Disequazioni esponenziali e logaritmiche semplici
Un'app musicale parte con 10 utenti e il loro numero raddoppia ogni mese. Dopo quanti mesi gli utenti saranno più di 1.000? Dopo $n$ mesi sono $10 \cdot 2^n$, quindi dobbiamo risolvere $10 \cdot 2^n > 1.000$: l'incognita sta all'esponente. Alla fine della pagina daremo la risposta.
Disequazioni esponenziali
Una disequazione esponenziale ha l'incognita all'esponente, per esempio $2^x > 8$. Per risolverla basta ricordare come si comporta la funzione $y = a^x$.
Se $a > 1$ la funzione è crescente: a un esponente maggiore corrisponde una potenza maggiore. Se $0 < a < 1$ è decrescente: a un esponente maggiore corrisponde una potenza minore.
Nel grafico di $y = 2^x$ la curva sta sopra la retta $y = 8$ per $x > 3$. Quindi $2^x > 8$ ha come soluzione $x > 3$.
Con base $\frac{1}{2}$ la curva scende. Quindi $\left(\frac{1}{2}\right)^x > 4$ vale per $x < -2$: il verso si inverte.
Se i due membri non si riducono alla stessa base, si usano i logaritmi. Per esempio $3^x > 5$ dà $x > \log_3 5 = \frac{\ln 5}{\ln 3} \approx 1{,}46$.
Risolvi le disequazioni esponenziali: a) $2^x > 8$ b) $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x \leq \dfrac{1}{9}$
Risolvi le disequazioni esponenziali:
- a) $2^x > 8$
- b) $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x \leq \dfrac{1}{9}$
Risolvi la disequazione $3^{2x-1} \geq 27$.
Risolvi la disequazione $3^{2x-1} \geq 27$.
Risolvi la disequazione $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 3x} > \dfrac{1}{4}$.
Risolvi la disequazione $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 3x} > \dfrac{1}{4}$.
Disequazioni logaritmiche e condizioni di esistenza
Ricorda che $\log_a x$ esiste solo se $x > 0$, con base $a > 0$ e $a \neq 1$. Quindi, prima di tutto, si scrivono le condizioni di esistenza (C.E.): l'argomento del logaritmo deve essere strettamente positivo.
Anche la funzione logaritmo ha un comportamento che dipende dalla base: per $a > 1$ è crescente, per $0 < a < 1$ è decrescente.
Risolvi le disequazioni logaritmiche, indicando prima le condizioni di esistenza: a) $\log_2 x > 3$ b) $\ln(x - 1) < 0$
Risolvi le disequazioni logaritmiche, indicando prima le condizioni di esistenza:
- a) $\log_2 x > 3$
- b) $\ln(x - 1) < 0$
Risolvi la disequazione $\log_{\frac{1}{2}}(2x - 3) \geq -2$, determinando prima le condizioni di esistenza.
Risolvi la disequazione $\log_{\frac{1}{2}}(2x - 3) \geq -2$, determinando prima le condizioni di esistenza.
Un passaggio in più: sostituzione e somma di logaritmi
Alcune disequazioni non si riducono subito a un confronto. In due casi comuni basta un passaggio preparatorio.
Esponenziali che diventano di secondo grado
Se compaiono $a^{2x}$ e $a^x$ insieme, si pone $t = a^x$. Poiché $a^x > 0$ sempre, si ha la condizione $t > 0$. Si risolve la disequazione in $t$ e poi si torna a $x$.
Somma di logaritmi
Quando compaiono più logaritmi nella stessa base, si usano le proprietà per ridurli a uno solo. Attenzione: le C.E. si scrivono prima, sui logaritmi di partenza, perché la proprietà $\log_a A + \log_a B = \log_a (AB)$ vale solo se $A > 0$ e $B > 0$.
Risolvi la disequazione $4^x - 3\cdot 2^x - 4 < 0$, usando una sostituzione opportuna e motivando ogni passaggio.
Risolvi la disequazione $4^x - 3\cdot 2^x - 4 < 0$, usando una sostituzione opportuna e motivando ogni passaggio.
Risolvi la disequazione $\log_2(x) + \log_2(x - 2) \leq 3$, determinando le condizioni di esistenza e spiegando perché occorre intersecarle con la soluzione trovata.
Risolvi la disequazione $\log_2(x) + \log_2(x - 2) \leq 3$, determinando le condizioni di esistenza e spiegando perché occorre intersecarle con la soluzione trovata.
Modelli di crescita e decadimento
Nei problemi reali (crescita di un capitale, decadimento radioattivo) l'incognita è il tempo, che sta all'esponente. Per portarlo giù si applicano i logaritmi a entrambi i membri.
Questa operazione è lecita perché i due membri sono positivi e la funzione logaritmo è monotòna. Ricorda però di guardare la base: se si usa una base maggiore di $1$ (come $\ln$ o $\log_{10}$) il verso della disequazione resta. Cambia solo se dividi per un numero negativo, per esempio $\ln\frac{1}{2} < 0$.
Torniamo all'inizio. Gli utenti dell'app soddisfano $10 \cdot 2^n > 1.000$, cioè $2^n > 100$, quindi $n > \log_2 100 = \frac{\ln 100}{\ln 2} \approx 6{,}64$. Servono quindi $7$ mesi.
Una somma di $2.000 €$ è investita a Bologna con interesse composto annuo del $3\%$. Il capitale dopo $n$ anni è $C(n) = 2.000 \cdot 1{,}03^n$. Determina dopo quanti…
Una somma di $2.000 €$ è investita a Bologna con interesse composto annuo del $3\%$. Il capitale dopo $n$ anni è $C(n) = 2.000 \cdot 1{,}03^n$. Determina dopo quanti anni interi il capitale supera per la prima volta $2.500 €$, impostando e risolvendo una disequazione esponenziale con i logaritmi.
Un reperto archeologico trovato a Pompei contiene una quantità di una sostanza radioattiva che segue la legge $N(t) = N_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/5.730}$, con…
Un reperto archeologico trovato a Pompei contiene una quantità di una sostanza radioattiva che segue la legge $N(t) = N_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/5.730}$, con $t$ in anni.
- a) Determina dopo quanti anni la quantità scende sotto il $10\%$ di $N_0$.
- b) Determina l'intervallo di tempo in cui la quantità è compresa tra il $25\%$ e il $50\%$ di $N_0$.
- c) Spiega perché la disequazione ottenuta cambia verso quando si passa ai logaritmi e come ciò dipende dalla base.
In sintesi
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Disequazioni esponenziali: si riducono alla stessa base e si confrontano gli esponenti. Con base $a > 1$ il verso resta, con $0 < a < 1$ si inverte.
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Disequazioni logaritmiche: si scrivono prima le condizioni di esistenza (argomenti $> 0$), poi si confrontano gli argomenti, con la stessa regola sul verso. La soluzione è l'intersezione.
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Se compaiono $a^{2x}$ e $a^x$, si pone $t = a^x$ con $t > 0$ e si torna a $x$ alla fine.
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Quando l'incognita è il tempo, si applicano i logaritmi. Il verso cambia solo se si divide per un numero negativo, come $\ln\frac{1}{2}$.
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Se $n$ conta anni o mesi interi, si prende il primo intero che soddisfa la disuguaglianza.