Equazioni goniometriche elementari

Le equazioni $\operatorname{sen} x = a$ e $\cos x = a$

Sulla circonferenza goniometrica, il seno di un angolo è l'ordinata del punto associato all'angolo, il coseno è la sua ascissa. Risolvere $\operatorname{sen} x = a$ significa quindi chiedersi: quali punti della circonferenza hanno ordinata $a$?

Se $-1 \le a \le 1$, la retta orizzontale $y = a$ taglia la circonferenza in due punti (in uno solo se $a = \pm 1$). Se $|a| > 1$ non la taglia: l'equazione è impossibile, perché seno e coseno sono sempre compresi tra $-1$ e $1$.

Per $\operatorname{sen} x = \frac{1}{2}$ i due punti corrispondono a $\frac{\pi}{6}$ e a $\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Per il coseno la retta è verticale $x = a$ e i due angoli sono simmetrici rispetto all'asse $x$: $\alpha$ e $2\pi - \alpha$.

Seno e coseno sono periodici di periodo $2\pi$: dopo un giro completo si ripassa dagli stessi punti. Perciò, se vuoi tutte le soluzioni reali, aggiungi $2k\pi$ con $k \in \mathbb{Z}$.

Prova a muovere il valore di $a$ e osserva quante volte la retta $y=a$ incontra la sinusoide in un periodo.

L'equazione $\operatorname{tg} x = a$

La tangente è il coefficiente angolare della retta che passa per l'origine e per il punto associato all'angolo. Per ogni numero reale $a$ esiste una retta con coefficiente angolare $a$, e quindi un angolo con $\operatorname{tg}\alpha = a$: l'equazione $\operatorname{tg} x = a$ ha soluzioni per ogni $a$, senza limiti.

Una retta per l'origine incontra la circonferenza in due punti opposti, cioè angoli che differiscono di $\pi$. Per questo la tangente ha periodo $\pi$ e non $2\pi$.

Argomenti più complessi

Spesso l'incognita compare in un'espressione come $2x$ oppure $x - \frac{\pi}{6}$. Il metodo è sempre lo stesso:

1. isola la funzione goniometrica (es. $\operatorname{sen}(\ldots) = a$);

2. poni l'argomento uguale a $t$ e risolvi l'equazione elementare in $t$;

3. torna a $x$ risolvendo l'equazione di primo grado ottenuta;

4. se serve, scegli le soluzioni nell'intervallo richiesto assegnando valori a $k$.

Uguaglianze tra funzioni e disequazioni semplici

Per risolvere un'equazione in cui compaiono due funzioni goniometriche si usano le proprietà dei punti sulla circonferenza.

Quando compaiono seno e coseno insieme, come in $\operatorname{sen} x = \cos x$, si può dividere per $\cos x$ (se $\cos x \ne 0$) e ottenere $\operatorname{tg} x = 1$. Se invece $\cos x = 0$, allora $\operatorname{sen} x = \pm 1 \ne 0$: quei valori non sono soluzioni, quindi dividere non fa perdere nulla.

Una disequazione semplice

Per $\operatorname{sen} x > a$ si segue il grafico: si risolve prima l'equazione, poi si guarda in quali archi la sinusoide sta sopra la retta $y = a$.

Equazioni goniometriche e fenomeni periodici

Molti fenomeni che si ripetono (onde sonore, maree, giorni di luce, ruote che girano) sono descritti da funzioni del tipo $a\operatorname{sen}(bt + c) + d$. Chiedersi «quando» succede qualcosa significa risolvere un'equazione goniometrica.

Siamo tornati alla domanda iniziale: la cabina si trova a 14 m dopo 20 s e dopo 40 s di ogni giro, cioè due volte per periodo, come due sono le soluzioni di un'equazione elementare in un giro.

In sintesi

• $\operatorname{sen} x = a$ e $\cos x = a$ hanno soluzioni solo se $-1 \le a \le 1$: due punti sulla circonferenza goniometrica, e le soluzioni si ripetono ogni $2\pi$.

• $\operatorname{sen} x = a \Rightarrow x = \alpha + 2k\pi$ oppure $x = \pi - \alpha + 2k\pi$; $\cos x = a \Rightarrow x = \pm\alpha + 2k\pi$.

• $\operatorname{tg} x = a$ ha sempre soluzioni: $x = \alpha + k\pi$.

• Con argomenti come $2x$ o $x - \frac{\pi}{6}$: poni l'argomento uguale a $t$, risolvi in $t$, torna a $x$ e dividi anche il periodo.

• $\operatorname{sen}\alpha = \operatorname{sen}\beta$ se gli angoli sono uguali o supplementari; $\cos\alpha = \cos\beta$ se sono uguali od opposti (a meno di $2k\pi$).

• Per le disequazioni semplici risolvi l'equazione associata e controlla in quali archi vale la disuguaglianza.