Teorema del coseno (di Carnot)

In un triangolo $ABC$ sono noti i lati $b=5$ cm, $c=8$ cm e l'angolo compreso $A=60^\circ$. Calcola la lunghezza del lato $a$.

In un triangolo $ABC$ i lati misurano $a=10$ cm, $b=12$ cm e l'angolo compreso è $C=45^\circ$. Imposta il teorema del coseno per calcolare il valore esatto del lato $c$.

Un parallelogramma ha due lati adiacenti che misurano 4 cm e 6 cm. Se l'angolo compreso tra essi è di $120^\circ$, calcola la lunghezza della diagonale maggiore.

In un triangolo isoscele $ABC$ i lati $a$ e $b$ misurano 6 cm ciascuno, e l'angolo al vertice $C=30^\circ$. Calcola il valore esatto del lato $c$ lasciando il risultato con i radicali.

In una circonferenza di raggio 10 cm, una corda sottende un angolo al centro di $100^\circ$. Calcola la lunghezza della corda utilizzando il teorema del coseno nel triangolo formato dai raggi e dalla corda.

In un triangolo $ABC$ le lunghezze dei lati sono $a=3$ cm, $b=5$ cm e $c=7$ cm. Calcola l'ampiezza dell'angolo $C$.

Determina l'angolo maggiore di un triangolo i cui lati misurano 4 cm, 5 cm e 6 cm.

Una capriata triangolare di un tetto ha lati di 5 m, 7 m e 9 m. Calcola l'angolo opposto al lato più lungo.

In un triangolo di lati noti $a = 4\text{ cm}$, $b = 6\text{ cm}$ e $c = 9\text{ cm}$, si vuole trovare l'ampiezza dei suoi tre angoli combinando il teorema del coseno con il teorema dei seni per risparmiare tempo di calcolo. Due compagni propongono strategie diverse per il primo passo:

• Marco propone: «Calcoliamo prima l'angolo minore, $\widehat{A}$, usando il teorema del coseno e, poi, ricaviamo l'angolo maggiore, $\widehat{C}$, mediante il teorema dei seni».

• Sara replica: «È molto più sicuro calcolare prima l'angolo maggiore, $\widehat{C}$, mediante il teorema del coseno e, a partire da esso, trovare $\widehat{A}$ con il teorema dei seni».

1. a) Giustifica matematicamente quale dei due metodi è preferibile e spiega quale rischio o ambiguità matematica comporta l'altro nell'uso della funzione inversa $\operatorname{arcsen}$ nell'intervallo $[0^\circ, 180^\circ]$.
2. b) Seguendo la strategia corretta, determina con ragionamento se il triangolo è acutangolo od ottusangolo esaminando soltanto il segno di $\cos \widehat{C}$, e calcola il valore dei tre angoli del triangolo arrotondati al grado più vicino.

Calcola la distanza tra due punti inaccessibili $A$ e $B$, sapendo che da un punto di osservazione $C$ sono state misurate le distanze $CA = 15$ m e $CB = 20$ m, e che l'angolo visuale $ACB$ è di $40^\circ$.

Due aerei partono dallo stesso aeroporto contemporaneamente. L'aereo A vola a $800$ km/h con una rotta di $040^\circ$ e l'aereo B vola a $650$ km/h con una rotta di $115^\circ$. Quale distanza in linea retta li separa dopo 1,5 ore di volo?

Per misurare la distanza attraverso un lago tra i punti $A$ e $B$, un topografo si colloca nel punto $C$. Misura le distanze $CA = 125,5$ m e $CB = 180,2$ m, e l'angolo $ACB = 75^\circ$. Calcola la distanza $AB$.

Due forze di 45 N e 60 N agiscono su uno stesso punto materiale formando tra loro un angolo di $50^\circ$. Calcola l'intensità della forza risultante.

Durante le manovre di attracco nel porto esterno di Genova, due rimorchiatori tirano contemporaneamente una nave mercantile applicando forze complanari di intensità fisse $|\vec{F}_1| = 50\text{ kN}$ e $|\vec{F}_2| = 70\text{ kN}$. I cavi di traino formano tra loro un angolo $\alpha = 40^\circ$.

1. a) Stima in modo motivato tra quali due valori estremi deve trovarsi il modulo della forza risultante $\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$ considerando le situazioni limite in cui i cavi tirassero nella stessa direzione e verso, oppure in versi opposti.
2. b) Rappresentando la somma vettoriale con la regola del parallelogramma, si ottiene un triangolo i cui lati contigui sono $|\vec{F}_1|$ e $|\vec{F}_2|$, e il cui terzo lato rappresenta il vettore risultante $\vec{R}$. Giustifica geometricamente perché l'angolo opposto a $\vec{R}$ in tale triangolo misura $180^\circ - \alpha = 140^\circ$, e non $40^\circ$.
3. c) Applica il teorema del coseno per determinare il modulo esatto della forza risultante $\vec{R}$ (in $\text{kN}$, arrotondato a una cifra decimale) e verifica la precisione della tua stima.
4. d) Per esigenze di sicurezza strutturale dello scafo, la forza risultante totale non può superare $105\text{ kN}$. Imposta la disequazione corrispondente e ricava l'angolo minimo $\alpha$ che devono formare i cavi dei rimorchiatori per non superare tale limite.

In un triangolo, le lunghezze dei lati sono $x$, $x+2$ e $x+4$. Se il maggiore degli angoli misura $120^\circ$, imposta l'equazione corrispondente, determina il valore di $x$ e le lunghezze esatte dei tre lati.

Se in un triangolo $ABC$ vale la relazione algebrica $a^2 = b^2 + c^2 + \sqrt{2}bc$, determina la misura esatta dell'angolo $A$ senza usare la calcolatrice.

In un triangolo $ABC$, i lati misurano $a=8$ cm, $b=10$ cm e $c=12$ cm. Calcola la lunghezza esatta della mediana $m_a$ condotta dal vertice $A$ al punto medio del lato $a$.

Calcola l'angolo acuto formato da due diagonali principali di un cubo. Per farlo, esprimi la lunghezza della diagonale in funzione dello spigolo $a$ e applica il teorema del coseno nel triangolo formato dalle metà di due diagonali e da uno spigolo del cubo.