Numeri reali. Retta reale

Classifica i seguenti numeri indicando l'insieme numerico più piccolo a cui appartengono (Naturali $\mathbb{N}$, Interi $\mathbb{Z}$, Razionali $\mathbb{Q}$ o Irrazionali $I$):

1. a) $-12$
2. b) $\frac{15}{3}$
3. c) $\sqrt{11}$
4. d) $4,25$
5. e) $2,333...$
6. f) $\pi + 1$

Classifica i seguenti numeri indicando l'insieme numerico più ristretto a cui appartengono ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$ o $\mathbb{R}$). Per quelli razionali, esprimili sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini:

1. a) $3,1222...$
2. b) $\sqrt{121}$
3. c) $\sqrt{18}$
4. d) $-\frac{24}{6}$
5. e) $1,010010001...$
6. f) $\pi + 1$

Considera l'insieme dei numeri reali definito da una regola di formazione logica. Sia $x = 0,123456789101112...$ il numero formato dalla concatenazione dei numeri naturali nella sua parte decimale. Stabilisci, motivando la risposta, se questo numero appartiene all'insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$ o a quello degli irrazionali $\mathbb{I}$. Successivamente, trova un numero irrazionale $y$ tale che la somma $x + y$ sia un numero razionale esatto.

Trova la frazione generatrice dei seguenti numeri decimali, semplificando il risultato fino a ottenere la frazione ridotta ai minimi termini:

1. a) $3,125$
2. b) $0,\hat{6}$
3. c) $1,2\hat{3}$

Un assessorato ai Servizi sociali ripartisce uno stanziamento tra tre programmi comunitari: il programma Infanzia riceve il $33,\widehat{3}\,\%$ del bilancio; quello Anziani, una proporzione equivalente al numero decimale $0,41\widehat{6}$; e quello Giovani è finanziato con la somma restante.\na) Senza eseguire il calcolo frazionario esatto, stima quale dei primi due programmi (Infanzia o Anziani) riceve la dotazione maggiore e verifica se insieme esauriscono più, meno o esattamente il $75\,\%$ dello stanziamento totale.\nb) Usa il metodo algebrico di allineamento e sottrazione di potenze di $10$ per calcolare la frazione generatrice ridotta ai minimi termini di $0,\widehat{3}$ e di $0,41\widehat{6}$.\nc) Somma le frazioni ottenute per calcolare la frazione esatta del bilancio che resta disponibile per il programma Giovani. Alla luce del risultato esatto, valuta criticamente se le tue stime del punto a) erano corrette.

A partire dalla costruzione geometrica mostrata nell'immagine, basata sul teorema di Pitagora, determina il valore esatto del numero irrazionale rappresentato dal punto $P$ sulla retta numerica:

Ordina dal minore al maggiore i seguenti numeri reali, rappresentandoli in modo approssimato sulla retta reale. Per i numeri irrazionali, usa un'approssimazione per arrotondamento ai centesimi:

Commenta se nella tua lista esiste qualche numero razionale minore di tutti gli irrazionali proposti.

Nel progetto di un nuovo logo per un'azienda tecnologica è stata utilizzata la spirale di Teodoro per determinare proporzioni esatte. Nella figura, il vertice della spirale si trova nel punto $1$ della retta reale e tutti i cateti esterni della spirale misurano $1$ unità. Il segmento evidenziato in arancione è l'ipotenusa dell'ultimo triangolo e misura $\sqrt{7}$.

Basandoti sulla figura, rappresenta sulla retta reale, in modo esatto e con riga e compasso, il punto che si ottiene riportando il segmento arancione di lunghezza $\sqrt{7}$ a partire dal valore $1$ (cioè il punto $1+\sqrt{7}$), invece che a partire dall'origine.

Spiega in dettaglio i passaggi geometrici che segui, utilizzando il teorema di Pitagora per giustificare che ogni ipotenusa della spirale ha la lunghezza indicata.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Rappresenta sulla retta reale i seguenti insiemi di numeri ed esprimili usando la notazione di intervalli:

1. a) Numeri maggiori di $-1$ e minori o uguali a $4$.
2. b) $\{x \in \mathbb{R} : x < 3\}$
3. c) Numeri compresi tra $-5$ e $0$, entrambi inclusi.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un negozio di abbigliamento online, gli ordini hanno la "spedizione gratuita" se l'importo dell'acquisto è superiore a $50$ €, ma non deve superare i $300$ € per motivi di sicurezza nel trasporto.

1. a) Esprimi mediante una disuguaglianza l'insieme dei prezzi $x$ che soddisfano la condizione di spedizione gratuita.
2. b) Scrivi tale insieme in forma di intervallo.
3. c) Sarebbe incluso un ordine di esattamente $50$ €? Perché?

Completa la seguente tabella mettendo in relazione i diversi modi di esprimere insiemi di numeri reali:

Individua a quale intervallo o semiretta corrispondono le seguenti condizioni grafiche e scrivile usando la notazione insiemistica (esempio: $\{x \in \mathbb{R} : ...\}$):

Calcola la distanza tra i punti $A$ e $B$ rappresentati sulla seguente retta numerica utilizzando il valore assoluto:

Determina quali numeri reali $x$ soddisfano la seguente condizione di distanza e rappresentali graficamente:

Aiuto: questa espressione rappresenta i numeri la cui distanza da $2$ è minore o uguale a $3$.

In un laboratorio di chimica, una sostanza deve essere mantenuta a una temperatura critica di $22^\circ\text{C}$, con un margine di errore accettato di $1,5^\circ\text{C}$ sia in eccesso sia in difetto.

• a) Esprimi questo intervallo di temperatura mediante un intorno $E(a, r)$.

• b) Traducilo in una disequazione con valore assoluto.

• c) Indica se una temperatura di $20,2^\circ\text{C}$ rientrerebbe nell'intervallo consentito.

Esprimi mediante il valore assoluto e le disuguaglianze i seguenti insiemi di numeri reali:

• a) L'insieme dei numeri la cui distanza dall'origine è maggiore o uguale a $7$ unità.

• b) L'insieme dei numeri $x$ tali che la loro distanza dal punto $-3$ è strettamente minore di $2$ unità.

• c) Rappresenta graficamente il punto b) indicando chiaramente gli estremi.

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L'impegno di qualità di Trenitalia per una tratta ad alta velocità tra Roma e Napoli stabilisce che un treno è considerato puntuale se la differenza tra il tempo di viaggio effettivo, $t$ (in minuti), e il tempo ufficiale programmato di $155\text{ minuti}$ non supera $5\text{ minuti}$.\na) Modella questa condizione mediante una disequazione con valore assoluto che esprima la distanza tra il tempo effettivo e quello programmato sulla retta reale.\nb) Trasforma tale disequazione in un intervallo chiuso $[a, b]$ che rappresenti tutti i tempi di viaggio ammissibili.\nc) Un convoglio completa il percorso in $2\text{ ore}$ e $41\text{ minuti}$. Determina, motivando, se tale viaggio rientra nel margine di puntualità garantito.

In un laboratorio di acustica si analizza la zona di interferenza di due emettitori posti su una linea retta. Si definisce "zona critica" l'insieme dei punti $x$ la cui somma delle distanze dai punti $a = -2$ e $b = 4$ è esattamente uguale a $10$ unità.

1. a) Traduci questo enunciato in un'equazione con valori assoluti.
2. b) Risolvi l'equazione e determina i punti esatti della retta reale che delimitano questa zona.
3. c) Se la condizione diventa che la somma delle distanze sia minore o uguale a $10$, esprimi il risultato come intervallo chiuso.

Rappresenta sulla retta reale i seguenti intervalli e determina l'intervallo risultante dalla loro intersezione $A \cap B$:

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Marco vuole determinare gli elementi dell'insieme $A \setminus B$, con $A = [-3, 4]$ e $B = (1, 6)$. Nel suo compito scrive la seguente risposta: «Poiché da $A$ devo togliere i numeri che sono in $B$, e $B$ comincia da $1$ senza includerlo, il risultato è l'intervallo $A \setminus B = [-3, 1)$».\na) Individua e spiega, motivando, l'errore commesso da Marco riguardo all'estremo $1$, analizzando se tale numero appartiene o meno all'insieme $A$ e all'insieme $B$.\nb) Scrivi la soluzione corretta dell'insieme $A \setminus B$ in forma di intervallo.

Considera i seguenti insiemi di numeri reali definiti da intervalli e da una semiretta:

$A = (-3, 4]$

$B = [0, 9)$

$C = \{x \in \mathbb{R} : x > 2\}$

Determina e rappresenta sulla retta reale i seguenti insiemi risultanti:

1. a) $A \cap B$
2. b) $A \cup B$
3. c) $(B \cap C) - A$

Dati gli insiemi di numeri reali $A = \{x \in \mathbb{R} : -4 \leq x < 2\}$ e $B = (0, 6]$, determina ed esprimi in forma di intervallo i seguenti insiemi risultanti:

• a) $A \cup B$ (Unione)

• b) $A \cap B$ (Intersezione)

• c) $A - B$ (Differenza)

Dati gli insiemi di numeri reali definiti dalle seguenti condizioni:

• $A = \{x \in \mathbb{R} : |2x - 5| \leq 3\}$

• $B = \mathbb{R} - (-1, 4]$ (complementare dell'intervallo semiaperto)

• $C = (0, +\infty)$

Calcola in modo esatto, esprimendo il risultato in notazione di intervalli, l'insieme risultante dell'operazione $(A \cap B) \cup (A - C)$. Rappresenta ogni passaggio sulla retta reale per giustificare la tua risposta.

Un'applicazione per la gestione delle attività permette di filtrare le attività in base alla loro priorità, assegnando a ciascuna un valore numerico $x$. Rappresenta sulla retta reale e scrivi in forma di intervallo i valori di $x$ che soddisfano le seguenti condizioni:

1. a) La priorità è maggiore di $-2$ e minore o uguale a $5$.
2. b) La priorità è almeno $3$.
3. c) Il valore assoluto della priorità è minore di $4$ ($|x| < 4$).

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Una compagnia elettrica suddivide le sue tariffe in base al consumo mensile delle famiglie in kilowattora ($x$). Definisci i seguenti insiemi di consumo mediante notazione di intervalli e rappresentali su un'unica retta reale usando colori o tratti diversi:

• Tariffa A: famiglie che consumano più di $200$ kWh ma non più di $500$ kWh.

• Tariffa B: famiglie il cui consumo è superiore a $400$ kWh.

• Zona di sovrapposizione: calcola l'intersezione dei due intervalli e interpreta che cosa significa in questo contesto.

Un sensore di precisione in un impianto chimico deve operare entro un intervallo di temperatura critico. La temperatura di lavoro $T$, in gradi Celsius, deve soddisfare la condizione di sicurezza data dalla disequazione con valore assoluto:

$$|3T - 75| \le |T + 5|$$

Determina l'intervallo di temperature in cui il sensore può funzionare senza attivare l'allarme. Esprimi il risultato in notazione di intervallo e rappresentalo graficamente sulla retta reale.