Esercizi: Misura degli angoli: gradi e radianti

Esprimi in radianti, usando frazioni ridotte ai minimi termini di $\pi$, i seguenti angoli dati in gradi sessagesimali: $15^\circ$, $135^\circ$, $210^\circ$ e $330^\circ$.

Converti in gradi sessagesimali i seguenti angoli espressi in radianti: $\frac{\pi}{5}$, $\frac{5\pi}{6}$, $\frac{7\pi}{4}$ e $\frac{11\pi}{3}$.

Riduci i seguenti angoli al primo giro (cioè trova l'angolo equivalente compreso tra $0^\circ$ e $360^\circ$) e indica in quale quadrante si trova il lato finale di ciascuno: $1250^\circ$ e $2460^\circ$.

Trova l'angolo positivo equivalente nel primo giro (compreso tra $0$ e $2\pi$ rad) per i seguenti angoli negativi: $-\frac{\pi}{4}$ e $-\frac{13\pi}{6}$.

Calcola l'angolo al centro sotteso da un arco lungo $12$ cm in una circonferenza di raggio $4$ cm. Esprimi il risultato sia in radianti sia in gradi sessagesimali.

Determina la lunghezza dell'arco descritto dall'estremo inferiore di un pendolo lungo $60$ cm quando oscilla di un angolo di $\frac{\pi}{8}$ radianti.

Calcola la somma degli angoli interni di un ottagono regolare ed esprimi in radianti il valore di ciascuno dei suoi angoli interni, usando frazioni di $\pi$.

Un angolo misura esattamente $3$ radianti. Senza usare la calcolatrice, stabilisci se questo angolo è maggiore, minore o uguale a un angolo piatto ($180^\circ$) e determina in quale quadrante si trova.

Lucia deve calcolare l'area di un'aiuola a forma di settore circolare, il cui raggio misura $6\text{ m}$ e il cui angolo al centro è di $45^\circ$. Per risolvere, applica direttamente la formula $A = \frac{1}{2}r^2\theta$ e scrive nel compito:

Vedendo il risultato, l'insegnante le dice di rivedere i calcoli, perché il cerchio completo di raggio $6\text{ m}$ ha una superficie di appena $113,1\text{ m}^2$ circa. Individua e spiega in dettaglio l'errore concettuale commesso da Lucia, giustifica perché la formula usata richiede che l'angolo sia espresso in radianti e calcola la soluzione corretta sia in forma esatta (in funzione di $\pi$) sia con approssimazione a due cifre decimali.

In una pista di allenamento circolare di raggio $50\text{ m}$, un atleta percorre un arco che sottende un angolo al centro di $2,4\text{ rad}$.

1. a) Prima di operare, fai una stima intuitiva: sapendo che un radiante è l'angolo al centro il cui arco misura esattamente quanto il raggio, stabilisci senza calcolatrice se la distanza percorsa dall'atleta supererà $100\text{ m}$ e se sarà maggiore o minore di $150\text{ m}$.
2. b) Tenendo conto che $1\text{ rad} \approx 57,3^\circ$ (quasi $60^\circ$), stima mentalmente il valore approssimato dell'angolo in gradi sessagesimali.
3. c) Calcola ora con precisione la lunghezza dell'arco percorso e il valore esatto dell'angolo in gradi sessagesimali (arrotondato a due cifre decimali). Confronta i risultati con le tue stime precedenti e valuta con argomentazioni se la tua approssimazione iniziale era corretta.

Un disco in vinile gira su un giradischi a una velocità di $33$ giri al minuto (rpm). Calcola la sua velocità angolare in radianti al secondo e determina l'angolo, in radianti, descritto da un punto del suo bordo in $2,5$ secondi.

In una pista di atletica circolare, un corridore si muove sulla corsia interna mantenendosi a $50$ metri dal centro. Se percorre una distanza di $120$ metri, calcola l'angolo in radianti descritto rispetto al centro della pista. Esprimi poi questo risultato anche in gradi, primi e secondi.

Calcola l'angolo minore, espresso in gradi sessagesimali e in radianti, formato dalle lancette di un orologio analogico (delle ore e dei minuti) esattamente alle 16:20.

Due città, A e B, si trovano sullo stesso meridiano terrestre. La latitudine della città A è $41^\circ$ Nord e la latitudine della città B è $28^\circ$ Sud. Supponendo che la Terra sia una sfera perfetta con raggio medio di $6371$ km, calcola la distanza in linea retta sulla superficie terrestre che separa le due città.

Una ruota panoramica ha un diametro di $40$ metri e dispone di $24$ cabine distribuite uniformemente lungo il bordo esterno. Calcola la distanza lungo l'arco della ruota che separa due cabine consecutive e l'angolo in radianti che formano rispetto all'asse centrale.

Il sistema di trasmissione di una macchina industriale è formato da due pulegge collegate da una cinghia tesa. La puleggia motrice ha un raggio di $15$ cm e la puleggia condotta ha un raggio di $45$ cm. Se la puleggia motrice ruota di un angolo di $\frac{7\pi}{2}$ radianti, calcola di quanti radianti ruota la puleggia condotta e quanti giri completi compie.

Un irrigatore agricolo copre un settore circolare. Il getto d'acqua raggiunge una distanza massima di $18$ metri e la testa dell'irrigatore spazza un angolo di $140^\circ$. Calcola l'area totale del terreno irrigato e la lunghezza dell'arco esterno descritto dall'acqua.

I tre angoli di un triangolo sono in progressione aritmetica. Sapendo che l'angolo maggiore misura $80^\circ$, determina la misura dei tre angoli espressa in radianti (usando frazioni di $\pi$).

Per irrigare un prato in un parco pubblico si usa un irrigatore oscillante con una gittata di $8\text{ m}$ che spazza un angolo di $135^\circ$. Due tecnici della manutenzione calcolano la superficie irrigata seguendo strade diverse:

• Metodo A (Marco): imposta una proporzione diretta basata sulla geometria classica in gradi: $\frac{A}{135^\circ} = \frac{\pi\cdot 8^2}{360^\circ}$.

• Metodo B (Sara): converte prima l'angolo in radianti sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini di $\pi$ e applica poi l'espressione $A = \frac{1}{2}r^2\theta$.

1. a) Svolgi entrambi i procedimenti passo dopo passo e verifica se i due tecnici ottengono lo stesso risultato numerico esatto.
2. b) Analizza vantaggi e svantaggi di ciascun metodo. Quale dei due risulta più diretto e coerente se poi si chiede di calcolare la velocità lineare dell'acqua all'estremità sapendo che l'irrigatore completa quella spazzata in $3\text{ s}$? Giustifica la risposta usando la relazione $v = \omega\cdot r$.

Si progetta di costruire un'area giochi per bambini a forma di settore circolare, che verrà recintata interamente lungo il perimetro (i due bordi rettilinei corrispondenti ai raggi e il bordo curvo dell'arco) utilizzando esattamente $36\text{ m}$ di recinzione metallica.

1. a) Esprimi l'area $A$ del settore circolare in funzione esclusivamente del raggio $r$, eliminando l'angolo $\theta$ (in radianti) mediante la condizione sul perimetro totale della recinzione.
2. b) Se si decide di fissare il raggio dell'area a $r = 9\text{ m}$, determina l'angolo al centro $\theta$ che deve avere il settore (in radianti e in gradi sessagesimali). Quale frazione esatta del cerchio completo rappresenta tale area?
3. c) Risolvi il problema inverso: se si impone che l'angolo al centro sia obbligatoriamente $\theta = 2\text{ rad}$, quanto deve misurare il raggio per utilizzare esattamente $36\text{ m}$ di recinzione? Dimostra che, con questo valore dell'angolo al centro, la lunghezza dell'arco curvo è sempre uguale alla somma dei due raggi rettilinei, qualunque sia la lunghezza totale della recinzione disponibile.

Un faro marittimo proietta un fascio di luce che ruota con velocità angolare costante di $4$ giri al minuto. Il fascio illumina la superficie del mare fino a una distanza massima di $5$ km. A causa dell'orografia della costa, esiste un settore cieco di $\frac{2\pi}{5}$ radianti verso l'entroterra in cui la luce non è visibile. Calcola l'area totale di mare illuminata dal faro in ogni giro completo e il tempo esatto, in secondi, che il fascio di luce impiega ad attraversare la zona visibile.

Determina l'ora esatta, compresa tra le 7:00 e le 8:00, in cui le lancette di un orologio analogico (delle ore e dei minuti) sono perfettamente sovrapposte. Esprimi inoltre, in radianti, l'angolo totale spazzato dalla lancetta delle ore dalle 7:00 fino a quell'istante preciso.

Il raggio delle ruote di un'automobile è di $32$ cm. Se il veicolo viaggia a una velocità costante di $90$ km/h, calcola la velocità angolare delle ruote espressa in radianti al secondo. Determina poi l'angolo totale ruotato da una ruota in un tragitto di $15$ minuti e convertilo in numero di giri completi.

Un treno di ingranaggi è formato da tre ruote dentate A, B e C montate in serie, in modo che A ingrani con B e B ingrani con C. I raggi primitivi delle ruote sono $R_A = 12$ cm, $R_B = 8$ cm e $R_C = 20$ cm. Se la ruota A ruota di un angolo di $150^\circ$ in senso orario, determina l'angolo di rotazione della ruota C in radianti e specifica il suo senso di rotazione.

Nel celebre esperimento di Eratostene, si osservò che nella città di Siene i raggi del sole cadevano perpendicolarmente al suolo (angolo $0^\circ$) a mezzogiorno del solstizio d'estate. Nello stesso momento, ad Alessandria, situata circa $800$ km più a nord sullo stesso meridiano, i raggi formavano un angolo di $\frac{\pi}{25}$ radianti con la verticale. Partendo esclusivamente da questi dati, ricava il raggio della Terra e la lunghezza della sua circonferenza meridiana.

Un rullo cilindrico di raggio $25$ cm viene usato per compattare l'asfalto di una strada. Spingendolo, il rullo avanza in linea retta rotolando senza strisciare e compie esattamente $14,5$ giri completi. Calcola la distanza orizzontale percorsa dall'asse del rullo in metri e l'angolo totale ruotato da un qualsiasi punto della sua superficie, espresso in gradi sessagesimali.

Si ha un settore circolare iniziale di raggio $R$ e angolo al centro $\alpha$ (in radianti). Si progetta un nuovo settore circolare in modo che la sua area sia esattamente uguale a quella del settore originale. Se, per vincoli di progetto, il raggio del nuovo settore deve essere il triplo di quello originale ($3R$), determina algebricamente quale frazione dell'angolo $\alpha$ deve avere il nuovo settore.

Un pendolo di lunghezza $L = 1$ metro oscilla descrivendo archi di circonferenza; ogni oscillazione è il tragitto da un estremo all'estremo opposto. Nella prima oscillazione, l'angolo massimo che forma con la verticale è di $\frac{\pi}{6}$ radianti. A causa dell'attrito, in ogni oscillazione successiva l'angolo massimo raggiunto si riduce del $10\%$ rispetto all'oscillazione immediatamente precedente. Impostando la somma della corrispondente serie geometrica infinita, calcola la distanza totale percorsa dalla massa del pendolo fino a fermarsi completamente.

In un parco eolico situato in provincia di Foggia, un aerogeneratore a tre pale ha un rotore il cui raggio (lunghezza di ciascuna pala) è di $65\text{ m}$. Il rotore ruota con velocità angolare costante di $14\text{ rpm}$ (giri al minuto).

1. a) Modella la velocità angolare $\omega$ del rotore esprimendola in $\text{rad/s}$ (fornisci sia la frazione esatta in multipli di $\pi$ sia il valore decimale approssimato con tre cifre significative).
2. b) Determina la velocità lineare $v$ con cui si muove l'estremità esterna di ciascuna pala in $\text{m/s}$ e convertila in $\text{km/h}$. Confronta con argomentazioni questo risultato con la velocità massima consentita in una strada extraurbana principale italiana ($120\text{ km/h}$) e interpreta le sollecitazioni meccaniche a cui sono sottoposte le estremità delle pale rispetto alle zone vicine all'asse.
3. c) Un tecnico della manutenzione installa un sensore di vibrazione in un punto intermedio di una pala. Se il sensore registra una velocità lineare di esattamente $50\text{ km/h}$, calcola a quale distanza dall'asse di rotazione è collocato e ricava la lunghezza totale dell'arco (in chilometri) che tale sensore avrà tracciato dopo una giornata ininterrotta di funzionamento di $8\text{ ore}$.

Durante una tappa pianeggiante del Giro d'Italia, un corridore pedala su una bicicletta da corsa la cui ruota posteriore ha un raggio esterno totale di $35\text{ cm}$ (compreso il copertone). Il sistema di trasmissione è formato da una corona con pedali di raggio $r_1 = 10,5\text{ cm}$ e da un pignone posteriore di raggio $r_2 = 4,2\text{ cm}$, uniti da una catena tesa, inestensibile e che non slitta.

1. a) Ricava algebricamente la relazione tra la velocità angolare della corona $\omega_{\text{piatto}}$ e la velocità angolare della ruota posteriore $\omega_{\text{ruota}}$, basandoti sul fatto che la catena trasmette la stessa velocità lineare ai bordi di entrambi gli ingranaggi ($v = \omega_1 r_1 = \omega_2 r_2$). Stabilisci se questo rapporto di trasmissione moltiplica la velocità angolare o la forza del ciclista.
2. b) La bicicletta procede sull'asfalto a una velocità lineare di avanzamento costante di $42\text{ km/h}$. Con un procedimento inverso, calcola la velocità angolare della ruota posteriore in $\text{rad/s}$ e la cadenza di pedalata del ciclista espressa in giri al minuto (rpm).
3. c) Se il ciclista percorre un tratto rettilineo di $2,1\text{ km}$, calcola l'angolo totale ruotato dalla ruota posteriore in radianti e l'angolo totale ruotato dall'asse dei pedali in radianti. Verifica che il rapporto tra i due angoli coincide con il rapporto di trasmissione ricavato nel primo punto.