Probabilità condizionata

Da un mazzo di carte napoletane di 40 carte (4 semi da 10 carte ciascuno: fante, cavallo e re sono le figure di ogni seme), si estrae una carta a caso. Consideriamo gli eventi $A$: "estrarre un re" e $B$: "estrarre una figura" (fante, cavallo o re).

Calcola la probabilità che la carta sia un re sapendo che è uscita una figura, cioè determina $P(A|B)$.

Dati due eventi $A$ e $B$ di un esperimento aleatorio, si sa che la probabilità della loro intersezione è $P(A \cap B) = 0,12$ e che la probabilità dell'evento $B$ è $P(B) = 0,4$. Calcola la probabilità che si verifichi $A$ sapendo che si è verificato $B$.

In un gruppo di amici, il $60\%$ usa Spotify ($S$), il $40\%$ usa Netflix ($N$) e il $20\%$ usa entrambe le piattaforme. Se scegliamo una persona di cui sappiamo che usa Netflix, qual è la probabilità che usi anche Spotify?

È stato condotto un sondaggio su 100 studenti del quarto anno di liceo sulla loro preferenza tra due ambiti di studio. I dati sono riportati nella seguente tabella di contingenza:

Se scegliamo uno studente a caso e risulta essere una ragazza, qual è la probabilità che preferisca Lettere? Calcola $P(L|M)$.

In un liceo di Roma è stato condotto uno studio sulle abitudini di svago di $100$ studenti del quarto anno. I dati sono stati raccolti nella seguente tabella di contingenza, classificando gli studenti per genere e social network preferito (Instagram o TikTok):

Se scegliamo uno studente a caso, calcola le seguenti probabilità utilizzando la notazione della probabilità condizionata:

1. a) Che preferisca TikTok, sapendo che è una ragazza.
2. b) Che sia un ragazzo, dato che il suo social network preferito è Instagram.
3. c) Gli eventi "essere ragazzo" ($H$) e "preferire Instagram" ($I$) sono indipendenti? Giustifica la risposta confrontando $P(I/H)$ con $P(I)$.

In un centro linguistico, il $30\%$ degli studenti studia francese ($F$). Di questi, il $60\%$ sono studenti del liceo ($B$). Se selezioniamo a caso uno studente dall'elenco del centro, qual è la probabilità che studi francese e sia del liceo? Aiutati con la formula della probabilità condizionata: $P(F \cap B) = P(F) \cdot P(B|F)$.

Una scatola degli attrezzi contiene $12$ lampadine LED, di cui $4$ sono difettose. Se estraiamo due lampadine dalla scatola consecutivamente e senza reinserimento, calcola la probabilità dei seguenti eventi:

1. a) Che la seconda lampadina sia difettosa, sapendo che la prima estratta funzionava correttamente.
2. b) Che entrambe le lampadine siano difettose.
3. c) Che almeno una delle due lampadine funzioni correttamente.

Siano $A$ e $B$ due eventi di un esperimento aleatorio tali che $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,7$ e $P(A \cup B) = 0,85$.

1. a) Calcola $P(A \cap B)$.
2. b) Trova la probabilità che si verifichi $A$ sapendo che si è verificato $B$.
3. c) Determina se gli eventi $A$ e $B$ sono compatibili e se sono indipendenti.

In un liceo, il $60\,\%$ degli studenti del quarto anno frequenta l'indirizzo di Scienze umane ed economico-sociale ($H$) e il $40\,\%$ quello scientifico-tecnologico ($C$). Degli studenti di Scienze umane, il $70\,\%$ utilizza abitualmente il trasporto scolastico ($T$), mentre tra gli studenti dell'indirizzo scientifico lo utilizza solo il $35\,\%$.

1. a) Ti vengono proposti due strumenti per organizzare queste informazioni prima di operare: un diagramma ad albero ponderato o una tabella di contingenza basata su un totale ipotetico di 100 studenti. Confronta l'adeguatezza dei due metodi e giustifica quale risulta più diretto a partire da come sono strutturati i dati del testo (probabilità a priori e condizionate successive).
2. b) Usando il metodo che hai scelto, calcola la probabilità che uno studente scelto a caso utilizzi il trasporto scolastico, $P(T)$.
3. c) Se si sceglie a caso uno studente che non utilizza il trasporto scolastico, qual è la probabilità che appartenga all'indirizzo scientifico-tecnologico?

In una lega di E-sports, una squadra ha una probabilità di vincere la partita del $70\,\%$ se gioca sul proprio server locale ($L$), ma tale probabilità scende al $40\,\%$ se gioca su un server esterno ($E$). Si sa che il $60\,\%$ delle partite le gioca in casa.

1. a) Rappresenta la situazione mediante un diagramma ad albero, indicando su ogni ramo la sua probabilità.

1. b) Se la squadra ha vinto l'ultima partita, qual è la probabilità che abbia giocato sul proprio server locale?

1. c) Qual è la probabilità totale che la squadra vinca una partita qualsiasi?

Disponiamo di due urne con la seguente composizione:

• Urna A: 4 palline rosse e 6 palline blu.

• Urna B: 7 palline rosse e 3 palline blu.

L'esperimento consiste nel lanciare un dado equilibrato a sei facce. Se esce un numero primo, estraiamo una pallina dall'Urna A e la inseriamo nell'Urna B senza guardarne il colore; successivamente estraiamo una pallina dall'Urna B. Se esce un numero non primo, estraiamo direttamente una pallina dall'Urna B.

Calcola la probabilità che la pallina finale estratta dall'Urna B sia rossa.

Uno studio medico indica che la probabilità che una persona di una determinata popolazione abbia un'allergia primaverile è $0,15$. È stato sviluppato un test per rilevarla, ma non è perfetto:

• Se una persona ha l'allergia, il test risulta positivo nel $95\%$ dei casi.

• Se una persona non ha l'allergia, il test risulta positivo (falso positivo) nel $4\%$ dei casi.

Se si sceglie una persona a caso e il test risulta positivo, qual è la probabilità che abbia davvero l'allergia?

In un laboratorio di cybersicurezza, un algoritmo di intelligenza artificiale analizza le e-mail per individuare il phishing. Si sa che:

• Il $5\%$ delle e-mail che l'azienda riceve sono tentativi di truffa (phishing).

• Se un'e-mail è phishing, l'algoritmo la identifica correttamente come "sospetta" nel $98\%$ dei casi.

• Se un'e-mail è legittima, l'algoritmo sbaglia e la segnala come "sospetta" nel $3\%$ dei casi (falso positivo).

Se un dipendente riceve un avviso di "e-mail sospetta" nella sua casella di posta:

1. a) Qual è la probabilità reale che l'e-mail sia effettivamente un tentativo di phishing?
2. b) Se l'algoritmo indica che l'e-mail è "sicura", qual è la probabilità che si tratti di un errore e che sia realmente phishing?

Si realizza uno studio sulle attività degli studenti di una scuola di Roma. I dati mostrano che:

• Il $80\%$ degli studenti studia una seconda lingua ($I$).

• Il $60\%$ degli studenti partecipa a una squadra sportiva della scuola ($D$).

• Il $30\%$ di quelli che studiano una seconda lingua non partecipa ad alcuna squadra sportiva.

Scegliamo uno studente a caso. Calcola:

1. a) La probabilità che svolga entrambe le attività.
2. b) Sapendo che partecipa a una squadra sportiva, la probabilità che studi anche una seconda lingua.
3. c) La probabilità che non svolga nessuna delle due attività.