Eventi

Nello studio dei fenomeni quotidiani è fondamentale distinguere tra certezza e caso. Classifica i seguenti esperimenti come aleatori o deterministici:

1. a) Tirare un rigore in un allenamento e osservare se il pallone entra in porta.
2. b) Misurare il tempo che impiega un oggetto a cadere da un'altezza di 5 metri nel vuoto.
3. c) Osservare il numero di messaggi WhatsApp che ricevi tra le 17:00 e le 18:00 di un lunedì qualsiasi.
4. d) Calcolare il costo totale dell'acquisto di 3 chili di arance se il prezzo al chilo è $1,25 \text{ €}$.
5. e) Estrarre una carta da un mazzo di carte da gioco e osservare se è di bastoni.

Abbiamo una ruota della fortuna divisa in 8 settori uguali, numerati da 1 a 8. Si fa girare la ruota e si annota il numero indicato dalla freccia.

In base a questo esperimento:

1. a) Scrivi lo spazio campionario $E$.
2. b) Indica gli elementi che formano l'evento $A = \text{"ottenere un numero maggiore di 5"}$.
3. c) Indica gli elementi che formano l'evento $B = \text{"ottenere un numero pari"}$.
4. d) Descrivi a parole l'evento complementare $\bar{A}$.

Si lanciano due dadi cubici (a sei facce) e si annota la somma dei punti ottenuti.

1. a) Qual è lo spazio campionario $E$ di questo esperimento?
2. b) Scrivi gli eventi elementari che compongono l'evento $S = \text{"la somma è multiplo di 5"}$.
3. c) Determina se l'evento $I = \text{"la somma è un numero minore di 2"}$ è un evento possibile, impossibile o certo.

Un gruppo di amici analizza i propri hobby. Sia $D$ l'evento "praticare sport" e $M$ l'evento "suonare uno strumento musicale". Esprimi simbolicamente mediante operazioni tra eventi le seguenti situazioni:

1. a) L'amico pratica sport o suona uno strumento (o entrambe le cose).
2. b) L'amico pratica sport e inoltre suona uno strumento.
3. c) L'amico pratica sport ma non suona nessuno strumento.
4. d) L'amico non pratica sport né suona nessuno strumento.

Osserva il seguente diagramma di Venn che rappresenta gli eventi $A$ e $B$ all'interno di uno spazio campionario $E$.

Se il punto $x$ rappresenta un risultato dell'esperimento, indica se le seguenti affermazioni sono vere o false basandoti sul grafico:

1. a) Il risultato $x$ appartiene all'evento $A \cup B$.
2. b) Il risultato $x$ appartiene all'evento $A \cap B$.
3. c) Gli eventi $A$ e $B$ sono incompatibili.
4. d) Il risultato $x$ appartiene all'evento $A - B$.

In una classe del terzo anno di liceo ci sono 12 studenti che hanno scelto il francese come seconda lingua, 15 che hanno scelto il tedesco e 3 che hanno scelto entrambe. Scegliendo uno studente a caso:

1. a) Qual è il numero totale di studenti che studiano almeno una delle due lingue (evento unione)?
2. b) Quanti studenti studiano solo tedesco?
3. c) Utilizzando la definizione classica di probabilità, se in totale ci sono 30 studenti in classe, calcola la probabilità che lo studente scelto studi tedesco.

In un sondaggio svolto tra gli studenti del terzo anno di liceo sui loro abbonamenti alle piattaforme di streaming, risulta che il $60\%$ è abbonato a Netflix ($N$), il $45\%$ a HBO Max ($H$) e il $20\%$ non è abbonato a nessuna delle due. Scegliendo uno studente a caso, calcola:

1. a) La probabilità che sia abbonato a entrambe le piattaforme.

1. b) La probabilità che sia abbonato a Netflix ma non a HBO Max ($P(N - H)$).

1. c) Rappresenta la situazione con un diagramma di Venn (disegna lo spazio campionario $E$ e gli insiemi $N$ e $H$) indicando le probabilità di ciascuna regione.

In un sacchetto ci sono 10 palline numerate da 1 a 10. Consideriamo i seguenti eventi:

$A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$

$B = \{6, 7, 8, 9, 10\}$

Trova gli elementi dei seguenti eventi risultanti:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (evento contrario di $A$)
4. d) $A - B$ (eventi che sono in $A$ ma non in $B$)

Dati due eventi $A$ e $B$ di un esperimento aleatorio, sappiamo che la probabilità che non si verifichi nessuno dei due è $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,3$. Se inoltre si sa che $P(A) = 0,4$ e $P(B) = 0,5$, determina:

1. a) $A$ e $B$ sono eventi incompatibili? Giustifica la risposta.
2. b) $A$ e $B$ sono eventi indipendenti?
3. c) Calcola $P(A \cap \bar{B})$.

Dimostra, motivando, usando le leggi di De Morgan e le proprietà assiomatiche della probabilità, la seguente uguaglianza per due eventi qualsiasi $A$ e $B$:

$P(\bar{A} \cap \bar{B}) - P(\bar{A}) = P(A) - P(A \cup B)$

Successivamente, interpreta che cosa significa questa uguaglianza in termini di relazione tra gli eventi $A$ e $B$ quando il risultato è uguale a zero.

Considera l'esperimento di estrarre una carta da un mazzo di 40 carte. Indica se le seguenti coppie di eventi sono compatibili o incompatibili:

1. a) $A = \text{"Estrarre un Re"}$ e $B = \text{"Estrarre un Fante"}$.
2. b) $C = \text{"Estrarre un Denaro"}$ e $D = \text{"Estrarre una Figura"}$.
3. c) $E = \text{"Estrarre un numero pari"}$ e $F = \text{"Estrarre l'Asso di Spade"}$.
4. d) $G = \text{"Estrarre un Cavallo"}$ e $H = \text{"Estrarre una carta di Coppe"}$.

In una scuola si svolge uno studio sulle abitudini di trasporto scolastico. Si definisce l'evento $B$ come «lo studente va a scuola in bicicletta» e l'evento $C$ come «lo studente va a scuola in auto privata». In un dibattito in classe, Marta afferma con decisione: «Poiché uno studente non può venire contemporaneamente in bicicletta e in auto nello stesso tragitto, gli eventi $B$ e $C$ sono contrari; quindi vale necessariamente che $P(B) + P(C) = 1$».

1. a) Individua l'errore concettuale che commette Marta confondendo eventi incompatibili con eventi contrari (o complementari).
2. b) Spiega la differenza teorica tra i due concetti utilizzando la definizione di spazio campionario $E$.
3. c) Descrivi a parole che cosa rappresenta l'evento $\overline{B \cup C}$ in questo contesto e fai un esempio di risultato dell'esperimento che appartenga a tale evento per dimostrare a Marta che la loro somma non deve necessariamente essere $1$.

Considera l'esperimento aleatorio che consiste nel lanciare un dado cubico equilibrato con le facce numerate da 1 a 6, il cui spazio campionario è $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Costruisci e scrivi gli insiemi di risultati corrispondenti a due eventi composti, $A$ e $B$, non vuoti e diversi da $E$, che verifichino contemporaneamente le tre condizioni seguenti:

1) $A$ e $B$ sono compatibili ($A \cap B \neq \emptyset$).

2) La differenza $A - B$ è un evento elementare (contiene un solo risultato).

3) L'evento unione $A \cup B$ non contiene nessun numero primo (ricorda che i numeri primi sul dado sono 2, 3 e 5).

Indica esplicitamente gli elementi di $A$, $B$, $A \cap B$, $A - B$ e $A \cup B$, e giustifica passo dopo passo perché la tua scelta soddisfa ciascuna delle condizioni richieste.

In un torneo di e-sport, il $70\%$ dei partecipanti usa una tastiera meccanica ($T$) e il $40\%$ usa un mouse ergonomico ($R$). Sappiamo che la probabilità che un partecipante scelto a caso non usi né la tastiera meccanica né il mouse ergonomico è $0,15$.

1. a) Calcola la probabilità che un giocatore usi entrambi.
2. b) Se sappiamo che un giocatore usa la tastiera meccanica, qual è la probabilità che usi anche il mouse ergonomico?
3. c) L'uso del mouse ergonomico è indipendente dall'uso della tastiera meccanica?

Un analista di dati studia la probabilità che un post su Instagram abbia successo. Definisce gli eventi $V$ (il post è un video) e $L$ (il post riceve più di 500 "like"). Si sa che $P(V) = 0,25$, $P(L) = 0,40$ e $P(V \cup L) = 0,55$.

1. a) Calcola $P(V \cap L)$.
2. b) Determina se gli eventi "essere un video" e "ricevere molti like" sono indipendenti.
3. c) Calcola la probabilità che il post riceva molti like sapendo che non è un video.

Secondo un rapporto sulla connettività e l'intrattenimento digitale nelle famiglie di una regione, il $80\,\%$ delle famiglie dispone di connessione in fibra ottica ad alta velocità ($F$) e il $60\,\%$ ha un abbonamento a una piattaforma di televisione on demand ($T$). Inoltre, il $50\,\%$ delle famiglie dispone contemporaneamente di entrambi i servizi ($F \cap T$).

1. a) Prima di qualsiasi calcolo formale, stima in modo motivato se la probabilità che una famiglia scelta a caso non abbia nessuno dei due servizi ($P(\overline{F} \cap \overline{T})$) sarà maggiore, minore o uguale a $0,15$. Spiega brevemente su quale intuizione o bilancio di percentuali ti basi.
2. b) Esprimi l'evento «non avere nessuno dei due servizi» mediante operazioni tra eventi usando le leggi di De Morgan e calcola la sua probabilità esatta applicando gli assiomi corrispondenti.
3. c) Confronta il valore ottenuto con la tua stima iniziale, calcola la probabilità che una famiglia abbia la fibra ma non la televisione on demand ($P(F - T)$) e motiva se la proporzione di famiglie che hanno solo uno dei due servizi supera quella di chi non ne ha nessuno.

Siano $A$, $B$ e $C$ tre eventi di uno stesso esperimento aleatorio tali che:

• $A$ e $B$ sono indipendenti.

• $A$ e $C$ sono incompatibili.

• $P(A) = 0,4$; $P(B) = 0,5$ e $P(C) = 0,2$.

Calcola in dettaglio applicando le proprietà della probabilità:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(A \cup C)$
3. c) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$
4. d) $P((A \cup B) \cap C)$ sapendo inoltre che $B$ e $C$ sono indipendenti.

In una prestigiosa accademia di musica, il $60\%$ degli alunni suona il pianoforte ($P$), il $45\%$ suona il violino ($V$) e il $20\%$ non suona nessuno di questi due strumenti. Si seleziona un alunno a caso.

1. a) Determina la probabilità che suoni entrambi gli strumenti.
2. b) Se sappiamo che l'alunno selezionato suona il violino, qual è la probabilità che non suoni il pianoforte?
3. c) Si scelgono tre alunni a caso in modo indipendente. Calcola la probabilità che almeno uno di loro suoni il pianoforte ma non il violino.

Osserva il seguente diagramma di Venn che rappresenta le probabilità degli eventi $A$ (studiare francese) e $B$ (studiare tedesco) in un centro linguistico.

A partire dai dati del grafico, calcola:

1. a) $P(A \cup B)$
2. b) $P(\bar{A} | B)$
3. c) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ utilizzando le leggi di De Morgan.

In una cassaforte ci sono due scomparti. Lo scomparto A contiene 4 banconote da 10 € e 6 da 20 €. Lo scomparto B contiene 7 banconote da 10 € e 3 da 20 €. Si lancia un dado: se esce un numero minore di 3 si sceglie lo scomparto A, altrimenti il B. Poi si estrae una banconota a caso.

1. a) Disegna il corrispondente diagramma ad albero.
2. b) Qual è la probabilità che la banconota estratta sia da 20 €?
3. c) Se la banconota estratta è da 10 €, qual è la probabilità che provenga dallo scomparto A?

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un gruppo di lavoro del terzo anno di liceo è formato da 5 ragazze e 3 ragazzi. Il docente deve scegliere a caso 2 persone per presentare il progetto. Calcola:

1. a) Lo spazio campionario dell'esperimento (in base al genere delle persone scelte).
2. b) La probabilità che le due persone scelte siano dello stesso genere.
3. c) La probabilità che almeno una delle persone scelte sia una ragazza.

È stato condotto uno studio sull'uso degli occhiali da sole e l'affaticamento visivo nei conducenti. Su 200 conducenti, 120 usano abitualmente gli occhiali da sole. Tra quelli che li usano, il $10\%$ dichiara di avere affaticamento visivo dopo un lungo viaggio, mentre tra quelli che non li usano la percentuale di affaticamento sale al $35\%$.

1. a) Organizza le informazioni in una tabella di contingenza.
2. b) Scegliendo un conducente a caso, qual è la probabilità che abbia affaticamento visivo?
3. c) Se un conducente dichiara di non avere affaticamento visivo, qual è la probabilità che usi gli occhiali da sole?

A partire dai dati dell'indagine sulle forze di lavoro per i giovani da 18 a 24 anni in una provincia italiana, si modellizzano due eventi scegliendo un giovane a caso: $T$ («avere un lavoro retribuito») e $E$ («frequentare studi regolari»). I dati indicano che $P(T) = 0,38$, $P(E) = 0,52$ e la probabilità che un giovane svolga almeno una delle due attività è $P(T \cup E) = 0,78$.

1. a) Traduci nella notazione formale delle operazioni tra eventi ($T$, $E$, unioni, intersezioni o complementari) ciascuna delle seguenti situazioni quotidiane:

i) Il giovane concilia lavoro e formazione.

ii) Il giovane non svolge nessuna delle due attività (situazione nota come «NEET»).

iii) Il giovane lavora, ma non studia.

1. b) Calcola la probabilità di ciascuno dei tre eventi precedenti applicando rigorosamente le proprietà delle operazioni (formula dell'unione, leggi di De Morgan ed evento differenza).
2. c) Giustifica se gli eventi $T$ e $E$ sono compatibili o incompatibili e interpreta il significato socioeconomico del fatto che $T \cap E \neq \emptyset$ in questa fascia di età.

In uno studio sul consumo di media digitali tra gli adolescenti si analizzano due eventi: $A$ (l'utente usa abitualmente una piattaforma di microblogging) e $B$ (l'utente consuma contenuti su piattaforme di streaming video). Dopo aver condotto un sondaggio, sono stati ottenuti i seguenti dati di probabilità:

• La probabilità che un utente non utilizzi nessuna delle due piattaforme è $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 0,15$.

• La probabilità che utilizzi abitualmente la piattaforma di microblogging è $P(A) = 0,6$.

• La probabilità che non utilizzi la piattaforma di streaming, sapendo che utilizza quella di microblogging, è $P(\bar{B}/A) = 0,4$.

Calcola, motivando, le seguenti probabilità:

1. a) La probabilità che l'utente consumi contenuti in streaming, $P(B)$.
2. b) La probabilità che utilizzi la piattaforma di microblogging ma non quella di streaming, $P(A - B)$.
3. c) Gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti? Giustifica la risposta con dei calcoli.

Considera un esperimento aleatorio in cui lo spazio campionario è $E$. Siano $S_1$ e $S_2$ due eventi le cui probabilità dipendono da un valore incognito $k \in \mathbb{R}$. Si sa che:

• $P(S_1) = k$

• $P(S_2) = k^2 + 0,1$

• $P(S_1 \cup S_2) = 0,7$

Determina il valore di $k$ sapendo che gli eventi $S_1$ e $S_2$ sono incompatibili. Una volta trovato $k$, verifica se sarebbe possibile che $S_1$ e $S_2$ fossero indipendenti con le stesse condizioni di probabilità individuale (ignorando l'unione precedente). Giustifica se esiste qualche valore di $k$ che permetta contemporaneamente l'indipendenza e l'unione.

Un'azienda di cybersicurezza ha installato due sistemi di rilevamento delle intrusioni, $D_1$ e $D_2$, che funzionano in modo indipendente. La probabilità che, di fronte a un attacco esterno, il sistema $D_1$ dia l'allarme è $0,92$. D'altra parte, la probabilità che il sistema $D_2$ non rilevi l'attacco è $0,15$.

Il diagramma mostra i rami possibili (✓ = rileva, ✗ = non rileva).

Se si verifica un attacco inatteso, calcola:

1. a) La probabilità che almeno uno dei due sistemi rilevi l'attacco.

1. b) La probabilità che solo il sistema $D_2$ dia l'allarme.

1. c) Sapendo che l'attacco è stato rilevato da almeno uno dei sistemi, qual è la probabilità che entrambi i sistemi abbiano funzionato correttamente?

Un laboratorio diagnostico analizza campioni d'acqua per rilevare un batterio specifico. Si sa che il $5\%$ delle fonti di una regione è contaminato ($C$). Il test utilizzato ha una probabilità di dare un falso positivo (risultare positivo quando non c'è il batterio) del $2\%$ e una probabilità di dare un falso negativo (risultare negativo quando il batterio c'è) del $1\%$.

1. a) Costruisci il diagramma ad albero corrispondente a questa situazione.

1. b) Calcola la probabilità che il test risulti positivo ($+$).

1. c) Se il test di una fonte è risultato positivo, qual è la probabilità che sia davvero contaminata? Commenta il risultato ottenuto dal punto di vista dell'affidabilità del test.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

In un torneo di e-sports, una squadra deve superare tre fasi eliminatorie consecutive per vincere il premio. Le probabilità di superare ciascuna fase dipendono dal successo in quella precedente a causa della fatica accumulata:

• La probabilità di superare la Fase 1 è $P(F_1) = 0,8$.

• Se superano la Fase 1, la probabilità di superare la Fase 2 è $P(F_2/F_1) = 0,7$.

• Se non superano la Fase 1, vengono eliminati automaticamente (ovviamente non c'è la Fase 2).

• Se hanno superato le prime due fasi, la probabilità di vincere la Fase 3 è $P(F_3 / F_1 \cap F_2) = 0,5$.

Calcola:

1. a) La probabilità che la squadra venga eliminata esattamente nella Fase 2.
2. b) La probabilità che la squadra vinca il torneo (superi tutte e tre le fasi).
3. c) Sapendo che la squadra non ha vinto il torneo, qual è la probabilità che non abbia superato nemmeno la prima fase?

Un istituto finanziario italiano controlla i pagamenti elettronici per individuare operazioni sospette mediante due tipi di allerte automatiche: localizzazione geografica incoerente ($L$) e importo insolitamente elevato ($I$). Sono state determinate le probabilità $P(L) = 0,15$, $P(I) = 0,10$ e si sa che la probabilità che una transazione non generi nessuna delle due allerte è $P(\overline{L} \cap \overline{I}) = 0,80$. Il team tecnico deve trovare la probabilità dell'evento $D$: «la transazione genera esattamente una delle due allerte».

Per calcolare $P(D)$, due analisti propongono procedimenti diversi:

• Metodo 1 (Scomposizione in eventi disgiunti): Ottenere $P(L \cap I)$ mediante le leggi di De Morgan; calcolare separatamente le probabilità degli eventi disgiunti $L - I$ e $I - L$, e sommarle: $P(D) = P(L - I) + P(I - L)$.

• Metodo 2 (Sottrazione globale): Determinare $P(L \cup I)$ a partire dal complementare e sottrarre direttamente l'intersezione: $P(D) = P(L \cup I) - P(L \cap I)$.

1. a) Sviluppa entrambi i metodi passo dopo passo mostrando le operazioni intermedie e verifica che entrambi forniscono lo stesso valore di probabilità.
2. b) Dimostra formalmente, mediante le definizioni delle operazioni tra insiemi (unione, intersezione e differenza), che $(L - I) \cup (I - L) = (L \cup I) - (L \cap I)$.
3. c) Confronta i due percorsi e giustifica quale risulta più efficiente dal punto di vista algebrico e quale minimizza il rischio di dimenticare la sovrapposizione degli eventi se i dati provengono da un database reale.

In una società di consulenza tecnologica i candidati a una posizione tecnica vengono valutati in base a due competenze: certificazione in ambienti cloud ($C$) e padronanza della programmazione funzionale ($F$). Dalle valutazioni precedenti si sa che il $75\,\%$ possiede la certificazione cloud ($P(C) = 0,75$) e il $40\,\%$ padroneggia la programmazione funzionale ($P(F) = 0,40$). In partenza non si dispone del dato congiunto $P(C \cap F)$.

1. a) Determina in modo motivato l'intervallo chiuso $[k_{\min}, k_{\max}]$ dei valori ammissibili per la probabilità che un candidato scelto a caso possieda entrambe le competenze, $P(C \cap F)$. Giustifica l'estremo inferiore a partire dalla proprietà $P(C \cup F) \le 1$ e l'estremo superiore a partire dalla relazione di inclusione $(C \cap F) \subseteq F$.
2. b) Problema inverso: la direzione impone come criterio di selezione che la probabilità di scartare un candidato perché non possiede nessuna delle due competenze, $P(\overline{C} \cap \overline{F})$, sia almeno $0,10$. Dimostra quale restrizione impone questa condizione su $P(C \cap F)$ e determina il nuovo intervallo valido per tale probabilità con questa esigenza.
3. c) A partire dai risultati precedenti, dimostra rigorosamente perché è matematicamente impossibile che gli eventi $C$ e $F$ siano incompatibili in questa azienda, ricorrendo agli assiomi di Kolmogorov e allo spazio campionario.