Esercizi: Numeri reali. Retta reale

Classifica i seguenti numeri indicando l'insieme numerico più piccolo a cui appartengono (Naturali $\mathbb{N}$, Interi $\mathbb{Z}$, Razionali $\mathbb{Q}$ o Irrazionali $I$):

1. a) $-12$
2. b) $\frac{15}{3}$
3. c) $\sqrt{11}$
4. d) $4,25$
5. e) $2,333...$
6. f) $\pi + 1$

Rappresenta sulla retta reale i seguenti insiemi di numeri ed esprimili usando la notazione di intervalli:

1. a) Numeri maggiori di $-1$ e minori o uguali a $4$.
2. b) $\{x \in \mathbb{R} : x < 3\}$
3. c) Numeri compresi tra $-5$ e $0$, entrambi inclusi.

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Calcola la distanza tra i punti $A$ e $B$ rappresentati sulla seguente retta numerica utilizzando il valore assoluto:

Trova la frazione generatrice dei seguenti numeri decimali, semplificando il risultato fino a ottenere la frazione ridotta ai minimi termini:

1. a) $3,125$
2. b) $0,\hat{6}$
3. c) $1,2\hat{3}$

A partire dalla costruzione geometrica mostrata nell'immagine, basata sul teorema di Pitagora, determina il valore esatto del numero irrazionale rappresentato dal punto $P$ sulla retta numerica:

Un'applicazione per la gestione delle attività permette di filtrare le attività in base alla loro priorità, assegnando a ciascuna un valore numerico $x$. Rappresenta sulla retta reale e scrivi in forma di intervallo i valori di $x$ che soddisfano le seguenti condizioni:

1. a) La priorità è maggiore di $-2$ e minore o uguale a $5$.
2. b) La priorità è almeno $3$.
3. c) Il valore assoluto della priorità è minore di $4$ ($|x| < 4$).

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Determina quali numeri reali $x$ soddisfano la seguente condizione di distanza e rappresentali graficamente:

Aiuto: questa espressione rappresenta i numeri la cui distanza da $2$ è minore o uguale a $3$.

Rappresenta sulla retta reale i seguenti intervalli e determina l'intervallo risultante dalla loro intersezione $A \cap B$:

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In un negozio di abbigliamento online, gli ordini hanno la "spedizione gratuita" se l'importo dell'acquisto è superiore a $50$ €, ma non deve superare i $300$ € per motivi di sicurezza nel trasporto.

1. a) Esprimi mediante una disuguaglianza l'insieme dei prezzi $x$ che soddisfano la condizione di spedizione gratuita.
2. b) Scrivi tale insieme in forma di intervallo.
3. c) Sarebbe incluso un ordine di esattamente $50$ €? Perché?

Completa la seguente tabella mettendo in relazione i diversi modi di esprimere insiemi di numeri reali:

Per rappresentare in modo esatto il numero irrazionale $\sqrt{2}$ sulla retta reale, di solito si utilizza il teorema di Pitagora disegnando un triangolo su di essa. Osserva il seguente grafico e spiega, motivando, quali passaggi sono stati seguiti per collocare il punto $P$ esattamente sul valore $\sqrt{2}$.

Marco vuole determinare gli elementi dell'insieme $A \setminus B$, con $A = [-3, 4]$ e $B = (1, 6)$. Nel suo compito scrive la seguente risposta: «Poiché da $A$ devo togliere i numeri che sono in $B$, e $B$ comincia da $1$ senza includerlo, il risultato è l'intervallo $A \setminus B = [-3, 1)$».\na) Individua e spiega, motivando, l'errore commesso da Marco riguardo all'estremo $1$, analizzando se tale numero appartiene o meno all'insieme $A$ e all'insieme $B$.\nb) Scrivi la soluzione corretta dell'insieme $A \setminus B$ in forma di intervallo.

L'impegno di qualità di Trenitalia per una tratta ad alta velocità tra Roma e Napoli stabilisce che un treno è considerato puntuale se la differenza tra il tempo di viaggio effettivo, $t$ (in minuti), e il tempo ufficiale programmato di $155\text{ minuti}$ non supera $5\text{ minuti}$.\na) Modella questa condizione mediante una disequazione con valore assoluto che esprima la distanza tra il tempo effettivo e quello programmato sulla retta reale.\nb) Trasforma tale disequazione in un intervallo chiuso $[a, b]$ che rappresenti tutti i tempi di viaggio ammissibili.\nc) Un convoglio completa il percorso in $2\text{ ore}$ e $41\text{ minuti}$. Determina, motivando, se tale viaggio rientra nel margine di puntualità garantito.

Classifica i seguenti numeri indicando l'insieme numerico più ristretto a cui appartengono ($\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{I}$ o $\mathbb{R}$). Per quelli razionali, esprimili sotto forma di frazione ridotta ai minimi termini:

1. a) $3,1222...$
2. b) $\sqrt{121}$
3. c) $\sqrt{18}$
4. d) $-\frac{24}{6}$
5. e) $1,010010001...$
6. f) $\pi + 1$

Considera i seguenti insiemi di numeri reali definiti da intervalli e da una semiretta:

$A = (-3, 4]$

$B = [0, 9)$

$C = \{x \in \mathbb{R} : x > 2\}$

Determina e rappresenta sulla retta reale i seguenti insiemi risultanti:

1. a) $A \cap B$
2. b) $A \cup B$
3. c) $(B \cap C) - A$

Ordina dal minore al maggiore i seguenti numeri reali, rappresentandoli in modo approssimato sulla retta reale. Per i numeri irrazionali, usa un'approssimazione per arrotondamento ai centesimi:

Commenta se nella tua lista esiste qualche numero razionale minore di tutti gli irrazionali proposti.

Individua a quale intervallo o semiretta corrispondono le seguenti condizioni grafiche e scrivile usando la notazione insiemistica (esempio: $\{x \in \mathbb{R} : ...\}$):

Dati gli insiemi di numeri reali $A = \{x \in \mathbb{R} : -4 \leq x < 2\}$ e $B = (0, 6]$, determina ed esprimi in forma di intervallo i seguenti insiemi risultanti:

• a) $A \cup B$ (Unione)

• b) $A \cap B$ (Intersezione)

• c) $A - B$ (Differenza)

In un laboratorio di chimica, una sostanza deve essere mantenuta a una temperatura critica di $22^\circ\text{C}$, con un margine di errore accettato di $1,5^\circ\text{C}$ sia in eccesso sia in difetto.

• a) Esprimi questo intervallo di temperatura mediante un intorno $E(a, r)$.

• b) Traducilo in una disequazione con valore assoluto.

• c) Indica se una temperatura di $20,2^\circ\text{C}$ rientrerebbe nell'intervallo consentito.

Esprimi mediante il valore assoluto e le disuguaglianze i seguenti insiemi di numeri reali:

• a) L'insieme dei numeri la cui distanza dall'origine è maggiore o uguale a $7$ unità.

• b) L'insieme dei numeri $x$ tali che la loro distanza dal punto $-3$ è strettamente minore di $2$ unità.

• c) Rappresenta graficamente il punto b) indicando chiaramente gli estremi.

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Una compagnia elettrica suddivide le sue tariffe in base al consumo mensile delle famiglie in kilowattora ($x$). Definisci i seguenti insiemi di consumo mediante notazione di intervalli e rappresentali su un'unica retta reale usando colori o tratti diversi:

• Tariffa A: famiglie che consumano più di $200$ kWh ma non più di $500$ kWh.

• Tariffa B: famiglie il cui consumo è superiore a $400$ kWh.

• Zona di sovrapposizione: calcola l'intersezione dei due intervalli e interpreta che cosa significa in questo contesto.

Classifica i seguenti numeri negli insiemi numerici più piccoli a cui appartengono ($\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}$) e, basandoti sulla proprietà di densità dei numeri reali, trova un numero razionale e uno irrazionale compresi tra $\sqrt{2}$ e $1,42$.

Un assessorato ai Servizi sociali ripartisce uno stanziamento tra tre programmi comunitari: il programma Infanzia riceve il $33,\widehat{3}\,\%$ del bilancio; quello Anziani, una proporzione equivalente al numero decimale $0,41\widehat{6}$; e quello Giovani è finanziato con la somma restante.\na) Senza eseguire il calcolo frazionario esatto, stima quale dei primi due programmi (Infanzia o Anziani) riceve la dotazione maggiore e verifica se insieme esauriscono più, meno o esattamente il $75\,\%$ dello stanziamento totale.\nb) Usa il metodo algebrico di allineamento e sottrazione di potenze di $10$ per calcolare la frazione generatrice ridotta ai minimi termini di $0,\widehat{3}$ e di $0,41\widehat{6}$.\nc) Somma le frazioni ottenute per calcolare la frazione esatta del bilancio che resta disponibile per il programma Giovani. Alla luce del risultato esatto, valuta criticamente se le tue stime del punto a) erano corrette.

Determina, motivando, due sottoinsiemi della retta reale, un intervallo limitato e aperto $A = (a, b)$ e una semiretta chiusa $B = [c, +\infty)$, per i quali siano verificate simultaneamente le due condizioni seguenti:\n1) $A \cap B = [3, 7)$\n2) $A \setminus B = (-2, 3)$\na) Deduci i valori numerici esatti degli estremi $a$, $b$ e $c$.\nb) Spiega, attenendoti rigorosamente alle definizioni di intersezione e differenza di insiemi, perché il numero $3$ è incluso in $A \cap B$ (con parentesi quadra) e, tuttavia, è escluso in $A \setminus B$ (con parentesi tonda).

Considera l'insieme dei numeri reali definito da una regola di formazione logica. Sia $x = 0,123456789101112...$ il numero formato dalla concatenazione dei numeri naturali nella sua parte decimale. Stabilisci, motivando la risposta, se questo numero appartiene all'insieme dei numeri razionali $\mathbb{Q}$ o a quello degli irrazionali $\mathbb{I}$. Successivamente, trova un numero irrazionale $y$ tale che la somma $x + y$ sia un numero razionale esatto.

Nel progetto di un nuovo logo per un'azienda tecnologica è stata utilizzata la spirale di Teodoro per determinare proporzioni esatte. Nella figura, il vertice della spirale si trova nel punto $1$ della retta reale e tutti i cateti esterni della spirale misurano $1$ unità. Il segmento evidenziato in arancione è l'ipotenusa dell'ultimo triangolo e misura $\sqrt{7}$.

Basandoti sulla figura, rappresenta sulla retta reale, in modo esatto e con riga e compasso, il punto che si ottiene riportando il segmento arancione di lunghezza $\sqrt{7}$ a partire dal valore $1$ (cioè il punto $1+\sqrt{7}$), invece che a partire dall'origine.

Spiega in dettaglio i passaggi geometrici che segui, utilizzando il teorema di Pitagora per giustificare che ogni ipotenusa della spirale ha la lunghezza indicata.

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Un sensore di precisione in un impianto chimico deve operare entro un intervallo di temperatura critico. La temperatura di lavoro $T$, in gradi Celsius, deve soddisfare la condizione di sicurezza data dalla disequazione con valore assoluto:

$$|3T - 75| \le |T + 5|$$

Determina l'intervallo di temperature in cui il sensore può funzionare senza attivare l'allarme. Esprimi il risultato in notazione di intervallo e rappresentalo graficamente sulla retta reale.

Il numero aureo, $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, compare in modo ricorrente in natura. Dimostra analiticamente che $\Phi^2 = \Phi + 1$. A partire da questa uguaglianza, semplifica la seguente espressione con radicali nidificati in modo che non contenga radicali all'interno di altri:

Si definiscono due intorni sulla retta reale:

• $E_1$: intorno di centro $c = \sqrt{2}$ e raggio $r = 0,5$.

• $E_2$: intorno di centro $c = 1,5$ e raggio $r = 0,4$.

Determina in modo esatto (usando radicali se necessario) se esiste qualche numero razionale nell'intersezione $E_1 \cap E_2$. In caso affermativo, trovane uno. In caso negativo, dimostra che l'intersezione è vuota.

Considera la seguente successione infinita di intervalli incapsulati sulla retta reale:

$I_1 = [0, 1]$

$I_2 = [1/4, 3/4]$

$I_3 = [3/8, 5/8]$

...

Dove ogni intervallo $I_n$ si ottiene eliminando il primo e l'ultimo quarto dell'intervallo precedente.

1. a) Determina l'espressione degli estremi di $I_n$ in funzione di $n$.
2. b) Verso quale unico numero reale "collassa" l'intersezione di tutti questi intervalli ($\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n$)?
3. c) Classifica tale numero all'interno degli insiemi numerici ($\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{I}$).

Un sistema di controllo qualità scarta i pezzi di precisione se la loro lunghezza $L$ (in mm) soddisfa la condizione:

$|L - 15,00| > 0,02$

Tuttavia, lo strumento di misura utilizzato ha un errore assoluto massimo di $\epsilon = 0,005$ mm.

1. a) Esprimi come unione di due intervalli l'insieme delle misure che causano lo scarto del pezzo.
2. b) Se un pezzo misura esattamente $15,022$ mm, potrebbe essere accettato erroneamente dal sistema a causa del margine di errore dello strumento? Motiva la risposta analizzando se l'intervallo di incertezza della misura $[L-\epsilon, L+\epsilon]$ si sovrappone alla zona di accettazione.

Il numero aureo, $\Phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$, compare frequentemente nella grafica e nell'architettura per le sue proprietà estetiche.

Immagina di collocare sulla retta reale il punto $0$ e il punto $1$ (nella figura è segnato anche $2$ come riferimento della scala). Utilizzando la costruzione geometrica del triangolo rettangolo, descrivi come individueresti il punto esatto che rappresenta $\Phi$.

Suggerimento: osserva che $\Phi$ si può scomporre come $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}$. Pensa a un triangolo di cateti $1$ e $2$ per ottenere la radice.

In un laboratorio di acustica si analizza la zona di interferenza di due emettitori posti su una linea retta. Si definisce "zona critica" l'insieme dei punti $x$ la cui somma delle distanze dai punti $a = -2$ e $b = 4$ è esattamente uguale a $10$ unità.

1. a) Traduci questo enunciato in un'equazione con valori assoluti.
2. b) Risolvi l'equazione e determina i punti esatti della retta reale che delimitano questa zona.
3. c) Se la condizione diventa che la somma delle distanze sia minore o uguale a $10$, esprimi il risultato come intervallo chiuso.

Dati gli insiemi di numeri reali definiti dalle seguenti condizioni:

• $A = \{x \in \mathbb{R} : |2x - 5| \leq 3\}$

• $B = \mathbb{R} - (-1, 4]$ (complementare dell'intervallo semiaperto)

• $C = (0, +\infty)$

Calcola in modo esatto, esprimendo il risultato in notazione di intervalli, l'insieme risultante dell'operazione $(A \cap B) \cup (A - C)$. Rappresenta ogni passaggio sulla retta reale per giustificare la tua risposta.

Per determinare il margine di tolleranza simultaneo di due parametri in un processo di controllo qualità, si deve trovare l'insieme dei valori $x \in \mathbb{R}$ che soddisfano contemporaneamente:\n$$|x - 2| \le 3 \quad \text{e} \quad |x + 1| > 2$$\nDue studenti propongono percorsi diversi:\n- Metodo 1 (Algebrico): Scomporre ciascun valore assoluto secondo la definizione per casi in funzione del segno di $(x - 2)$ e $(x + 1)$, risolvere le disequazioni lineari risultanti per ciascun tratto e unire le soluzioni compatibili.\n- Metodo 2 (Geometrico sulla retta reale): Interpretare ciascuna condizione mediante la nozione di distanza euclidea $d(x, c)$ da un centro $c$, esprimere direttamente ciascuna disuguaglianza come un intervallo o unione di intervalli, e calcolarne l'intersezione.\na) Risolvi il sistema applicando il Metodo 2, specificando il centro $c$, il raggio $r$ e l'insieme che genera ciascuna disequazione separatamente, nonché la soluzione finale congiunta.\nb) Confronta i due procedimenti: giustifica perché il Metodo 2 risulta molto più efficiente in questo caso e descrivi una situazione con valore assoluto in cui il Metodo 2 non sarebbe più direttamente applicabile, rendendo necessario ricorrere al Metodo 1.

L'Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT) classifica le famiglie in base al reddito mensile netto ($x$, in euro) per ripartire i sussidi mediante tre categorie:\n- Vulnerabilità grave ($V$): redditi la cui distanza da $450\text{ €}$ non supera $350\text{ €}$, cioè $|x - 450| \le 350$.\n- Redditi medio-bassi ($M$): redditi appartenenti all'intervallo $(700, 1800]$.\n- Aiuto all'affitto ($A$): famiglie i cui redditi soddisfano $d(x, 1000) \le 400$.\na) Traduci le condizioni degli insiemi $V$ e $A$ in intervalli della retta reale.\nb) Un aiuto regionale è destinato alle famiglie della fascia di redditi medio-bassi ($M$) che non sono in vulnerabilità grave ($V$), ma che hanno ottenuto l'aiuto all'affitto ($A$). Modella questa condizione mediante operazioni tra insiemi con $V$, $M$ e $A$, e calcola l'intervallo esatto risultante dei redditi ammissibili, giustificando con ragionamento l'inclusione o l'esclusione dei suoi estremi.\nc) Per compensare l'inflazione, gli estremi dell'intervallo del punto precedente vengono aggiornati moltiplicandoli per il coefficiente $1,0\widehat{3}$. Stabilisci, a partire dalla gerarchia degli insiemi numerici ($\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$), se i nuovi estremi saranno numeri razionali o irrazionali, e trova i loro valori frazionari esatti senza usare approssimazioni decimali.