Funzioni lineari: interpolazione

La seguente tabella mostra la temperatura di un forno industriale che si riscalda in modo costante:

Utilizza l'interpolazione lineare per stimare la temperatura del forno quando sono trascorsi $12$ minuti dall'accensione.

Data la seguente tabella di valori che mette in relazione il numero di ore lavorate da un programmatore freelance e il suo compenso totale:

Calcola, mediante la formula della retta di interpolazione, quanto percepirebbe per un lavoro di $7$ ore. Indica anche qual è il prezzo che applica per ogni ora di lavoro (coefficiente angolare).

Il costo totale di produzione di magliette personalizzate per una festa di diploma comprende un costo fisso per il design e un costo variabile per ogni unità prodotta. Sappiamo che $50$ magliette costano $410$ € e che $120$ magliette costano $830$ €.

1. Calcola il costo di produzione di $85$ magliette utilizzando la tecnica dell'interpolazione lineare.

2. Individua, a partire dalla retta ottenuta, qual è il costo fisso (ordinata all'origine) e il costo per ogni maglietta aggiuntiva (coefficiente angolare).

3. Se il budget massimo della classe è di $600$ €, qual è il numero massimo di magliette che possono ordinare?

Il valore di mercato di un modello specifico di smartphone di fascia alta si svaluta in modo lineare nei primi mesi dopo il lancio. A 2 mesi dall'uscita, il suo prezzo era di $950\text{ €}$. A 8 mesi, il prezzo è sceso a $710\text{ €}$.

1. a) Calcola, mediante interpolazione lineare, il prezzo del dispositivo a 5 mesi dal lancio.

1. b) Determina il prezzo originale di lancio ($x = 0$) utilizzando l'estrapolazione.

1. c) Se un utente decide di vendere il suo smartphone quando il suo valore è esattamente la metà del prezzo originale, in quale mese dovrebbe metterlo in vendita secondo questo modello?

Un giardiniere osserva che la crescita di una specie di bambù è lineare durante le prime settimane. Se a $10$ giorni misurava $45$ cm e a $20$ giorni misurava $75$ cm:

1. Determina la funzione lineare che modellizza l'altezza del bambù in funzione del tempo.

2. Esegui un'estrapolazione lineare per prevedere quale altezza avrà la pianta a $25$ giorni.

Un'auto elettrica consuma l'energia della sua batteria in modo proporzionale alla distanza percorsa. Uscendo dal garage con il $100\,\%$ di carica, dopo aver percorso $120$ km, la batteria indica il $64\,\%$ di carica residua. La figura mostra questi due dati.

1. a) Esprimi la funzione lineare che indica la percentuale di batteria rimanente in funzione dei chilometri percorsi.

1. b) Se il conducente decide di fermarsi a ricaricare quando gli resta il $15\,\%$ di batteria, quanti chilometri avrà percorso in totale secondo il modello lineare?

1. c) Mediante estrapolazione, determina quale percentuale di batteria indicherebbe dopo un viaggio di $300$ km. Il risultato ottenuto ha senso fisico? Giustifica la tua risposta.

Due piattaforme musicali offrono i seguenti piani mensili:

• Piano A: $5$ € di quota fissa più $0,20$ € per ogni canzone scaricata.

• Piano B: Senza quota fissa, ma $0,60$ € per ogni canzone scaricata.

Indica con $x$ il numero di canzoni scaricate in un mese e con $y$ il costo mensile in euro.

1. a) Scrivi la funzione di costo per ciascun piano.

1. b) Rappresenta entrambe le funzioni nello stesso piano cartesiano (ti basta prendere valori di $x$ tra $0$ e $20$ canzoni) e individua graficamente il "punto di equilibrio" (dove i due piani costano lo stesso). Indica le sue coordinate.

Un libero professionista di Roma analizza la spesa mensile di due aziende di car sharing elettrico per recarsi alle sue riunioni:

• L'azienda EcoCar fattura secondo una funzione lineare: per un uso mensile di $40\text{ minuti}$ addebita $18\text{ \euro}$, e per $100\text{ minuti}$ addebita $33\text{ \euro}$.

• L'azienda UrbanMove ha una tariffa che comprende una quota fissa di manutenzione di $6\text{ \euro}$ al mese più un costo variabile di $0,30\text{ \euro}$ per minuto di guida.

1. a) Mediante interpolazione lineare con i due dati noti, determina la funzione di costo mensile $C_1(x)$ di EcoCar in funzione dei minuti di guida $x$.
2. b) Scrivi l'espressione analitica della funzione di costo $C_2(x)$ di UrbanMove.
3. c) Calcola il punto di equilibrio (i minuti mensili per cui le due fatture coincidono) e determina in modo motivato quale azienda è più vantaggiosa se guida meno di quel valore e quale se guida più a lungo.
4. d) Se prevede di effettuare $180\text{ minuti}$ in un mese straordinario, il calcolo del costo con la funzione di EcoCar è un'interpolazione o un'estrapolazione? Se EcoCar applica sconti a scaglioni a partire da due ore di utilizzo, spiega come ciò influirebbe sull'affidabilità della tua stima lineare.

Le leggi di offerta e domanda di un prodotto sono state modellizzate in modo lineare a partire dai seguenti dati raccolti in un'indagine di mercato:

• A un prezzo di $15\text{ €}$, si offrono $200$ unità e se ne domandano $500$.

• A un prezzo di $25\text{ €}$, si offrono $400$ unità e se ne domandano $300$.

1. a) Calcola le funzioni di offerta $O(p)$ e di domanda $D(p)$ mediante interpolazione lineare.

1. b) Trova il prezzo di equilibrio (in cui l'offerta è uguale alla domanda) e la quantità di equilibrio.

1. c) Se il governo impone un prezzo massimo di $18\text{ €}$, ci sarà un eccesso di offerta o una scarsità di domanda? Calcola l'esatta differenza di unità.

Verifica che la parabola $y = x^{2} - 2x + 3$ passa per i punti $(0, 3)$, $(1, 2)$ e $(2, 3)$, e usala per stimare il valore di $y$ in $x = 1,5$.

Si vogliono interpolare i punti $(0, 1)$, $(1, 4)$ e $(2, 9)$ con una parabola $y = ax^{2} + bx + c$.

1. a) Imposta il sistema di tre equazioni nelle incognite $a$, $b$ e $c$.

1. b) Verifica che $a = 1$, $b = 2$ e $c = 1$ è soluzione del sistema e scrivi la parabola interpolatrice.

La figura mostra una parabola che passa per i punti $(1, 3)$, $(3, 7)$ e $(5, 5)$.

1. a) Imposta il sistema di equazioni che $a$, $b$ e $c$ devono soddisfare affinché $y = ax^{2} + bx + c$ passi per i tre punti, e risolvilo.

1. b) Usa la parabola ottenuta per stimare il valore di $y$ in $x = 4$ (quello indicato con «?» nella figura).

1. c) Verifica con il grafico che la stima sia coerente.

La figura mostra i punti $(0, 2)$, $(1, 5)$ e $(2, 10)$, la retta che interpola i primi due e la parabola che interpola tutti e tre.

1. a) Trova la retta di interpolazione lineare che passa per $(0, 2)$ e $(1, 5)$.

1. b) Trova la parabola $y = ax^{2} + bx + c$ che passa per i tre punti.

1. c) Calcola la previsione di ciascun modello per $x = 3$ e la loro differenza. Se i dati fossero l'importo di una bolletta elettrica che cresce sempre più velocemente per scaglioni di consumo, quale modello ti sembra più affidabile? Motiva la risposta.