Esercizi: Valore assoluto

Calcola il valore numerico delle seguenti espressioni utilizzando la definizione di valore assoluto:

1. a) $|-12,5|$

1. b) $|7 - 15|$

1. c) $|\pi - 4|$

1. d) $|1 - \sqrt{2}|$

La temperatura in una città della pianura padana alle 6:00 del mattino era di $-3\,^\circ C$, mentre alle 15:00 è salita fino a $14\,^\circ C$. Utilizza il concetto di valore assoluto per esprimere e calcolare la distanza termica (la differenza di gradi) tra le due misure.

Nella figura puoi vedere le due temperature collocate sulla retta dei gradi.

1. a) Scrivi, usando il valore assoluto, l'espressione che dà la distanza tra le due temperature.

1. b) Calcola il suo valore e interpretalo nel contesto del problema.

Trova i valori di $x$ che soddisfano le seguenti uguaglianze:

1. a) $|x| = 8$

1. b) $|x - 3| = 5$

1. c) $|x + 2| = 0$

Esprimi mediante la notazione di valore assoluto i seguenti insiemi di numeri reali rappresentati sulla retta:

1. a) I numeri la cui distanza dall'origine è minore di $4$.

1. b) I numeri la cui distanza dal punto $2$ è esattamente uguale a $3$.

Rappresenta sulla retta reale e scrivi sotto forma di intervallo i valori di $x$ che verificano la seguente disuguaglianza:

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Associa ciascuna delle seguenti espressioni con valore assoluto al suo intervallo corrispondente:

1. $|x| < 3$

2. $|x - 1| \le 2$

3. $|x + 2| < 1$

Intervalli: $A = [-1, 3] \quad B = (-3, 3) \quad C = (-3, -1)$

Risolvi la disuguaglianza $|x| > 5$ e rappresenta la soluzione graficamente. Ricorda che questo tipo di espressioni dà luogo all'unione di due semirette infinite.

In una fabbrica di componenti elettronici, una resistenza deve avere un valore nominale di $220\ \Omega$. Per il controllo qualità, si accetta che il valore reale $x$ della resistenza vari rispetto al nominale al massimo di $5\ \Omega$.

Sulla retta della figura sono indicati il valore nominale e un valore reale qualsiasi $x$, insieme alla sua distanza dal valore nominale.

1. a) Scrivi questa condizione utilizzando una disuguaglianza con valore assoluto.

1. b) Risolvi la disuguaglianza e determina l'intervallo dei valori ohmici accettabili per queste resistenze.

Marco sta risolvendo l'equazione $|2x - 8| = -6$ durante il compito in classe e scrive il seguente ragionamento:

«Per le proprietà del valore assoluto, separo in due casi:

• Caso 1: $2x - 8 = -6 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$

• Caso 2: $2x - 8 = 6 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = 7$

Quindi l'equazione ha due soluzioni: $x = 1$ e $x = 7$».

1. a) Spiega qual è l'errore concettuale fondamentale commesso da Marco senza eseguire alcuna operazione intermedia.
2. b) Sostituisci i valori $x = 1$ e $x = 7$ nell'equazione originale per dimostrare numericamente perché non vanno bene.
3. c) Indica qual è l'insieme reale delle soluzioni dell'equazione data ed enuncia la condizione generale che $k$ deve soddisfare affinché l'equazione $|A| = k$ abbia soluzione.

In un laboratorio di componenti elettronici si stabilisce che un pezzo funziona normalmente solo se la sua temperatura di lavoro $x$, misurata in gradi Celsius, appartiene all'intervallo aperto $(-1,5;\, 6,5)$.

1. a) Calcola il punto medio (valore nominale) $a$ e il raggio (tolleranza massima ammissibile) $r$ di tale intervallo.
2. b) Scrivi una disequazione con valore assoluto della forma $|x - a| < r$ il cui insieme delle soluzioni sia esattamente questo intervallo di temperature.
3. c) Esprimi il risultato mediante la notazione di intorno $E(a, r)$ e stabilisci, utilizzando l'interpretazione del valore assoluto come distanza sulla retta reale, se un componente che raggiunge $x = 7^\circ\text{C}$ si trova dentro o fuori dal margine consentito.

Risolvi la seguente disequazione con valore assoluto e rappresenta la soluzione sulla retta reale. Esprimi il risultato finale utilizzando la notazione degli intervalli:

Un'azienda che produce componenti elettronici realizza resistenze che devono avere un valore nominale di $220 \Omega$. Per ragioni di controllo qualità, si accetta un margine di errore (tolleranza) di $5 \Omega$.

1. a) Scrivi una disequazione con il valore assoluto che descriva i valori di resistenza $x$ accettabili.
2. b) Determina l'intervallo di valori consentiti affinché il componente non venga scartato.

Calcola i valori di $x$ che soddisfano la seguente equazione:

Esprimi mediante una disuguaglianza con valore assoluto l'insieme dei numeri reali rappresentato nel seguente grafico:

Trova l'intervallo risultante dalla seguente condizione combinata e rappresentalo graficamente:

In uno studio statistico sulla spesa mensile per il tempo libero dei giovani di una città, è stato determinato che la media è di $45$ € con un errore massimo di $12$ €.

1. a) Esprimi questa situazione mediante un intorno $E(a, r)$.
2. b) Scrivi la corrispondente disuguaglianza con valore assoluto.
3. c) Un giovane che spende $32$ € al mese potrebbe rientrare in questo gruppo di studio? Giustifica la tua risposta.

Definisci la seguente funzione valore assoluto come funzione definita a tratti:

Indica l'espressione di ciascun ramo e l'intervallo in cui è valido ciascuno.

Determina tutti i numeri reali $x$ che si trovano a una distanza maggiore di $5$ unità dal punto $-1$. Esprimi la soluzione in tre modi diversi:

1. Come disequazione con valore assoluto.

2. Mediante l'unione di due intervalli.

3. Graficamente sulla retta reale.

Una cooperativa di Foggia confeziona olio extravergine di oliva in taniche con un volume nominale di $5\text{ l}$. La normativa di controllo qualità ammette una tanica come idonea se l'errore assoluto rispetto al valore nominale non supera il $0,8\,\%$ di tale volume.

1. a) Calcola il margine di tolleranza $r$ in litri e imposta una disequazione con valore assoluto della forma $|V - 5| \le r$ che modellizzi la condizione di accettazione per il volume reale $V$.
2. b) Risolvi la disequazione precedente e determina l'intervallo dei volumi ammissibili in litri.
3. c) In un'ispezione vengono prese due taniche con volumi misurati di $4,955\text{ l}$ e $5,038\text{ l}$. Senza risolvere di nuovo la disequazione, utilizza esclusivamente il concetto di distanza sulla retta reale per giustificare con un ragionamento se ciascuna delle due taniche supera il controllo qualità o viene scartata.

Considera la disequazione con valore assoluto $|x - \sqrt{5}| \le 3$.

1. a) Prima di operare analiticamente, fai una stima ragionata: sapendo che $2 < \sqrt{5} < 3$ (circa $\sqrt{5} \approx 2,2$), stima mentalmente tra quali due numeri interi deve trovarsi l'insieme delle soluzioni. Ti aspetti che tale insieme contenga il valore $x = 0$? E il valore $x = 5,5$? Giustifica le tue stime a partire dalla distanza da $\sqrt{5}$ sulla retta reale.
2. b) Risolvi formalmente la disequazione lavorando con il valore esatto $\sqrt{5}$ e scrivi l'insieme delle soluzioni sotto forma di intervallo chiuso.
3. c) Utilizza un'approssimazione decimale degli estremi dell'intervallo per verificare se le tue stime su $0$ e $5,5$ erano corrette.

Determina l'insieme dei numeri reali $x$ che soddisfano simultaneamente le seguenti due condizioni di distanza sulla retta reale. Esprimi il risultato finale utilizzando solo la notazione di intervalli:

1. La distanza tra $x$ e $2$ è minore o uguale a $5$.

2. La distanza tra $x$ e $-1$ è strettamente maggiore di $2$.

Sulla retta della figura sono stati segnati i due punti di riferimento, $-1$ e $2$.

In un controllo di qualità di un'azienda di componenti elettronici, si accetta che una resistenza di $1500 \Omega$ sia valida se il suo valore effettivo $R$ non differisce da quello nominale per più di $2\%$.

1. a) Scrivi una disuguaglianza utilizzando il valore assoluto che rappresenti i valori accettabili di $R$.
2. b) Determina l'intervallo di valori di $R$ per cui il componente verrebbe scartato per eccesso.

Risolvi la seguente equazione con valori assoluti nidificati e rappresenta le soluzioni sulla retta reale:

Puoi usare come supporto la seguente retta numerica, sulla quale devi segnare tu le soluzioni che ottieni:

Esprimi mediante un'unica disuguaglianza con valore assoluto l'insieme di punti rappresentato dall'unione dei seguenti due intervalli:

Un analista finanziario osserva che il prezzo di una criptovaluta ha fluttuato seguendo la regola $|P - 450| < 75$, dove $P$ è il prezzo in euro. Allo stesso tempo, un'altra fonte indica che, per ragioni di sicurezza, l'investimento è consigliabile solo se $|P - 500| > 50$.

Determina l'intervallo di prezzi in cui sono soddisfatte entrambe le condizioni per effettuare un investimento sicuro secondo questi dati.

Date le seguenti disuguaglianze, individua quale di esse definisce un intorno di centro $a = -2$ e raggio $r = 3$:

1. a) $|x - 2| < 3$

1. b) $|x + 2| < 3$

1. c) $|x - 3| < 2$

Una volta individuata, scrivi l'insieme complementare di tale intorno sulla retta reale come unione di intervalli. Spiega anche come lo rappresenteresti sulla retta: quali estremi sono chiusi o aperti e verso dove si estende ciascuna parte.

Risolvi la seguente disequazione ed esprimi la soluzione sotto forma di unione di intervalli:

Calcola inoltre quali numeri naturali minori di 10 non appartengono a questo insieme soluzione.

Considera i punti $A$ e $B$ sulla retta reale tali che le loro coordinate sono le soluzioni dell'equazione $|x + 4| = 6$.

Sia $P$ un punto qualsiasi della retta reale di coordinata $x$. Scrivi un'espressione con valore assoluto che rappresenti la condizione: "La distanza di $P$ dal punto medio del segmento $AB$ è inferiore a 2 unità". Risolvi tale disequazione.

Determina l'insieme dei numeri reali $x$ che soddisfano la seguente condizione con valore assoluto nidificato:

1. a) Risolvi la disuguaglianza ed esprimi il risultato in notazione di intervalli.

1. b) Rappresenta l'insieme soluzione sulla retta reale (puoi usare come guida la retta della figura, che è da completare).

1. c) Descrivi la soluzione come unione di intorni (chiusi), indicando il centro e il raggio di ciascuno.

Per risolvere l'equazione $|x - 2| = |x + 6|$, in classe vengono proposte tre strategie diverse:

• Metodo A (geometrico): Interpretare $|x - 2|$ come la distanza di $x$ dal punto $2$, e $|x + 6| = |x - (-6)|$ come la distanza di $x$ dal punto $-6$, deducendo che $x$ deve essere il punto medio tra i due.

• Metodo B (algebrico diretto): Risolvere l'uguaglianza considerando che le espressioni all'interno del valore assoluto devono essere uguali oppure opposte: $x - 2 = x + 6$ oppure $x - 2 = -(x + 6)$.

• Metodo C (elevazione al quadrato): Poiché entrambi i membri sono non negativi, elevare al quadrato entrambi i lati: $(x - 2)^2 = (x + 6)^2$.

1. a) Applica in modo indipendente i tre metodi per trovare la soluzione e verifica che si ottenga lo stesso valore di $x$.
2. b) Confronta i tre metodi: quale risulta più diretto e concettualmente vantaggioso in questo esercizio? Giustifica la tua risposta.
3. c) Se l'equazione fosse $|x - 2| = |2x + 6|$, il Metodo A sarebbe ancora altrettanto diretto? Spiega con un ragionamento perché in questo nuovo caso il Metodo B o il Metodo C sono preferibili.

In uno studio economico sul mercato del lavoro, un analista prevede che la variazione annua dell'indice dei salari $s$ (in percentuale) si manterrà entro un margine moderato se soddisfa la condizione $|s - 2,5| \le 1,2$. Allo stesso tempo, un rapporto macroeconomico avverte che si genereranno squilibri se tale variazione salariale cade al di fuori dell'intervallo di stabilità definito dalla condizione $|2s - 4| > 3$.

1. a) Risolvi algebricamente e in modo indipendente entrambe le disequazioni ed esprimi la soluzione di ciascuna utilizzando la notazione degli intervalli.
2. b) Determina l'insieme dei valori dell'aumento salariale $s$ per i quali sono soddisfatte contemporaneamente entrambe le condizioni (cioè si verifica la previsione dell'analista ma, allo stesso tempo, si generano squilibri). Esprimi il risultato come un unico intervallo.
3. c) Se la contrattazione collettiva stabilisce un aumento salariale di $s = 3,6\,\%$, ragiona a partire dalla definizione di valore assoluto come distanza per stabilire se tale aumento soddisfa la condizione dell'analista senza generare squilibri macroeconomici, senza dover rifare i calcoli analitici.