Esercizi: Tecniche di conteggio

Una piattaforma di streaming permette di personalizzare il profilo utente scegliendo un avatar tra 4 animali diversi (leone, panda, gatto e lupo) e un colore di sfondo tra 3 opzioni (blu, verde e arancione).

1. a) Descrivi lo spazio campionario $E$ delle possibili combinazioni di profilo.

1. b) Quanti elementi ha lo spazio campionario? Usa il principio moltiplicativo per giustificarlo.

Nel menù della mensa della tua scuola puoi scegliere un primo piatto tra insalata, pasta o riso; un secondo tra pollo o pesce; e un dessert tra frutta o yogurt.

1. a) Rappresenta mediante un diagramma ad albero tutte le possibili opzioni di menù completo.
2. b) Se scegli un menù a caso, qual è la probabilità che comprenda la "pasta" come primo?

Un lucchetto a combinazione per un armadietto ha un codice di 3 cifre. Ogni cifra può essere un numero da $1$ a $5$.

1. a) Quante combinazioni diverse si possono creare se i numeri si possono ripetere?
2. b) Quante combinazioni ci sono se i tre numeri devono essere distinti?

In una classe di prima liceo ci sono 30 alunni. Si sa che 18 di loro hanno superato l'ultima verifica di Matematica e 12 quella di Inglese. Se 5 alunni hanno superato entrambe le materie:

1. a) Calcola la probabilità che, scegliendo un alunno a caso, egli abbia superato Matematica o Inglese.
2. b) Calcola la probabilità che non abbia superato nessuna delle due materie.

Cinque amici (Anna, Beto, Clara, Davide ed Elena) vanno al cinema e si siedono in una fila di cinque poltrone consecutive.

1. a) In quanti modi diversi possono sedersi nella fila?
2. b) Se decidono che Anna e Beto devono sedersi sempre ai due estremi della fila, quante disposizioni diverse sono ora possibili?

Si estrae una pallina da un'urna che contiene 10 palline numerate da $1$ a $10$. Consideriamo i seguenti eventi:

$A = \text{"Ottenere un numero primo"}$

$B = \text{"Ottenere un multiplo di 3"}$

1. a) Scrivi gli elementi che formano gli eventi $A \cup B$ e $A \cap B$.
2. b) Calcola le probabilità $P(A)$, $P(B)$ e $P(A \cup B)$ applicando la definizione classica di probabilità.

Un gruppo musicale ha preparato 10 canzoni per il suo nuovo album, ma la casa discografica dice che possono includerne solo 4.

1. a) Quante selezioni diverse di 4 canzoni possono fare se l'ordine non conta?
2. b) Come si chiamano in calcolo combinatorio questi tipi di raggruppamenti? Giustifica la risposta.

In un torneo locale di scacchi partecipano 8 giocatori. Verranno assegnati tre trofei diversi al primo, al secondo e al terzo classificato.

1. a) In quanti modi diversi si possono assegnare i tre premi?
2. b) Se il campione dell'anno scorso partecipa di nuovo e siamo certi che arriverà tra i primi tre, quante classifiche del podio sono ora possibili?

In una classe di prima liceo di 20 studenti si deve formare una commissione di 3 persone per coordinare le giornate culturali della scuola. Tutti i membri della commissione avranno la stessa responsabilità e non ci saranno cariche gerarchiche.

Luca calcola il numero di commissioni possibili nel modo seguente:

«Per la prima persona ci sono 20 possibilità; per la seconda, 19; e per la terza, 18. Quindi il numero totale di commissioni possibili è $20 \cdot 19 \cdot 18 = 6840$».

1. a) Individua l'errore concettuale commesso da Luca e spiega in dettaglio perché il suo calcolo conta commissioni ripetute in eccesso.
2. b) Correggi il calcolo di Luca applicando la tecnica di conteggio adeguata per determinare il numero reale di commissioni distinte che si possono formare.
3. c) Se la dirigenza della scuola decidesse di assegnare alle tre persone tre funzioni chiaramente differenziate (coordinamento degli eventi, tesoreria e comunicazione), il ragionamento originale di Luca sarebbe allora corretto? Giustifica la risposta distinguendo l'importanza dell'ordine nelle due situazioni.

Nella prova di valutazione di Storia contemporanea di prima liceo, l'esame consiste in un banco di 6 domande a risposta aperta e ogni studente deve scegliere liberamente 4 di esse a cui rispondere.

1. a) Prima di effettuare qualsiasi calcolo con formule combinatorie, fai una stima intuitiva e ragionata di quante scelte diverse di 4 domande sono possibili: pensi che il risultato sarà tra 1 e 10, tra 11 e 30, o supererà le 50 possibilità? Giustifica brevemente su cosa basi la tua previsione iniziale.
2. b) Modella la situazione e calcola formalmente il numero esatto di possibilità mediante la tecnica di conteggio opportuna, giustificando perché l'ordine di scelta influisce o no.
3. c) Verifica se la tua stima iniziale era corretta e spiega, mediante la proprietà di simmetria dei coefficienti binomiali $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, perché scegliere 4 domande a cui rispondere tra 6 disponibili produce esattamente lo stesso numero di possibilità che scegliere 2 domande da scartare.

Un gruppo di 12 studenti di prima liceo è stato selezionato per partecipare a un convegno sulla sostenibilità. La scuola deve sceglierne 4 per formare una commissione di portavoce.

• a) In quanti modi diversi si può scegliere la commissione se non ci sono distinzioni di incarichi?

• b) Se tra i 12 studenti ci sono 7 ragazze e 5 ragazzi, qual è la probabilità che la commissione sia formata esattamente da 2 ragazzi e 2 ragazze?

Una piattaforma di contenuti in streaming usa un codice di sicurezza per il controllo parentale. Il codice è formato da 2 lettere (di un alfabeto di 26, senza la Ñ) seguite da 3 cifre (da 0 a 9).

• a) Quanti codici diversi si possono creare se si possono ripetere lettere e numeri?

• b) Se un utente dimentica il codice ma ricorda che inizia con la lettera "A" e termina con il numero "7", quante combinazioni possibili dovrebbe provare?

• c) Se il codice fosse generato in modo casuale senza permettere la ripetizione di alcun carattere (lettere o numeri), qual sarebbe la probabilità che il codice fosse "BX123"?

In un campionato locale di pallacanestro è stata analizzata l'efficacia dei tiri da tre punti di un giocatore. Si sa che, se segna il primo tiro da tre, la probabilità di segnare il secondo è $0,7$. Se invece sbaglia il primo, la probabilità di segnare il secondo è solo $0,4$. Si sa inoltre che la probabilità di segnare il primo tiro da tre di una partita è $0,5$.

1. a) Disegna il diagramma ad albero associato all'esperimento di effettuare due tiri da tre consecutivi.

1. b) Calcola la probabilità che il giocatore segni esattamente uno dei due tiri.

1. c) Se sappiamo che il giocatore ha sbagliato il secondo tiro, qual è la probabilità che avesse segnato il primo?

Puoi svolgerlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Un'azienda tecnologica produce auricolari wireless in due stabilimenti, uno in Italia e uno in Vietnam. Lo stabilimento italiano produce il $40\%$ del totale e quello vietnamita il resto. Si è rilevato che il $3\%$ degli auricolari prodotti in Italia ha problemi di connessione, mentre nello stabilimento vietnamita questo difetto compare nel $6\%$ della produzione.

• a) Se acquistiamo un paio di auricolari a caso, qual è la probabilità che funzionino correttamente?

• b) Se acquistiamo un paio di auricolari e risultano avere problemi di connessione, qual è la probabilità che siano stati prodotti nello stabilimento italiano?

È stato condotto un sondaggio su 200 giovani sulle loro abitudini di lettura e di consumo televisivo. I dati sono riportati nella seguente tabella di contingenza:

Se scegliamo a caso un giovane tra quelli del sondaggio, calcola:

• a) La probabilità che legga abitualmente e guardi la televisione meno di 2 ore al giorno.

• b) Sapendo che il giovane legge abitualmente, qual è la probabilità che guardi la televisione più di 2 ore al giorno?

• c) Gli eventi "Leggere abitualmente" e "Guardare la televisione più di 2 ore al giorno" sono indipendenti? Giustifica la risposta matematicamente.

In una cassetta degli attrezzi ci sono 5 cacciaviti a croce e 3 a taglio. Si scelgono 2 cacciaviti a caso, uno dopo l'altro e senza rimettere il primo nella cassetta.

1. a) Calcola la probabilità che i due siano dello stesso tipo.

1. b) Calcola la probabilità che il secondo sia a taglio sapendo che il primo era a croce.

1. c) Se l'esperimento fosse eseguito con reinserimento, come cambierebbe la probabilità del punto a)? Calcola il suo nuovo valore e confrontalo con quello del punto a).

Puoi aiutarti con un diagramma ad albero che disegnerai tu stesso.

Siano $A$ e $B$ due eventi di uno spazio campionario di cui conosciamo le probabilità: $P(A) = 0,6$, $P(B) = 0,4$ e $P(A \cap B) = 0,2$.

Calcola le seguenti probabilità utilizzando le proprietà della probabilità:

• a) $P(A \cup B)$

• b) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$ (Probabilità che non si verifichi né A né B).

• c) $P(A | \bar{B})$ (Probabilità di A condizionata al fatto che non si verifichi B).

Uno stilista di moda sta creando una collezione capsule. Per la sfilata finale deve disporre 6 modelle in un'unica fila.

• a) In quanti modi diversi possono sfilare le 6 modelle?

• b) Se tra le modelle ce ne sono due che sono sorelle e lo stilista insiste perché sfilino una immediatamente dopo l'altra, in quanti modi si può ora organizzare la fila?

• c) Se lo stilista decide che le due sorelle non possono in nessun caso stare vicine, quante possibilità ha?

Per organizzare una campagna di volontariato giovanile in un comune si crea un gruppo di lavoro composto da 4 studenti scelti per sorteggio tra un collettivo volontario di 12 persone formato da 7 ragazze e 5 ragazzi. Si vuole determinare in quanti modi diversi si può costituire il gruppo in modo che comprenda almeno una ragazza.

Due membri del gruppo dirigente propongono strategie di conteggio diverse:

• Metodo A (conteggio diretto): contare separatamente le commissioni possibili con esattamente 1 ragazza, con 2 ragazze, con 3 ragazze e con 4 ragazze, e sommare i quattro risultati.

• Metodo B (metodo del complementare): calcolare il totale dei gruppi possibili di 4 persone senza alcuna restrizione e sottrarre i gruppi in cui non partecipa nessuna ragazza.

1. a) Sviluppa e risolvi numericamente il problema seguendo passo per passo il Metodo A.
2. b) Sviluppa e risolvi numericamente il problema seguendo passo per passo il Metodo B, verificando che entrambi i percorsi portano alla stessa soluzione.
3. c) Confronta i due metodi e giustifica quale dei due risulta più vantaggioso ed efficiente se il gruppo di volontari aumentasse a 20 ragazze e 15 ragazzi e si dovesse scegliere una delegazione di 8 persone con almeno una ragazza.

Il sistema ordinario di immatricolazione dei veicoli in Spagna, regolato dalla Direzione Generale del Traffico (DGT), assegna a ciascun veicolo una targa formata da due blocchi consecutivi: prima quattro cifre numeriche (da $0000$ a $9999$) e, a seguire, tre lettere dell'alfabeto.

Per evitare parole sconvenienti o acronimi confusi, nonché errori di lettura con i numeri, la normativa spagnola esclude dal blocco delle lettere le cinque vocali (A, E, I, O, U) e le consonanti Ñ e Q. In questo modo si utilizzano esattamente 20 consonanti distinte. Sia nelle cifre sia nelle lettere è permesso ripetere i caratteri (per esempio, la targa $0044\text{--}BBD$ è pienamente valida).

1. a) Modella lo spazio di tutte le targhe possibili identificando la tecnica di conteggio adeguata per ciascuno dei due blocchi. Determina la capacità teorica totale di veicoli che possono essere immatricolati con questo sistema in Spagna.
2. b) Secondo i rapporti sul parco veicolare spagnolo dell'Istituto Nazionale di Statistica (INE) e della DGT, in Spagna circolano attualmente circa 33 milioni di veicoli immatricolati. A partire dal risultato ottenuto nel punto precedente, spiega se questo sistema rischia di esaurirsi a breve o medio termine.
3. c) Se si approvasse una riforma tecnica che vieta di ripetere una qualsiasi lettera all'interno della stessa targa (permettendo, per esempio, BCD ma non BBC), quante targhe valide rimarrebbero e quale percentuale esatta di targhe rispetto al sistema originale andrebbe persa? Giustifica i calcoli combinatori.

Un sistema di sicurezza informatica richiede che le password abbiano esattamente $8$ caratteri. Questi devono essere scelti tra le $26$ lettere dell'alfabeto (senza distinguere maiuscole e minuscole) e le $10$ cifre numeriche ($0-9$). Una password è considerata "robusta" se contiene almeno due cifre numeriche e non ripete nessun carattere. Se un programma genera una password casuale che soddisfa la condizione di non ripetere caratteri, calcola la probabilità che sia "robusta".

A un torneo di dibattito tra istituti partecipano $12$ studenti: $7$ ragazze e $5$ ragazzi. Per la fase finale, si deve scegliere in modo casuale una squadra di $4$ rappresentanti. Calcola la probabilità che la squadra scelta soddisfi contemporaneamente che:

• Siano rappresentati entrambi i sessi.

• Il numero di ragazze sia strettamente maggiore di quello dei ragazzi.

Un'azienda di logistica organizza i suoi percorsi usando un codice a barre di $10$ strisce verticali. Ogni striscia può essere di colore nero, grigio o bianco. Per motivi di leggibilità dello scanner, non sono ammessi codici in cui ci siano tre strisce consecutive dello stesso colore.

1. Quanti codici diversi di $10$ strisce si possono formare in totale (senza restrizioni)?

2. Se si sceglie un codice a caso tra tutti quelli possibili (senza restrizioni), qual è la probabilità che le strisce nelle posizioni dispari siano tutte nere e quelle nelle posizioni pari siano tutte bianche o grigie?

Un analista di dati studia il comportamento degli utenti su una piattaforma di streaming. Dispone delle seguenti informazioni su un campione di $500$ utenti:

• Il $65\%$ ha meno di $25$ anni.

• Il $40\%$ degli utenti usa la piattaforma principalmente per guardare documentari.

• Tra quelli che non guardano documentari, il $70\%$ ha meno di $25$ anni.

Se si seleziona un utente a caso e risulta avere meno di $25$ anni, calcola la probabilità che la sua preferenza principale siano i documentari. Utilizza una tabella di contingenza per organizzare le informazioni.

In una cassetta degli attrezzi ci sono $15$ lampadine LED, di cui si sa che $3$ sono difettose. Se estraiamo $4$ lampadine una alla volta e senza reinserimento:

1. Calcola la probabilità che la quarta lampadina estratta sia la seconda difettosa che compare nel processo.

2. Se le estrazioni fossero fatte con reinserimento, la probabilità precedente cambierebbe? Giustifica la risposta utilizzando tecniche di conteggio.

Si sa che in una certa città nel $20\%$ dei giorni piove ($LL$), nel $10\%$ c'è molto vento ($V$) e nel $5\%$ si verificano entrambe le condizioni contemporaneamente.

1. Calcola la probabilità che in un giorno scelto a caso non piova e non ci sia vento.

2. Sapendo che un giorno non ha piovuto, qual è la probabilità che ci fosse molto vento?

3. Gli eventi "piovere" e "esserci molto vento" sono indipendenti? Dimostralo matematicamente.

Un test a risposta multipla è composto da $5$ domande con $4$ opzioni di risposta ciascuna, di cui solo una è corretta. Uno studente che non ha studiato niente decide di rispondere a caso. Tuttavia, ha una strategia: per ogni domanda, scarta una delle opzioni che sa con certezza essere falsa (perché assurda) e sceglie a caso tra le tre rimanenti.

1. Calcola la probabilità che ottenga esattamente $3$ risposte corrette.

2. Qual è la probabilità che risponda correttamente ad almeno una domanda?

Un'urna contiene $n$ palline bianche e $4$ palline rosse. Si estraggono due palline contemporaneamente (o successivamente senza reinserimento). Se si sa che la probabilità che le due palline siano bianche è uguale a $1/3$, determina il numero totale di palline presenti nell'urna. (Nota: dovrai impostare un'equazione combinatoria e risolverla per trovare il valore di $n$).

Nel servizio clienti di un'azienda di e-commerce lavorano 8 donne e un numero sconosciuto $h$ di uomini ($h \ge 2$). In occasione di una valutazione interna della qualità, la direzione sceglierà a caso una coppia di 2 lavoratori del reparto per coordinare gli audit, senza distinzione di ruoli tra loro.

Si sa con certezza che la probabilità che le due persone sorteggiate siano dello stesso sesso è esattamente $\frac{7}{15}$.

1. a) Esprimi in funzione di $h$, utilizzando coefficienti binomiali e giustificando perché si tratta di combinazioni semplici, sia il numero totale di coppie possibili che si possono formare nel reparto sia il numero di coppie favorevoli formate da due persone dello stesso sesso.
2. b) Imposta l'equazione associata alla probabilità indicata e risolvila algebricamente passo dopo passo per trovare i possibili valori del numero di uomini $h$.
3. c) Interpreta con senso critico i risultati ottenuti: come è possibile che esistano due numeri interi diversi di uomini che forniscono esattamente la stessa probabilità di ottenere una coppia dello stesso sesso? Spiega questo fenomeno analizzando come variano congiuntamente i casi favorevoli e i casi possibili passando da una soluzione all'altra.

Presso il Tribunale, ai sensi della legge organica spagnola sul Tribunale della Giuria, si deve costituire una giuria popolare formata da 9 giurati titolari e 2 giurati supplenti. Terminata la fase delle ricusazioni, restano in aula 15 candidati preselezionati: 9 donne e 6 uomini. Il processo di designazione avviene per sorteggio rigoroso in due fasi consecutive: prima si estraggono a caso i 9 giurati titolari (tra i quali non esistono ordine né gerarchia); subito dopo, tra i candidati non scelti, si estraggono in ordine i 2 giurati supplenti, assegnando al primo estratto la condizione di «primo supplente» e al secondo quella di «secondo supplente» (qui l'ordine è rilevante per determinare la priorità in caso di un'eventuale sostituzione).

1. a) Modella, mediante il principio moltiplicativo e le opportune tecniche combinatorie, il numero totale di configurazioni diverse in cui può essere costituita la giuria completa (9 titolari e 2 supplenti ordinati).
2. b) Se il sorteggio è equiprobabile, calcola la probabilità che la giuria di 9 giurati titolari sia costituita con maggioranza femminile (cioè con almeno 5 donne titolari). Descrivi e giustifica il conteggio dei casi favorevoli applicando il calcolo combinatorio.
3. c) Durante il processo, un avvocato sostiene la seguente obiezione procedurale: «L'ordine in cui si effettuano i sorteggi altera le possibilità: se avessimo sorteggiato per primi i 2 supplenti con il loro ordine di priorità tra i 15 candidati e, tra i 13 rimanenti, avessimo estratto i 9 titolari, il numero totale di configurazioni possibili della giuria sarebbe stato completamente diverso». Dimostra algebricamente se l'affermazione dell'avvocato è vera o falsa confrontando le espressioni combinatorie dei due procedimenti.