Potenze con esponente razionale. Radicali

Il volume di un container cubico utilizzato per il trasporto di merci tecnologiche è di $V = 16\sqrt{2}$ metri cubi.

1. a) Esprimi lo spigolo del cubo come potenza di base 2.
2. b) Calcola la lunghezza esatta dello spigolo sotto forma di radicale semplificato.

Un professore propone ai suoi studenti di ricostruire un'espressione radicale originale $\sqrt[n]{M}$, dove $n$ è un numero naturale ($n \ge 2$) e $M = c \cdot x^p \cdot y^q$ è un monomio con $c, p, q \in \mathbb{N}$, a partire dal risultato ottenuto semplificandola.

Tale risultato semplificato, espresso come prodotto di potenze con esponente razionale irriducibile, è:

$$2 \cdot x^{5/6} \cdot y^{4/3}$$

1. a) Deduci il minimo indice comune $n$ necessario per scrivere tutto il prodotto sotto un unico radicale della forma $\sqrt[n]{M}$, in modo che nel radicando $M$ non compaia alcuna potenza frazionaria.
2. b) Determina l'espressione esplicita del radicando $M = c \cdot x^p \cdot y^q$ (calcolando il valore intero del coefficiente $c$ e gli esponenti $p$ e $q$).
3. c) A partire dall'unico radicale $\sqrt[n]{M}$ trovato, esegui il procedimento standard di estrazione dei fattori e verifica che si ottenga di nuovo l'espressione semplificata. Indica con chiarezza quanti fattori di $y$ escono dalla radice e quanti rimangono all'interno.

Semplifica la seguente espressione algebrica operando con i radicali e portando fuori tutti i fattori possibili. Esprimi il risultato finale utilizzando un unico radicale:

$\displaystyle \frac{\sqrt{x^3 \cdot \sqrt[3]{x^2 \cdot y}}}{\sqrt[6]{x \cdot y^5}} \cdot \left( \frac{x}{y^2} \right)^{-1/2}$

Semplifica la seguente espressione combinata, lasciando il risultato nella forma più semplificata possibile:

$\displaystyle \frac{\left( \sqrt[3]{a^2 \cdot b} \right)^2 \cdot \sqrt{a \cdot b^3}}{\sqrt[6]{a^5 \cdot b}}$

Per semplificare la seguente espressione con variabili reali positive:

$$E = \frac{\sqrt{x \cdot \sqrt[3]{x^2}}}{\sqrt[4]{x^3 \cdot \sqrt{x}}}$$

due studenti del primo anno di liceo propongono due diversi metodi di risoluzione:

• Metodo A (radicali e minimo comune indice): introdurre i fattori dentro i radicali annidati successivi, moltiplicare gli indici delle radici consecutive, trovare il minimo comune multiplo degli indici del numeratore e del denominatore per unificare in un solo radicale e semplificare la frazione risultante.

• Metodo B (esponenti razionali): convertire subito ogni radice in potenza con esponente frazionario, applicare le proprietà del prodotto e del quoziente di potenze con la stessa base sommando e sottraendo frazioni, e infine esprimere il risultato come radicale semplificato.

1. a) Risolvi la semplificazione di $E$ passo dopo passo seguendo il Metodo A, esplicitando ogni trasformazione sui radicali.
2. b) Risolvi la semplificazione di $E$ passo dopo passo seguendo il Metodo B, mostrando in dettaglio le operazioni aritmetiche con gli esponenti razionali.
3. c) Confronta criticamente i due metodi: spiega quale dei due risulta più vantaggioso e sicuro quando l'espressione algebrica contiene più basi diverse con esponenti negativi, come ad esempio in espressioni del tipo $\left(x^2 \cdot y^{-3}\right)^{-1/4}$.

Secondo dati sul mercato immobiliare basati sull'indice dei prezzi al consumo (ISTAT), il prezzo medio al metro quadro degli affitti in una determinata città italiana ha accumulato un aumento del $33,1\,\%$ nell'arco di 3 anni consecutivi.

1. a) Modella l'evoluzione del prezzo considerando un fattore di crescita annuo costante $k = (1 + r)$, dove $r$ è il tasso annuo espresso in forma decimale. Scrivi la relazione tra il prezzo iniziale $P_0$ e il prezzo finale $P_3$, e ricava $k$ esprimendolo sotto forma di radicale e come potenza con esponente frazionario.
2. b) Sapendo che $1,331 = 1,1^3$, calcola il valore esatto del tasso di variazione annuo $r$ ed esprimilo in percentuale.
3. c) Un rappresentante dei residenti afferma sulla stampa che l'affitto è aumentato «del $11,03\,\%$ ogni anno», avendo diviso $33,1\,\%$ per 3. Dimostra mediante l'uso delle potenze perché questo ragionamento è errato e giustifica se la semplice divisione sovrastima o sottostima il tasso annuo reale.
4. d) Se un contratto di affitto aumenta a questo stesso ritmo costante del $10\,\%$ annuo ($k = 1,1$), per quale fattore risulterà moltiplicato il prezzo dopo un anno e mezzo ($t = 1,5$ anni)? Esprimi tale fattore come potenza razionale, trasformalo in radicale semplificato e spiega se l'aumento a 18 mesi è superiore, inferiore o uguale al $15\,\%$.

Trova il valore di $x$ affinché valga la seguente uguaglianza, semplificando prima tutti i radicali:

$\displaystyle \sqrt{125x} - 2\sqrt{45x} + \sqrt{500x} = 18\sqrt{5}$

Calcola il valore esatto dell'area totale di un ottaedro regolare (formato da due piramidi quadrangolari unite per la base) il cui spigolo misura $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ cm. Devi lasciare il risultato semplificato con radicali, senza utilizzare approssimazioni decimali.

(Suggerimento: l'area di un triangolo equilatero di lato $a$ è $A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$)

Un architetto progetta una finestra a forma di triangolo rettangolo. Si sa che l'ipotenusa misura $\sqrt[4]{1024}$ metri e uno dei cateti misura $\sqrt{2}$ metri.

1. a) Calcola la misura esatta dell'altro cateto sotto forma di radicale semplificato.
2. b) Calcola l'area della finestra. L'area è un numero razionale o irrazionale? Giustifica la tua risposta.

Si vuole costruire un serbatoio cubico d'acqua la cui diagonale interna misuri esattamente $\sqrt{108}$ metri.

1. a) Dimostra che lo spigolo del serbatoio è un numero razionale.
2. b) Se il costo per impermeabilizzare le pareti interne (le 4 facce laterali e il fondo) è di $150 \cdot \sqrt{3}$ euro al metro quadrato, calcola il costo totale esatto dell'opera.

In economia aziendale, la funzione di produzione di Cobb-Douglas permette di modellizzare la quantità di prodotto $Y$ che un'azienda genera a partire dalle unità di capitale investito ($K$) e dalle ore di lavoro impiegate ($L$). Per un'azienda di trasporti e logistica, il modello è:

$$Y = 4 \cdot K^{0,75} \cdot L^{0,25} \quad (K > 0, \; L > 0)$$

1. a) Esprimi la funzione $Y$ utilizzando un unico radicale con il minore indice naturale possibile, raggruppando le variabili $K$ e $L$ nel suo radicando.
2. b) Una funzione presenta «rendimenti di scala costanti» se, moltiplicando contemporaneamente tutti i fattori di produzione per un fattore $\lambda > 0$, la produzione finale risulta moltiplicata esattamente per lo stesso fattore $\lambda$ (cioè $Y(\lambda K, \lambda L) = \lambda \cdot Y(K, L)$). Utilizza le proprietà algebriche delle potenze con esponente razionale per dimostrare rigorosamente se questa azienda presenta o no rendimenti di scala costanti quando raddoppia le proprie risorse ($\lambda = 2$).
3. c) Durante un trimestre, l'azienda impiega $K = 16$ unità di capitale e $L = 81$ ore di lavoro. Calcola la produzione esatta $Y$ senza usare la calcolatrice, mostrando la scomposizione delle basi in fattori primi e il calcolo con gli esponenti razionali.
4. d) Se la direzione dell'azienda decide di quadruplicare solo l'investimento in capitale ($4K$) mantenendo costante il lavoro $L$, per quale fattore risulta moltiplicata la produzione totale $Y$? Esprimilo sotto forma di potenza di base 2 e sotto forma di radicale semplificato, e spiega perché questo aumento non arriva a quadruplicare la produzione finale.