Esercizi: Rapporti dell'angolo somma di due angoli

Calcola il valore esatto di $\sin(75^\circ)$ scomponendo l'angolo come somma di due angoli notevoli ($45^\circ$ e $30^\circ$).

Determina il valore esatto di $\cos(105^\circ)$ utilizzando la formula del coseno della somma, sapendo che $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$.

Trova il valore esatto di $\tan(75^\circ)$ applicando la formula della tangente della somma a partire dagli angoli di $45^\circ$ e $30^\circ$. Razionalizza il risultato se necessario.

Semplifica la seguente espressione trigonometrica a un solo termine numerico esatto applicando le formule di addizione al contrario:

$\sin(22^\circ)\cos(8^\circ) + \cos(22^\circ)\sin(8^\circ)$

Riduci la seguente espressione a un valore numerico esatto:

$\cos(40^\circ)\cos(20^\circ) - \sin(40^\circ)\sin(20^\circ)$

Sapendo che $\sin \alpha = \frac{4}{5}$ e $\cos \beta = \frac{12}{13}$, e che sia $\alpha$ sia $\beta$ sono angoli acuti (appartenenti al primo quadrante), calcola il valore esatto di $\sin(\alpha + \beta)$.

Dati due angoli $\alpha$ e $\beta$ tali che $\tan \alpha = 3$ e $\tan \beta = 2$, determina il valore esatto di $\tan(\alpha + \beta)$.

Esprimi $\cos(x + \frac{\pi}{2})$ in funzione dei rapporti trigonometrici dell'angolo $x$ sviluppando la corrispondente formula di addizione e semplificando il risultato.

Lucia deve calcolare il valore esatto di $\cos(105^\circ)$ senza calcolatrice e decide di scomporre l'angolo come somma di due angoli notevoli: $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$. Nel suo compito scrive il seguente svolgimento:

Rivedendo la prova corretta, nota che l'insegnante ha valutato l'esercizio con zero.

1. a) Senza fare calcoli analitici, ragiona geometricamente, in base alla posizione sulla circonferenza goniometrica, sul perché il risultato di Lucia ($\approx 0,97$) è impossibile per un angolo di $105^\circ$.
2. b) Individua e spiega con precisione l'errore concettuale o di formula commesso nella seconda uguaglianza del suo svolgimento.
3. c) Correggi il procedimento e ottieni il valore esatto semplificato di $\cos(105^\circ)$.

Si considerano due angoli acuti incogniti, $\alpha$ e $\beta$, di cui si sa solo che $\tan\alpha = 2$ e $\tan\beta = 3$.

1. a) Stima: Tenendo conto che nel primo quadrante la tangente è una funzione strettamente crescente e che $\tan(45^\circ) = 1$, stabilisci in quale quadrante deve trovarsi l'angolo somma $\alpha + \beta$. A partire da questa deduzione qualitativa, prevedi quale segno (+ o -) avrà necessariamente $\tan(\alpha+\beta)$ prima di fare qualsiasi operazione.
2. b) Calcola: Applica la formula della tangente dell'angolo somma per trovare il valore esatto di $\tan(\alpha+\beta)$.
3. c) Verifica: Valuta se il valore numerico ottenuto conferma la tua previsione sul segno e determina la misura esatta in gradi dell'angolo $\alpha + \beta$.

Dati gli angoli $\alpha$ e $\beta$ tali che $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ con $\alpha \in [\frac{\pi}{2}, \pi]$ e $\cos \beta = \frac{5}{13}$ con $\beta \in [\frac{3\pi}{2}, 2\pi]$, calcola il valore esatto di $\cos(\alpha + \beta)$.

Dimostra la seguente identità trigonometrica sviluppando il numeratore mediante la formula corrispondente e semplificando la frazione:

$\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos\alpha \cos\beta} = \tan\alpha + \tan\beta$

In un progetto di ingegneria solare, un pannello fotovoltaico ha un'inclinazione iniziale $\alpha$ tale che $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Per ottimizzare la captazione in inverno, un meccanismo aumenta l'inclinazione di un angolo aggiuntivo di $15^\circ$. Calcola il valore esatto di $\tan(\alpha + 15^\circ)$ senza usare approssimazioni decimali, sapendo che $\tan(15^\circ) = 2 - \sqrt{3}$.

Semplifica l'espressione trigonometrica $\cos(x + \frac{\pi}{3}) + \sin(x + \frac{\pi}{6})$ in modo che risulti in funzione soltanto di $\cos x$ e/o $\sin x$.

Sapendo che $\tan \alpha = \frac{1}{2}$ e che la tangente dell'angolo somma è $\tan(\alpha + \beta) = 3$, determina il valore esatto di $\tan \beta$ impostando l'equazione corrispondente a partire dalla formula di addizione.

Un cannone lancia un proiettile con un angolo di elevazione $\alpha$ rispetto al pendio di una montagna, con $\sin \alpha = 0,6$ (essendo $\alpha$ un angolo acuto). Il pendio stesso ha un'inclinazione $\beta$ rispetto all'orizzontale con $\cos \beta = 0,96$ (essendo $\beta$ acuto). Trova il valore esatto del seno dell'angolo totale di lancio rispetto all'orizzontale, cioè $\sin(\alpha + \beta)$.

Calcola in modo esatto il valore dell'espressione $\sin(15^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(15^\circ)\sin(30^\circ)$. Usa questo risultato geometrico per trovare l'area esatta di un parallelogramma i cui lati adiacenti misurano $8$ cm e $10$ cm, sapendo che l'angolo da essi formato è proprio la somma di $15^\circ$ e $30^\circ$.

In un esperimento di ottica, un fascio di luce attraversa due prismi consecutivi che deviano la sua traiettoria nello stesso piano. Il primo prisma produce una deviazione $\alpha$ tale che $\tan \alpha = \frac{1}{3}$, e il secondo una deviazione aggiuntiva $\beta$ tale che $\tan \beta = \frac{1}{2}$. Dimostra che la deviazione totale $\alpha + \beta$ è esattamente $45^\circ$ calcolando la tangente dell'angolo somma.

In un impianto fotovoltaico situato in Umbria, i moduli sono collocati su un pendio naturale che ha un'inclinazione ascendente di angolo acuto $\beta$ rispetto all'orizzontale, con $\tan\beta = \frac{7}{24}$. I supporti permettono di inclinare i pannelli di un ulteriore angolo acuto $\alpha$ rispetto al suolo del pendio, in modo che l'inclinazione totale sul piano orizzontale sia $\alpha + \beta$. Per ottimizzare la captazione nei mesi invernali, il capitolato tecnico richiede che l'angolo totale soddisfi $\sin(\alpha + \beta) = \frac{4}{5}$, essendo $\alpha + \beta < 90^\circ$.

1. a) A partire da $\tan\beta = \frac{7}{24}$, ottieni i valori esatti di $\sin\beta$ e $\cos\beta$ giustificando il segno in base al quadrante.
2. b) Determina il valore esatto di $\cos(\alpha + \beta)$ e calcola a partire da esso la frazione esatta che rappresenta $\tan(\alpha + \beta)$.
3. c) Utilizza la formula della tangente della somma per impostare un'equazione di primo grado e calcola il valore esatto di $\tan\alpha$. A partire da questo dato, stabilisci con ragionamento se la regolazione meccanica $\alpha$ sul terreno deve essere maggiore o minore di $45^\circ$.

Si vogliono costruire due angoli acuti $\alpha$ e $\beta$ appartenenti al primo quadrante, $\alpha, \beta \in (0^\circ, 90^\circ)$, che soddisfino contemporaneamente queste due condizioni:

1) $\cos\alpha\cdot\cos\beta - \sin\alpha\cdot\sin\beta = 0$

2) $\tan\alpha = 3\cdot\tan\beta$

1. a) Riconosci la formula trigonometrica corrispondente al membro di sinistra della condizione (1) e deduci con ragionamento quale relazione di complementarità hanno tra loro $\alpha$ e $\beta$.
2. b) Con tale relazione, esprimi $\tan\beta$ esclusivamente in funzione di $\tan\alpha$ mediante i rapporti trigonometrici degli angoli complementari.
3. c) Sostituisci il risultato precedente nella condizione (2), risolvi l'equazione ottenuta per trovare il valore esatto di $\tan\alpha$ e determina le misure esatte in gradi dei due angoli $\alpha$ e $\beta$.

Risolvi l'equazione trigonometrica $\sin(x + 30^\circ) = 2\cos x$ per l'intervallo $x \in [0^\circ, 360^\circ)$. Esprimi le soluzioni in forma esatta in gradi.

Trova tutte le soluzioni esatte dell'equazione $\sin(x + \frac{\pi}{6}) - \cos x = 0$ nell'intervallo $[0, 2\pi)$.

Sviluppa l'espressione $\cos(\alpha+\beta+\gamma)$ in funzione esclusiva dei seni e dei coseni degli angoli semplici $\alpha$, $\beta$ e $\gamma$. Raggruppa i termini in modo opportuno.

Un braccio robotico planare è composto da due segmenti. Il primo segmento forma un angolo $\alpha$ con l'orizzontale, dove $\sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$ (trovandosi nel primo quadrante). Il secondo segmento forma un angolo $\beta$ di rotazione relativa rispetto al prolungamento del primo segmento. Se per raggiungere un pezzo critico si richiede che l'inclinazione totale del secondo segmento rispetto all'orizzontale sia tale che $\tan(\alpha + \beta) = 2$, calcola il valore esatto di $\tan \beta$.

In qualsiasi triangolo non rettangolo $ABC$, sapendo che la somma dei suoi angoli interni è $A+B+C = 180^\circ$, dimostra matematicamente la seguente relazione fondamentale:

$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$

Un topografo osserva la sommità di un edificio con un angolo di elevazione $\alpha$, con $\cos \alpha = \frac{4}{5}$. Dietro questo edificio, sulla stessa linea visuale, c'è una torre di telecomunicazioni. L'angolo di elevazione aggiuntivo dalla sommità dell'edificio fino alla punta della torre, misurato a partire dalla visuale precedente, è $\beta$, con $\sin \beta = \frac{7}{25}$. Sapendo che entrambi gli angoli sono acuti, calcola il valore esatto del coseno dell'angolo totale di elevazione $\alpha + \beta$ verso la punta della torre.

Risolvi il seguente sistema di equazioni trigonometriche per $x, y \in [0, \frac{\pi}{2}]$ e fornisci i valori esatti di $x$ e $y$ in radianti:

$\sin(x+y) = 1$

$\cos x \sin y = \frac{1}{2}$

Un aereo da ricognizione vola inizialmente con una rotta che forma un angolo $\alpha$ a nord dell'est, con $\tan \alpha = \frac{3}{4}$. Una forte corrente di vento laterale devia la sua traiettoria di un ulteriore angolo $\beta$ verso nord, in modo che la rotta effettiva sul suolo formi un angolo $\alpha + \beta$ con l'est. Se la torre di controllo misura che la tangente della rotta effettiva è $\frac{12}{5}$, trova i valori esatti di $\sin \beta$ e $\cos \beta$ senza ricorrere al calcolo degli angoli con la calcolatrice.

Per risolvere nell'intervallo $[0^\circ, 360^\circ)$ l'equazione trigonometrica:

due studenti propongono metodi di risoluzione diversi:

• Metodo di Sara: Applica direttamente le formule di addizione per il seno e il coseno della somma nel primo membro, raccoglie i termini simili e risolve la semplice equazione che ne risulta.

• Metodo di Marco: Effettua la sostituzione $u = x + 45^\circ$, eleva al quadrato entrambi i membri dell'equazione $\sin u + \cos u = 1$ per ottenere $(\sin u + \cos u)^2 = 1$, e usa l'identità fondamentale per ricavare $u$ e poi $x$.

1. a) Sviluppa completamente il metodo di Sara e trova tutte le soluzioni esatte dell'equazione nell'intervallo $[0^\circ, 360^\circ)$.
2. b) Sviluppa il metodo di Marco fino a trovare le soluzioni apparenti per $x$. Spiega in dettaglio perché elevare al quadrato introduce soluzioni false (estranee) in questo contesto e individua quali sono, verificandole nell'equazione originale.
3. c) Giustifica perché il metodo di Sara, basato sulle formule di addizione, è concettualmente superiore e più sicuro rispetto al ricorso alle potenze.

In qualsiasi triangolo non rettangolo $ABC$, le misure dei suoi angoli interni verificano che $A + B + C = 180^\circ$. In un caso concreto, si conoscono le tangenti di due dei suoi angoli: $\tan A = 2$ e $\tan B = 3$.

1. a) Sapendo che $C = 180^\circ - (A + B)$, applica le proprietà degli angoli supplementari per dimostrare la relazione che esiste tra $\tan C$ e $\tan(A + B)$.
2. b) Applica la formula di addizione della tangente per calcolare il valore esatto di $\tan(A+B)$ e deduci il valore numerico di $\tan C$. A partire da esso, trova la misura esatta in gradi dell'angolo $C$ e stabilisci se il triangolo è acutangolo o ottusangolo.
3. c) Verifica numericamente se per questo triangolo vale l'uguaglianza $\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \cdot \tan B \cdot \tan C$. Successivamente, dimostra algebricamente che questa relazione è un'identità valida per qualsiasi triangolo non rettangolo, partendo dall'uguaglianza $\tan(A+B) = -\tan C$.