Misura degli angoli: gradi e radianti
Una ruota panoramica compie un giro in pochi minuti: quanto spazio percorre una cabina mentre la ruota gira di un certo angolo? Finora hai misurato gli angoli in gradi, una scelta storica (360 parti per un giro) senza alcun legame con la circonferenza. In matematica e in fisica si usa un'altra unità, il radiante, che nasce direttamente dal confronto tra un arco e il suo raggio e rende molto più semplici le formule.
Il radiante: l'arco lungo quanto il raggio
Immagina di prendere un filo lungo quanto il raggio di una circonferenza e di appoggiarlo lungo il bordo. L'angolo al centro che sottende quell'arco è di un radiante. Non conta se la circonferenza è piccola o grande: il rapporto tra arco e raggio, per un dato angolo, è sempre lo stesso.
Per descrivere gli angoli orientati si usa la circonferenza goniometrica: una circonferenza di raggio $1$ con centro nell'origine degli assi. Si parte dal semiasse positivo delle $x$ e si ruota in verso antiorario (angolo positivo) o orario (angolo negativo); l'arco percorso, di raggio $1$, misura proprio l'angolo in radianti.
La circonferenza è lunga $2\pi r$ e ogni radiante sottende un arco lungo $r$: in un angolo giro ci sono quindi $2\pi$ radianti. Per questo $360^\circ = 2\pi$ rad e $180^\circ = \pi$ rad.
Un angolo misura esattamente $3$ radianti. Senza usare la calcolatrice, stabilisci se questo angolo è maggiore, minore o uguale a un angolo piatto ($180^\circ$) e…
Un angolo misura esattamente $3$ radianti. Senza usare la calcolatrice, stabilisci se questo angolo è maggiore, minore o uguale a un angolo piatto ($180^\circ$) e determina in quale quadrante si trova.
Conversione tra gradi e radianti
Poiché $360^\circ$ corrispondono a $2\pi$ rad, basta una proporzione.
Esprimi in radianti, usando frazioni ridotte ai minimi termini di $\pi$, i seguenti angoli dati in gradi sessagesimali: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ e…
Esprimi in radianti, usando frazioni ridotte ai minimi termini di $\pi$, i seguenti angoli dati in gradi sessagesimali: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ e $330^\circ$.
Converti in gradi sessagesimali i seguenti angoli espressi in radianti: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ e $\frac{11\pi}{3}$.
Converti in gradi sessagesimali i seguenti angoli espressi in radianti: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ e $\frac{11\pi}{3}$.
Calcola la somma degli angoli interni di un ottagono regolare ed esprimi in radianti il valore di ciascuno dei suoi angoli interni, usando frazioni di $\pi$.
Calcola la somma degli angoli interni di un ottagono regolare ed esprimi in radianti il valore di ciascuno dei suoi angoli interni, usando frazioni di $\pi$.
Angoli oltre il giro, angoli negativi e quadranti
Un angolo orientato è positivo se la rotazione è in verso antiorario, negativo se è in verso orario. Può anche superare un giro: $2\pi$ rad ($360^\circ$). Per capire dove cade il lato finale, si aggiungono o si tolgono giri completi fino a ottenere un angolo in $[0; 2\pi)$ (oppure in $[0^\circ; 360^\circ)$).
Riduci i seguenti angoli al primo giro (cioè trova l'angolo equivalente compreso tra $0^\circ$ e $360^\circ$) e indica in quale quadrante si trova il lato finale di…
Riduci i seguenti angoli al primo giro (cioè trova l'angolo equivalente compreso tra $0^\circ$ e $360^\circ$) e indica in quale quadrante si trova il lato finale di ciascuno: $1250^\circ$ e $2460^\circ$.
Trova l'angolo positivo equivalente nel primo giro (compreso tra $0$ e $2\pi$ rad) per i seguenti angoli negativi: $-\frac{\pi}{4}$ e $-\frac{13\pi}{6}$.
Trova l'angolo positivo equivalente nel primo giro (compreso tra $0$ e $2\pi$ rad) per i seguenti angoli negativi: $-\frac{\pi}{4}$ e $-\frac{13\pi}{6}$.
Lunghezza dell'arco e area del settore circolare
Qui il radiante mostra la sua utilità: poiché $1$ rad sottende un arco lungo quanto il raggio, un angolo $\theta$ (in radianti) sottende un arco lungo $\theta$ volte il raggio.
Calcola l'angolo al centro sotteso da un arco lungo $12$ cm in una circonferenza di raggio $4$ cm. Esprimi il risultato sia in radianti sia in gradi sessagesimali.
Calcola l'angolo al centro sotteso da un arco lungo $12$ cm in una circonferenza di raggio $4$ cm. Esprimi il risultato sia in radianti sia in gradi sessagesimali.
Determina la lunghezza dell'arco descritto dall'estremo inferiore di un pendolo lungo $60$ cm quando oscilla di un angolo di $\frac{\pi}{8}$ radianti.
Determina la lunghezza dell'arco descritto dall'estremo inferiore di un pendolo lungo $60$ cm quando oscilla di un angolo di $\frac{\pi}{8}$ radianti.
Lucia deve calcolare l'area di un'aiuola a forma di settore circolare, il cui raggio misura $6\text{ m}$ e il cui angolo al centro è di $45^\circ$. Per risolvere,…
Lucia deve calcolare l'area di un'aiuola a forma di settore circolare, il cui raggio misura $6\text{ m}$ e il cui angolo al centro è di $45^\circ$. Per risolvere, applica direttamente la formula $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ e scrive nel compito:
$$A = \frac{1}{2}\cdot 6^2\cdot 45 = 18\cdot 45 = 810\text{ m}^2$$Vedendo il risultato, l'insegnante le dice di rivedere i calcoli, perché il cerchio completo di raggio $6\text{ m}$ ha una superficie di appena $113,1\text{ m}^2$ circa. Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso da Lucia, giustifica perché la formula usata richiede che l'angolo sia espresso in radianti e calcola la soluzione corretta sia in forma esatta (in funzione di $\pi$) sia con approssimazione a due cifre decimali.
Un irrigatore agricolo copre un settore circolare. Il getto d'acqua raggiunge una distanza massima di $18$ metri e la testa dell'irrigatore spazza un angolo di…
Un irrigatore agricolo copre un settore circolare. Il getto d'acqua raggiunge una distanza massima di $18$ metri e la testa dell'irrigatore spazza un angolo di $140^\circ$. Calcola l'area totale del terreno irrigato e la lunghezza dell'arco esterno descritto dall'acqua.
Velocità angolare
Quando un oggetto ruota (un disco, una ruota, il fascio di un faro) interessa l'angolo descritto nell'unità di tempo: è la velocità angolare $\omega$, misurata in rad/s.
Un disco in vinile gira su un giradischi a una velocità di $33$ giri al minuto (rpm). Calcola la sua velocità angolare in radianti al secondo e determina l'angolo, in…
Un disco in vinile gira su un giradischi a una velocità di $33$ giri al minuto (rpm). Calcola la sua velocità angolare in radianti al secondo e determina l'angolo, in radianti, descritto da un punto del suo bordo in $2,5$ secondi.
Il sistema di trasmissione di una macchina industriale è formato da due pulegge collegate da una cinghia tesa. La puleggia motrice ha un raggio di $15$ cm e la puleggia…
Il sistema di trasmissione di una macchina industriale è formato da due pulegge collegate da una cinghia tesa. La puleggia motrice ha un raggio di $15$ cm e la puleggia condotta ha un raggio di $45$ cm. Se la puleggia motrice ruota di un angolo di $\frac{7\pi}{2}$ radianti, calcola di quanti radianti ruota la puleggia condotta e quanti giri completi compie.
Il raggio delle ruote di un'automobile è di $32$ cm. Se il veicolo viaggia a una velocità costante di $90$ km/h, calcola la velocità angolare delle ruote espressa in…
Il raggio delle ruote di un'automobile è di $32$ cm. Se il veicolo viaggia a una velocità costante di $90$ km/h, calcola la velocità angolare delle ruote espressa in radianti al secondo. Determina poi l'angolo totale ruotato da una ruota in un tragitto di $15$ minuti e convertilo in numero di giri completi.
Torna all'inizio: la cabina della ruota panoramica percorre un arco $s=r\theta$, con $r$ il raggio della ruota e $\theta$ l'angolo in radianti.