Grafici delle funzioni goniometriche
A Venezia l'acqua della laguna sale e scende due volte al giorno, e il livello si ripete ogni 12 ore circa. Anche un'altalena, una corda di chitarra e la temperatura di una giornata d'estate ripetono lo stesso andamento a intervalli regolari. Quale funzione descrive un fenomeno che si ripete? E come si riconoscono, guardando una formula, l'altezza massima e il tempo del ciclo? Lo scopriremo in questa pagina.
La sinusoide: grafico di seno e coseno
Sulla circonferenza goniometrica, $\operatorname{sen}\alpha$ è l'ordinata del punto che corrisponde all'angolo $\alpha$, e $\cos\alpha$ ne è l'ascissa. Facciamo girare il punto e riportiamo l'angolo $x$ (in radianti) sull'asse orizzontale e l'ordinata sull'asse verticale. Si ottiene la sinusoide, il grafico di $y = \operatorname{sen} x$.
Il coseno ha la stessa forma: $\cos x = \operatorname{sen}\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$, quindi il grafico di $y=\cos x$ è la sinusoide traslata verso sinistra di $\frac{\pi}{2}$.
| $y=\operatorname{sen}x$ | $y=\cos x$ | |
|---|---|---|
| Dominio | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ |
| Immagine | $[-1; 1]$ | $[-1; 1]$ |
| Periodo | $2\pi$ | $2\pi$ |
| Simmetria | dispari: $\operatorname{sen}(-x) = -\operatorname{sen}x$ | pari: $\cos(-x) = \cos x$ |
| Zeri | $x = k\pi$ | $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ |
| Massimo $1$ in | $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ | $x = 2k\pi$ |
| Minimo $-1$ in | $x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$ | $x = \pi + 2k\pi$ |
(con $k \in \mathbb{Z}$). Il grafico è periodico: dopo $2\pi$ si ripete identico, perché il punto sulla circonferenza ha fatto un giro completo.
Ampiezza e periodo: $y = a\operatorname{sen}(bx)$
Che cosa succede se cambiamo i numeri nella formula? Prova tu stesso con i cursori: $a$ allunga o schiaccia il grafico in verticale, $b$ lo comprime o lo dilata in orizzontale.
Il perché: $a$ moltiplica tutte le ordinate, quindi i valori estremi $\pm 1$ diventano $\pm a$. Per $b$: la funzione compie un ciclo quando l'argomento $bx$ passa da $0$ a $2\pi$, cioè quando $x$ passa da $0$ a $\frac{2\pi}{b}$. Se $b>1$ i cicli si accorciano; se $b<1$ si allungano. Il numero di cicli nell'unità di tempo è la frequenza: $f = \dfrac{1}{T}$.
Per la funzione $y = 3\sen x$ determina: a) l'ampiezza; b) il periodo; c) il valore massimo e il valore minimo.
Per la funzione $y = 3\sen x$ determina:
- a) l'ampiezza;
- b) il periodo;
- c) il valore massimo e il valore minimo.
Traslazioni: sfasamento e spostamento verticale
Passiamo alla forma generale
$$y = a\operatorname{sen}(bx + c) + d.$$I parametri hanno un significato geometrico preciso, che si legge con le trasformazioni dei grafici:
-
$+d$ trasla il grafico in verticale di $d$: la funzione oscilla attorno alla retta $y = d$ (asse di oscillazione);
-
$bx + c = b\left(x + \frac{c}{b}\right)$ trasla il grafico in orizzontale: lo sfasamento è $-\dfrac{c}{b}$ (verso destra se è positivo, verso sinistra se è negativo).
Il perché dello sfasamento: il «punto di partenza» del ciclo è dove l'argomento vale zero, cioè $bx + c = 0$, da cui $x = -\frac{c}{b}$.
Data la funzione $y = \sen x + 2$, descrivi come si ottiene il suo grafico a partire da quello di $y = \sen x$ e indica l'insieme dei valori che la funzione può assumere.
Data la funzione $y = \sen x + 2$, descrivi come si ottiene il suo grafico a partire da quello di $y = \sen x$ e indica l'insieme dei valori che la funzione può assumere.
Considera la funzione $y = 2\sen\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right)$. a) Determina ampiezza, periodo e sfasamento. b) Calcola il valore della funzione in…
Considera la funzione $y = 2\sen\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right)$.
- a) Determina ampiezza, periodo e sfasamento.
- b) Calcola il valore della funzione in $x = \dfrac{5\pi}{6}$.
- c) Indica i punti di intersezione del grafico con l'asse $x$ nell'intervallo $[0, 2\pi]$.
Scrivi l'equazione di una funzione del tipo $y = a\sen(bx + c) + d$ il cui grafico ha valore massimo $5$, valore minimo $-1$, periodo $\pi$ e passa per il punto $(0, 2)$…
Scrivi l'equazione di una funzione del tipo $y = a\sen(bx + c) + d$ il cui grafico ha valore massimo $5$, valore minimo $-1$, periodo $\pi$ e passa per il punto $(0, 2)$ con $a > 0$, $b>0$ e $c$ in $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$. Verifica poi il risultato calcolando $y\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.
La tangente
La funzione $y = \operatorname{tg}x = \dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x}$ non esiste dove $\cos x = 0$, cioè per $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. In quei punti il grafico ha asintoti verticali: la curva sale o scende senza limite avvicinandosi alla retta.
Il perché del periodo $\pi$: aggiungendo $\pi$ all'angolo, seno e coseno cambiano entrambi segno, quindi il loro rapporto resta lo stesso.
Su ogni intervallo del dominio la tangente è crescente, ma sull'intera unione di questi intervalli non lo è: dopo un asintoto la funzione riparte da valori molto negativi. Per questo $\operatorname{tg}$ non è iniettiva su tutto il suo dominio (ad esempio $\operatorname{tg}0 = \operatorname{tg}\pi = 0$). Diventa invertibile se la restringiamo a $\left]-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right[$, e la funzione inversa è $\operatorname{arctg}$.
Determina il periodo delle seguenti funzioni: a) $y = \cos(2x)$ b) $y = \sen\left(\dfrac{x}{3}\right)$ c) $y = \tg(4x)$
Determina il periodo delle seguenti funzioni:
- a) $y = \cos(2x)$
- b) $y = \sen\left(\dfrac{x}{3}\right)$
- c) $y = \tg(4x)$
Considera $g(x) = \tg\left(2x - \dfrac{\pi}{2}\right)$. a) Determina il dominio di $g$ e le equazioni degli asintoti verticali. b) Determina il periodo e gli zeri di $g$…
Considera $g(x) = \tg\left(2x - \dfrac{\pi}{2}\right)$.
- a) Determina il dominio di $g$ e le equazioni degli asintoti verticali.
- b) Determina il periodo e gli zeri di $g$ nell'intervallo $[0, \pi]$.
- c) Spiega, motivando, se $g$ è crescente in ogni intervallo del suo dominio e se è una funzione invertibile su tutto il dominio.
Sommare seno e coseno
Che grafico ha $y = \operatorname{sen}x + \cos x$? La somma di due sinusoidi con la stessa $b$ è ancora una sinusoide, con ampiezza e sfasamento nuovi. Per riscriverla nella forma $R\operatorname{sen}(x+\varphi)$ useremo lo sviluppo
$$\operatorname{sen}(x+\varphi) = \operatorname{sen}x\cos\varphi + \cos x\operatorname{sen}\varphi.$$Il perché: sviluppando $R\operatorname{sen}(x+\varphi) = R\cos\varphi\operatorname{sen}x + R\operatorname{sen}\varphi\cos x$ ritroviamo i coefficienti $a$ e $b$ se $R\cos\varphi = a$ e $R\operatorname{sen}\varphi = b$; poiché $\cos^2\varphi+\operatorname{sen}^2\varphi = 1$, deve essere $R^2 = a^2+b^2$.
Una volta scritta così, la funzione si legge subito: ampiezza $R$, periodo $2\pi$, immagine $[-R; R]$, sfasamento $-\varphi$. Gli zeri si trovano da $x + \varphi = k\pi$.
Sia $f(x) = \sen x + \cos x$. a) Dimostra che $f(x) = \sqrt{2}\sen\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$. b) Deduci ampiezza, periodo e valori massimo e minimo di $f$. c)…
Sia $f(x) = \sen x + \cos x$.
- a) Dimostra che $f(x) = \sqrt{2}\sen\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.
- b) Deduci ampiezza, periodo e valori massimo e minimo di $f$.
- c) Determina gli zeri di $f$ nell'intervallo $[0, 2\pi]$ e disegna in modo qualitativo il grafico descrivendo i punti notevoli.
Funzioni goniometriche come modelli
Torniamo alla laguna di Venezia. La marea si ripete circa ogni $12$ ore: il periodo è $T = 12$ h, quindi $b = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$. Una funzione del tipo $h(t) = d + a\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$ descrive bene l'andamento: $d$ è il livello medio e $a$ l'escursione massima. Il modello periodico si costruisce così: periodo $\to$ $b$; massimo e minimo $\to$ $a$ e $d$; istante del primo massimo o dello zero $\to$ sfasamento.
Nei problemi sul moto oscillatorio (come un'altalena o una molla) ricorrono le stesse parole: ampiezza (spostamento massimo), periodo (tempo di un'oscillazione completa) e frequenza $f = \frac{1}{T}$ (oscillazioni al secondo).
Torniamo al principio: la marea sale e scende con regolarità perché il suo livello si descrive con una funzione periodica, la cui formula dice subito livello medio, escursione e durata del ciclo.
La marea in un porto della Liguria è modellizzata dalla funzione $h(t) = 1{,}2 + 0{,}8\cos\left(\dfrac{\pi}{6}t\right)$, dove $h$ è l'altezza dell'acqua in metri e $t$…
La marea in un porto della Liguria è modellizzata dalla funzione $h(t) = 1{,}2 + 0{,}8\cos\left(\dfrac{\pi}{6}t\right)$, dove $h$ è l'altezza dell'acqua in metri e $t$ il tempo in ore a partire dalla mezzanotte.
- a) Determina il periodo dell'oscillazione.
- b) Calcola l'altezza massima e minima dell'acqua.
- c) Calcola a che ora del giorno si verifica la prima bassa marea.
Un'altalena nel parco di Villa Borghese a Roma oscilla in modo che la distanza orizzontale $s$ (in metri) del sedile dalla posizione di equilibrio sia…
Un'altalena nel parco di Villa Borghese a Roma oscilla in modo che la distanza orizzontale $s$ (in metri) del sedile dalla posizione di equilibrio sia $s(t) = 1{,}5\sen\left(\dfrac{2\pi}{3}t + \dfrac{\pi}{4}\right)$, con $t$ in secondi.
- a) Determina ampiezza, periodo e frequenza del moto.
- b) Calcola $s(0)$ e stabilisci in quali istanti dell'intervallo $[0, 3]$ il sedile passa per la posizione di equilibrio.
- c) Determina il primo istante $t>0$ in cui lo spostamento è massimo.
In sintesi
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$y = a\operatorname{sen}(bx+c)+d$ (e analogamente col coseno): ampiezza $|a|$, periodo $\frac{2\pi}{|b|}$, sfasamento $-\frac{c}{b}$, asse di oscillazione $y = d$, immagine $[d-|a|; d+|a|]$.
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Seno e coseno hanno periodo $2\pi$ e immagine $[-1; 1]$. $\operatorname{sen}$ è dispari, $\cos$ è pari, e $\cos x = \operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$.
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La tangente ha periodo $\pi$, asintoti in $x = \frac{\pi}{2}+k\pi$ e immagine $\mathbb{R}$. È crescente su ogni intervallo del dominio ma non è invertibile su tutto il dominio.
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Per $y = \operatorname{tg}(bx+c)$ il periodo è $\frac{\pi}{|b|}$; gli asintoti e gli zeri si ricavano da $bx+c = \frac{\pi}{2}+k\pi$ e $bx+c = k\pi$.
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$a\operatorname{sen}x + b\cos x = R\operatorname{sen}(x+\varphi)$ con $R=\sqrt{a^2+b^2}$.
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I modelli periodici si costruiscono da periodo ($b$), estremi ($a$, $d$) e istante di un massimo o di uno zero (sfasamento).