Dominio, codominio, simmetria, periodicità, intersezioni e segno

Determina il dominio di definizione delle seguenti funzioni analitiche:

1. $f(x) = \frac{x + 5}{x - 4}$

2. $g(x) = x^2 - 3x + 2$

3. $h(x) = \sqrt{x - 3}$

Determina il dominio delle seguenti funzioni logaritmiche ricordando che l'argomento deve essere strettamente maggiore di zero:

1. $f(x) = \log(x + 2)$

2. $g(x) = \ln(6 - 2x)$

Data la funzione $f(x) = \frac{2x - 6}{x + 3}$, calcola:

1. Il suo dominio di definizione.

2. Le intersezioni con gli assi $OX$ e $OY$.

3. Trova il valore di $x$ per cui l'immagine è $y = 1$.

4. Motiva se il valore $y = 2$ appartiene al codominio della funzione.

Un gruppo di biologi sta studiando la vitalità di una popolazione di microrganismi in un ambiente controllato. Il tasso di crescita potenziale della colonia, in funzione della temperatura dell'acqua $x$ (in gradi Celsius), è modellizzato dall'espressione:

$$f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 16}}{\ln(x - 5)}$$

Determina in modo ragionato il dominio di definizione di questa funzione, tenendo conto delle restrizioni della radice quadrata, del logaritmo naturale e del denominatore della frazione. Interpreta il risultato indicando da quale temperatura è possibile iniziare l'esperimento.

Un dispositivo intelligente registra il livello della batteria di un telefono cellulare nel corso di una mattina. La funzione $B(t)$ rappresenta la percentuale di carica in funzione del tempo $t$ (in ore) trascorso dalle 8:00.

Osservando il grafico, indica:

1. Il dominio della funzione (intervallo di tempo registrato).

2. Il codominio o insieme immagine (valori minimo e massimo della batteria).

3. In quali momenti la batteria rimane costante?

Un sismografo ha registrato l'intensità di una scossa di assestamento dopo un piccolo terremoto. Il grafico dell'intensità $I$ (in gradi) rispetto al tempo $t$ (in minuti) è dato dalla seguente immagine:

Dal grafico, individua:

1. Il dominio e il codominio (insieme immagine) della funzione.

2. Gli intervalli in cui l'intensità è positiva.

3. Esiste qualche istante in cui l'intensità è nulla? Indica i valori di $t$.

Una piattaforma di streaming offre due piani mensili. Il piano "Premium" costa 15 € fissi al mese e include 100 ore di contenuti. A partire dall'ora 100, l'utente deve pagare 0,50 € per ogni ora aggiuntiva.

1. Scrivi l'espressione analitica della funzione definita a tratti che mette in relazione il costo mensile $C$ con le ore di visione $h$.

2. Rappresenta graficamente la funzione.

3. Determina il codominio della funzione se il massimo di ore che un utente può guardare al mese è 300.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Studia la simmetria (pari, dispari o nessuna) delle seguenti funzioni calcolando $f(-x)$:

1. $f(x) = x^4 + 3x^2$

2. $g(x) = x^3 - x$

3. $h(x) = \frac{2}{x}$

Determina algebricamente se le seguenti funzioni presentano qualche tipo di simmetria (pari, dispari o nessuna):

1. a) $f(x) = \frac{3x^2}{x^4 + 5}$

1. b) $g(x) = \frac{x^3 - x}{x^2 + 1}$

1. c) $h(x) = 2x^2 - 3x + 1$

Un analista finanziario utilizza la funzione $P(x) = \log_2(x^2 - kx + 9)$ per prevedere l'andamento di un indice di borsa.

1. a) Per quali valori del parametro $k$ il dominio della funzione è l'intero insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$?
2. b) Se $k = 6$, determina il dominio della funzione e le intersezioni con l'asse x.
3. c) Per $k = 0$, studia la simmetria della funzione e spiega se è pari, dispari o nessuna delle due.

Dato il seguente grafico che rappresenta il ritmo respiratorio di uno sportivo a riposo (volume d'aria in litri in funzione del tempo in secondi), individua motivando se la funzione è periodica e, in caso affermativo, indica qual è il suo periodo.

L'altezza di una cabina di una ruota panoramica rispetto al suolo, in metri, è data da una funzione periodica. Osserva lo schema di un ciclo completo:

Se la ruota panoramica impiega 8 minuti per fare un giro completo e l'altezza minima è di 2 metri e la massima di 25 metri:

1. Indica qual è il periodo della funzione.

2. Determina il codominio della funzione altezza.

3. Se iniziamo a contare il tempo nel punto più basso, qual sarà l'altezza dopo 4 minuti? E dopo 12 minuti?

Tipo: MODELLIZZA

Nel golfo di Napoli, l'altezza del livello del mare varia in modo periodico per l'azione delle maree. In base alle registrazioni dei mareografi, l'altezza $h(t)$ dell'acqua in metri, trascorse $t$ ore dalle 00:00 di un certo giorno, si approssima con la funzione:

$$h(t) = 3 + 1,8 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6} \cdot t\right), \quad t \in [0, 24]$$

Rispondi motivando alle seguenti questioni:

1. Giustifica perché si tratta di una funzione periodica e calcola il suo periodo $T$. Quale interpretazione fisica ha questo valore nel ciclo giornaliero delle maree?

2. Determina il codominio o insieme immagine della funzione, $\text{Im}(h)$, indicando motivando l'altezza massima (alta marea) e l'altezza minima (bassa marea).

3. Affinché le imbarcazioni da diporto possano entrare in sicurezza nel porto, è necessaria una profondità minima di $2,1\text{ m}$. Imposta la disequazione corrispondente e determina, studiando il segno di $h(t) - 2,1$, durante quale intervallo di tempo tra le 00:00 e le 12:00 è sicuro effettuare la manovra di ingresso.

La temperatura media $T$ (in °C) di una città costiera nell'arco di un anno si può approssimare mediante una funzione periodica. Si sa che la temperatura minima è $8^\circ\text{C}$ (raggiunta all'inizio di gennaio, $t=0$) e la massima è $28^\circ\text{C}$ (raggiunta all'inizio di luglio, $t=6$). La funzione risponde al modello:

$$T(t) = A \cdot \cos(Bt) + C$$

1. a) Determina i valori di $A$, $B$ e $C$ sapendo che il periodo è di 12 mesi.
2. b) Calcola in quali mesi dell'anno la temperatura è superiore a $23^\circ\text{C}$ (intervalli di segno della differenza $T(t) - 23$).
3. c) Indica i punti di intersezione della funzione con la retta orizzontale $y = 18$.

Trova i punti di intersezione con gli assi coordinati per la funzione quadratica che rappresenta il guadagno di un piccolo negozio di magliette:

$B(x) = -x^2 + 6x - 5$

(Dove $x$ è il prezzo in euro e $B(x)$ il guadagno in centinaia di euro).

Dal grafico della funzione $f(x)$ mostrato di seguito, determina:

1. a) Il valore delle intersezioni con l'asse $Y$ e con l'asse $X$.

1. b) Gli intervalli in cui la funzione è positiva.

Tipo: PROBLEMA INVERSO

Una società di ricerche di mercato deve definire una funzione razionale elementare della forma:

$$f(x) = \frac{a \cdot x + b}{x + c}$$

per modellizzare il livello di soddisfazione dei clienti in funzione del tempo di attesa $x$ (in minuti).

Affinché il modello sia coerente con le osservazioni sul campo, la funzione deve soddisfare contemporaneamente queste tre condizioni:

1. Il suo dominio matematico deve essere $\mathbb{R} \setminus \{3\}$.

2. Interseca l'asse delle ascisse ($X$) nel punto $(-2, 0)$.

3. Interseca l'asse delle ordinate ($Y$) nel punto $(0, 4)$.

Svolgi i seguenti compiti:

1. Deduci passo dopo passo e in modo motivato i valori dei parametri $a$, $b$ e $c$.

2. Spiega perché il valore ottenuto per $c$ garantisce che ci sia un solo valore escluso dal dominio.

3. Una volta ottenuta la funzione, motiva se è possibile che intersechi l'asse $X$ in qualche altro punto diverso da $(-2, 0)$ senza dover rifare i calcoli.

Sia data la funzione $f(x) = |x^2 - 2x - 3|$.

1. a) Esprimi la funzione come funzione definita a tratti eliminando il valore assoluto.

1. b) Trova i punti di intersezione con gli assi e studia il segno della funzione originale.

1. c) Determina il dominio e il codominio della funzione. La funzione è simmetrica rispetto alla retta $x = 1$? Giustifica la tua risposta.

Studia il segno della funzione lineare $f(x) = 3x - 9$. Per farlo:

1. Calcola il punto in cui la funzione si annulla (punto di intersezione con l'asse $X$).

2. Indica in quale intervallo di $x$ la funzione è positiva ($f(x) > 0$) e in quale è negativa ($f(x) < 0$).

Data la funzione analitica $f(x) = \frac{\sqrt{x+5}}{x^2 - 16}$, svolgi i seguenti compiti:

1. Determina il dominio di definizione della funzione, esprimendo il risultato sotto forma di intervallo.

2. Calcola i punti di intersezione con gli assi coordinati.

3. Studia il segno della funzione nel suo dominio.

Studia i punti di intersezione con gli assi e il segno della funzione logaritmica:

$$f(x) = \log_{2}(x^2 - 3)$$

Nota: Ricorda che per studiare il segno devi tenere conto del dominio della funzione.

Data la funzione razionale $g(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - 5x + 6}$:

1. a) Determina il suo dominio. Presta particolare attenzione ai punti in cui si annulla anche il numeratore.
2. b) Individua gli asintoti (verticali, orizzontali o obliqui) e studia la posizione della curva rispetto ad essi.
3. c) Trova il codominio della funzione analizzando se esiste qualche valore di $y$ che non può essere raggiunto.
4. d) Studia gli intervalli in cui la funzione è positiva e quelli in cui è negativa.