per proteggere una bicicletta a scuola si utilizza un lucchetto a combinazione con $3$ rotelle girevoli, ciascuna con le cifre da $0$ a $9$. Il proprietario stabilisce che il codice non può iniziare con $0$ e che le tre cifre devono essere diverse tra loro.

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo esatto, stima in modo intuitivo se il numero totale di codici possibili sarà minore di $300$, compreso tra $300$ e $700$, oppure maggiore di $700$. Giustifica brevemente su cosa si basa la tua intuizione iniziale.
2. b) Modella la situazione mediante il principio di moltiplicazione e calcola il numero esatto di codici diversi che soddisfano tali condizioni.
3. c) Verifica se la tua stima iniziale era corretta e rifletti su come cambia il risultato se fosse permesso ripetere le cifre (mantenendo la prima cifra diversa da $0$).

Un test a risposta multipla consta di $10$ domande. Ogni domanda ha $4$ opzioni di risposta, di cui una sola è corretta.

• In quanti modi diversi si può rispondere al test se è obbligatorio scegliere un'opzione in tutte le domande?

• In quanti modi si potrebbe rispondere se è permesso lasciare domande in bianco?

Disegna il diagramma ad albero per l'esperimento che consiste nel lanciare una moneta regolare e, successivamente, lanciare un dado a forma di tetraedro (con le facce numerate da $1$ a $4$). Quanti risultati possibili ha questo esperimento composto?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Per andare dalla città A alla città B ci sono $3$ strade diverse, e per andare dalla città B alla città C ci sono $2$ strade diverse.

• In quanti modi si può viaggiare da A a C passando obbligatoriamente per B?

• Disegna il diagramma ad albero corrispondente a questo viaggio.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Due squadre di pallacanestro, Alfa e Beta, giocano uno spareggio al meglio di $3$ partite (la prima che vince $2$ partite si qualifica). I pareggi non sono possibili. Disegna il diagramma ad albero con tutti gli svolgimenti possibili dello spareggio. In quanti modi diversi può svolgersi la serie di partite?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un'urna ci sono $3$ palline rosse e $2$ palline blu. Si estraggono due palline consecutivamente e senza rimetterle nell'urna (senza reinserimento). Disegna il diagramma ad albero dell'esperimento e calcola quanti risultati diversi si possono ottenere se si tiene conto dell'ordine di estrazione e del colore delle palline.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Due amici, Ionut e Diana, giocano a un gioco da tavolo composto da più round. Il vincitore finale del gioco sarà il primo che riesce a vincere $2$ round consecutivi oppure $3$ round in totale nel corso della partita. Sapendo che i pareggi non sono possibili in nessun round, disegna il diagramma ad albero corrispondente e determina il numero massimo di round che possono essere giocati e quanti svolgimenti diversi ha il gioco.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una password per un sistema informatico deve essere formata da $2$ lettere dell'alfabeto (tra $26$ lettere possibili) seguite da $3$ cifre (da $0$ a $9$), oppure da $3$ lettere seguite da $2$ cifre. Se è permesso ripetere sia le lettere sia le cifre, quante password diverse si possono creare in totale?

Utilizzando soltanto le cifre dell'insieme $\{1, 2, 3, 4, 5\}$:

• Quanti numeri di $4$ cifre distinte si possono formare?

• Quanti di questi numeri formati sono pari?

In un club di lettura giovanile vogliono assegnare a ogni socio una tessera con un codice personalizzato. Il codice è sempre composto da una vocale maiuscola (scelta nell'insieme $\{A, E, I, O, U\}$) seguita da una sequenza di $k$ cifre dispari distinte (scelte nell'insieme $\{1, 3, 5, 7, 9\}$).

L'incaricato del database osserva che, con le condizioni fissate, si possono generare esattamente $300$ codici diversi.

1. a) Imposta un'espressione generale in funzione di $k$ per il numero totale di codici possibili applicando il principio di moltiplicazione.
2. b) Risolvi il problema inverso: determina in modo motivato quante cifre dispari ($k$) deve contenere ogni codice per ottenere esattamente quei $300$ codici.

In un liceo di Napoli ci sono $750$ studenti iscritti in totale. Per gestire il prestito dei computer portatili, si genera per ogni studente un'etichetta identificativa formata da una lettera dell'alfabeto spagnolo ($27$ lettere ufficiali, compresa la Ñ) seguita da una cifra pari appartenente all'insieme $\{0, 2, 4, 6, 8\}$.

1. a) Modella la situazione mediante il principio di moltiplicazione per calcolare quante etichette identificative diverse si possono emettere con questo formato.
2. b) Utilizza il principio dei cassetti per giustificare rigorosamente perché è certo che ci saranno studenti con etichette identiche assegnate.
3. c) Determina qual è il numero minimo di studenti che, con assoluta certezza matematica, condivideranno esattamente la stessa etichetta in tale istituto.

Si vuole disegnare una bandiera con $3$ strisce verticali utilizzando una tavolozza di $5$ colori disponibili.

• In quanti modi si può colorare se due strisce adiacenti non possono avere lo stesso colore?

• In quanti modi si può colorare se, oltre alla condizione precedente, anche la prima e l'ultima striscia devono obbligatoriamente avere colori diversi?

Nel sistema di numerazione decimale, consideriamo tutti i numeri interi compresi tra $1000$ e $9999$ (entrambi inclusi). Quanti di questi numeri contengono la cifra $7$ almeno una volta nella loro scrittura?

In una classe di $20$ studenti si deve eleggere un comitato direttivo formato da un presidente, un vicepresidente e un segretario (cariche distinte che non possono essere ricoperte contemporaneamente dalla stessa persona). Una volta eletto il comitato direttivo, si deve scegliere un delegato per lo sport tra i $17$ studenti rimanenti. In quanti modi diversi si può svolgere tutto questo processo di selezione?

Un numero palindromo è un numero che si legge allo stesso modo da sinistra a destra e da destra a sinistra (per esempio, il numero $35153$).

• Quanti numeri palindromi di $5$ cifre esistono in totale?

• Quanti di questi numeri palindromi di $5$ cifre sono numeri pari?

Nel pronto soccorso di un ospedale di zona devono essere coperti i turni del fine settimana assegnando un medico per il sabato e uno diverso per la domenica, scelti tra una squadra di $6$ professionisti disponibili: Anna, Biagio, Chiara, Davide, Elena e Felice. Per motivi di riposo dopo un intervento precedente, Anna e Biagio non possono essere di turno nello stesso fine settimana (cioè non può accadere che uno faccia il turno il sabato e l'altro la domenica).

Per calcolare il numero di turni validi possibili, due specializzandi suggeriscono strategie diverse:

• Strategia A (Conteggio diretto per casi): Sommare le opzioni in cui non partecipa nessuno dei due medici incompatibili e le opzioni in cui partecipa esattamente uno di loro.

• Strategia B (Conteggio per complementare): Calcolare tutte le assegnazioni possibili di medici distinti per sabato e domenica senza restrizioni e sottrarre i casi vietati in cui coincidono Anna e Biagio.

1. a) Sviluppa dettagliatamente i calcoli passo dopo passo seguendo la Strategia A e poi la Strategia B, verificando che entrambi i percorsi portano allo stesso risultato numerico.
2. b) Confronta i due procedimenti e giustifica quale dei due risulta più vantaggioso e meno soggetto a errori se la squadra fosse composta da $25$ medici invece di $6$, mantenendo la stessa restrizione tra Anna e Biagio.

L'Aeronautica Militare classifica le osservazioni del vento in una stazione delle Alpi secondo due variabili simultanee: la direzione, che assume uno degli $8$ punti cardinali principali (N, NE, E, SE, S, SO, O, NO), e la forza, suddivisa in $3$ livelli (debole, moderato, forte).

1. a) Ogni giorno si registrano tre misurazioni indipendenti: alle 08:00, alle 14:00 e alle 20:00. Un «rapporto giornaliero» consiste nella terna ordinata di queste tre misurazioni complete (direzione e forza in ciascuna). Applica il principio di moltiplicazione per calcolare quanti rapporti giornalieri diversi si possono teoricamente registrare.
2. b) Una ricercatrice afferma: «Se analizziamo soltanto la misurazione delle 14:00 nel corso di un anno bisestile ($366$ giorni), è matematicamente certo che ci sarà almeno una combinazione di direzione e forza che si sarà ripetuta un minimo di $16$ volte». Giustifica formalmente se questa affermazione è vera o falsa utilizzando il principio dei cassetti (identificando con chiarezza quali sono gli oggetti o piccioni e quali i gruppi o cassetti).
3. c) Qual è il numero minimo di giorni in cui dovrebbero essere registrate le misurazioni delle 14:00 per garantire con assoluta certezza matematica che una qualche combinazione si sia ripetuta almeno $20$ volte? Giustifica la tua risposta.

Osserva il reticolo della figura. Un robot si sposta dal punto A al punto B muovendosi soltanto verso destra o verso l'alto lungo le linee del reticolo. Quanti percorsi diversi può seguire il robot per raggiungere la sua destinazione?

Calcola il valore delle seguenti espressioni numeriche utilizzando le proprietà dei fattoriali:

• $\frac{8!}{6!}$

• $4! + 3!$

Esprimi i seguenti prodotti utilizzando la notazione matematica del fattoriale:

• $15 \cdot 14 \cdot 13$

• $7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$

Matteo sta risolvendo un problema di semplificazione con i fattoriali e presenta alla lavagna il seguente svolgimento:

1. a) Indica con precisione l'errore algebrico commesso da Matteo e spiega perché non è valido semplificare la frazione in quel modo.
2. b) Risolvi correttamente l'espressione applicando le proprietà del fattoriale (scomponendo $7!$ in funzione di $5!$ oppure raccogliendo a fattor comune) e trova il suo valore numerico finale.

Semplifica l'espressione algebrica $\frac{(x+2)!}{x!}$ e, successivamente, risolvi l'equazione $\frac{(x+2)!}{x!} = 72$.

Risolvi la seguente equazione con i fattoriali, sapendo che $n$ è un numero naturale:

Dimostra algebricamente la seguente identità valida per qualsiasi numero naturale $n \ge 1$:

Una volta dimostrata, applica questo risultato per semplificare e calcolare il valore esatto dell'espressione $\frac{10! + 9!}{11!}$.

Nel cassetto di un comò ci sono calzini spaiati di $3$ colori diversi (neri, bianchi e blu). Se va via la luce e prendi i calzini al buio, qual è il numero minimo di calzini che devi estrarre per essere sicuro di avere almeno un paio dello stesso colore?

In un liceo ci sono $400$ studenti iscritti.

• Giustifica matematicamente perché puoi affermare con certezza che almeno due studenti compiono gli anni lo stesso giorno dell'anno.

• Quanti studenti servirebbero come minimo nella scuola per garantire che almeno tre di essi condividano la data di compleanno? (Considera anni non bisestili di $365$ giorni).

Si scelgono a caso $5$ punti all'interno di un quadrato di lato $2\text{ cm}$. Dimostra, utilizzando il principio dei cassetti, che ci saranno sempre almeno due punti la cui distanza sia minore o uguale a $\sqrt{2}\text{ cm}$. (Suggerimento: dividi il quadrato in regioni strategiche).