Esercizi: Probabilità condizionata

Da un mazzo di carte napoletane di 40 carte (4 semi da 10 carte ciascuno: fante, cavallo e re sono le figure di ogni seme), si estrae una carta a caso. Consideriamo gli eventi $A$: "estrarre un re" e $B$: "estrarre una figura" (fante, cavallo o re).

Calcola la probabilità che la carta sia un re sapendo che è uscita una figura, cioè determina $P(A|B)$.

È stato condotto un sondaggio su 100 studenti del quarto anno di liceo sulla loro preferenza tra due ambiti di studio. I dati sono riportati nella seguente tabella di contingenza:

Se scegliamo uno studente a caso e risulta essere una ragazza, qual è la probabilità che preferisca Lettere? Calcola $P(L|M)$.

Dati due eventi $A$ e $B$ di un esperimento aleatorio, si sa che la probabilità della loro intersezione è $P(A \cap B) = 0,12$ e che la probabilità dell'evento $B$ è $P(B) = 0,4$. Calcola la probabilità che si verifichi $A$ sapendo che si è verificato $B$.

Un'urna contiene 5 palline azzurre e 3 palline rosse. Estraiamo due palline consecutivamente con reinserimento (rimettiamo la prima pallina nell'urna prima di estrarre la seconda).

1. a) Rappresenta l'esperimento mediante un diagramma ad albero, indicando su ogni ramo la sua probabilità.

1. b) Calcola la probabilità che la seconda pallina sia rossa sapendo che la prima era azzurra. Sono eventi dipendenti o indipendenti? Giustifica la risposta.

In un gruppo di amici, il $60\%$ usa Spotify ($S$), il $40\%$ usa Netflix ($N$) e il $20\%$ usa entrambe le piattaforme. Se scegliamo una persona di cui sappiamo che usa Netflix, qual è la probabilità che usi anche Spotify?

Un lanciatore di freccette professionista centra il bersaglio il $80\%$ delle volte. Se effettua due lanci indipendenti, calcola la probabilità che:

1. a) Centri il secondo lancio sapendo che ha centrato il primo.

1. b) Centri entrambi i lanci consecutivi.

Puoi aiutarti con un diagramma ad albero di due lanci, con i rami «centro» e «errore» in ciascuno.

In un centro linguistico, il $30\%$ degli studenti studia francese ($F$). Di questi, il $60\%$ sono studenti del liceo ($B$). Se selezioniamo a caso uno studente dall'elenco del centro, qual è la probabilità che studi francese e sia del liceo? Aiutati con la formula della probabilità condizionata: $P(F \cap B) = P(F) \cdot P(B|F)$.

Estraiamo due carte da un mazzo di carte napoletane senza reinserimento. Calcola la probabilità che la seconda carta sia un asso, sapendo che la prima carta estratta era l'asso di denari.

In un sondaggio sul consumo digitale condotto su 200 giovani di una località, risulta che 120 guardano abitualmente serie sulle piattaforme di streaming ($S$) e 80 giocano ogni giorno ai videogiochi online ($V$). Inoltre, 48 giovani svolgono entrambe le attività ($S \cap V$).

Per calcolare «la probabilità che un giovane giochi ai videogiochi sapendo che guarda abitualmente serie», Luca scrive nel suo compito:

1. a) Individua con precisione i due errori concettuali commessi da Luca nella sua formula e nell'interpretazione dell'evento condizionante.
2. b) Spiega come si riduce lo spazio campionario imponendo la condizione «guardare abitualmente serie» e quale deve essere il denominatore corretto della probabilità condizionata.
3. c) Correggi il calcolo di $P(V|S)$ e calcola inoltre la probabilità che un giovane scelto a caso che non gioca ai videogiochi non guardi nemmeno abitualmente serie, cioè $P(S^c|V^c)$.

In un liceo, il $60\,\%$ degli studenti del quarto anno frequenta l'indirizzo di Scienze umane ed economico-sociale ($H$) e il $40\,\%$ quello scientifico-tecnologico ($C$). Degli studenti di Scienze umane, il $70\,\%$ utilizza abitualmente il trasporto scolastico ($T$), mentre tra gli studenti dell'indirizzo scientifico lo utilizza solo il $35\,\%$.

1. a) Ti vengono proposti due strumenti per organizzare queste informazioni prima di operare: un diagramma ad albero ponderato o una tabella di contingenza basata su un totale ipotetico di 100 studenti. Confronta l'adeguatezza dei due metodi e giustifica quale risulta più diretto a partire da come sono strutturati i dati del testo (probabilità a priori e condizionate successive).
2. b) Usando il metodo che hai scelto, calcola la probabilità che uno studente scelto a caso utilizzi il trasporto scolastico, $P(T)$.
3. c) Se si sceglie a caso uno studente che non utilizza il trasporto scolastico, qual è la probabilità che appartenga all'indirizzo scientifico-tecnologico?

In un liceo di Roma è stato condotto uno studio sulle abitudini di svago di $100$ studenti del quarto anno. I dati sono stati raccolti nella seguente tabella di contingenza, classificando gli studenti per genere e social network preferito (Instagram o TikTok):

Se scegliamo uno studente a caso, calcola le seguenti probabilità utilizzando la notazione della probabilità condizionata:

1. a) Che preferisca TikTok, sapendo che è una ragazza.
2. b) Che sia un ragazzo, dato che il suo social network preferito è Instagram.
3. c) Gli eventi "essere ragazzo" ($H$) e "preferire Instagram" ($I$) sono indipendenti? Giustifica la risposta confrontando $P(I/H)$ con $P(I)$.

Una scatola degli attrezzi contiene $12$ lampadine LED, di cui $4$ sono difettose. Se estraiamo due lampadine dalla scatola consecutivamente e senza reinserimento, calcola la probabilità dei seguenti eventi:

1. a) Che la seconda lampadina sia difettosa, sapendo che la prima estratta funzionava correttamente.
2. b) Che entrambe le lampadine siano difettose.
3. c) Che almeno una delle due lampadine funzioni correttamente.

In una lega di E-sports, una squadra ha una probabilità di vincere la partita del $70\,\%$ se gioca sul proprio server locale ($L$), ma tale probabilità scende al $40\,\%$ se gioca su un server esterno ($E$). Si sa che il $60\,\%$ delle partite le gioca in casa.

1. a) Rappresenta la situazione mediante un diagramma ad albero, indicando su ogni ramo la sua probabilità.

1. b) Se la squadra ha vinto l'ultima partita, qual è la probabilità che abbia giocato sul proprio server locale?

1. c) Qual è la probabilità totale che la squadra vinca una partita qualsiasi?

Siano $A$ e $B$ due eventi di un esperimento aleatorio tali che $P(A) = 0,5$, $P(B) = 0,7$ e $P(A \cup B) = 0,85$.

1. a) Calcola $P(A \cap B)$.
2. b) Trova la probabilità che si verifichi $A$ sapendo che si è verificato $B$.
3. c) Determina se gli eventi $A$ e $B$ sono compatibili e se sono indipendenti.

Uno studio medico indica che la probabilità che una persona di una determinata popolazione abbia un'allergia primaverile è $0,15$. È stato sviluppato un test per rilevarla, ma non è perfetto:

• Se una persona ha l'allergia, il test risulta positivo nel $95\%$ dei casi.

• Se una persona non ha l'allergia, il test risulta positivo (falso positivo) nel $4\%$ dei casi.

Se si sceglie una persona a caso e il test risulta positivo, qual è la probabilità che abbia davvero l'allergia?

In una scuola di lingue, il $40\%$ degli studenti studia francese ($F$), il $30\%$ studia tedesco ($G$) e il resto studia italiano ($I$). Si sa che la percentuale di studenti che supera l'esame finale è del $60\%$ in francese, del $50\%$ in tedesco e del $80\%$ in italiano.

1. a) Se scegliamo uno studente che ha superato l'esame, qual è la probabilità che studi tedesco?
2. b) Se scegliamo uno studente a caso, qual è la probabilità che non abbia superato l'esame?

Si lanciano due dadi cubici equilibrati con le facce numerate da $1$ a $6$. Consideriamo i seguenti eventi:

• $S$: "La somma dei punti ottenuti è uguale a $7$".

• $A$: "Nel primo dado è uscito un numero pari".

Calcola:

1. a) Lo spazio campionario della somma dei punti e la probabilità dell'evento $S$.
2. b) La probabilità che la somma sia $7$ sapendo che nel primo dado è uscito un numero pari, $P(S/A)$.
3. c) Il fatto che il primo dado sia pari influisce sulla probabilità che la somma sia $7$? Giustifica se gli eventi sono dipendenti o indipendenti.

In una piattaforma di streaming, il $20\%$ degli utenti preferisce i film horror, il $50\%$ preferisce le commedie e il $30\%$ preferisce i drammi. Il reparto di analisi dei dati ha osservato che la probabilità che un utente finisca di vedere un film per intero dipende dal genere:

• Horror: $0,6$

• Commedia: $0,8$

• Dramma: $0,7$

Se scegliamo un utente a caso e vediamo che ha lasciato un film a metà (non lo ha finito), qual è la probabilità che il film fosse horror?

Una banca online in Italia applica un algoritmo di sicurezza per rilevare accessi non autorizzati o fraudolenti ($F$) nei conti dei propri clienti. Dai registri storici di cybersicurezza si sa che solo il $0,5\,\%$ degli accessi corrisponde a tentativi di frode ($P(F) = 0,005$). Quando si verifica un tentativo fraudolento, il sistema attiva un allarme con probabilità del $96\,\%$ ($P(+|F) = 0,96$). Tuttavia, quando l'accesso è legittimo ($F^c$), il sistema genera un falso allarme con probabilità del $2\,\%$ ($P(+|F^c) = 0,02$).

1. a) Stima: Prima di fare qualsiasi calcolo, se suona l'allarme di sicurezza in un accesso qualsiasi (evento $+$), pensi che la probabilità che si tratti davvero di una frode supererà il $50\,\%$ o sarà molto inferiore? Scrivi la tua stima intuitiva spiegando perché la pensi così.
2. b) Calcola: Applica il teorema della probabilità totale per trovare la probabilità globale che scatti l'allarme, $P(+)$, e il teorema di Bayes per determinare la probabilità esatta che un accesso sia davvero una frode sapendo che l'allarme si è attivato, $P(F|+)$.
3. c) Verifica e rifletti: Confronta il risultato esatto con la tua stima iniziale. Perché il risultato matematico contrasta con l'intuizione della maggior parte delle persone? Spiega quale impatto determinante ha la bassissima prevalenza della frode sul risultato ottenuto.

A partire dai microdati della rilevazione sulle forze di lavoro dell'Istat, si modellizza la situazione dei giovani tra i 18 e i 24 anni di una regione in base a due variabili: essere iscritto a un percorso di studi regolare ($E$) e avere un lavoro retribuito ($T$).

Si sa che il $70\,\%$ di questi giovani sta studiando ($P(E) = 0,70$). Tra chi studia, la probabilità di conciliare gli studi con un lavoro retribuito è del $0,25$. D'altra parte, tra chi non studia, la probabilità di avere un lavoro sale al $60\,\%$.

1. a) Modella la situazione definendo con chiarezza gli eventi e costruendo un diagramma ad albero o una tabella in cui compaiano tutte le probabilità marginali, condizionate e le intersezioni corrispondenti.
2. b) Trova la probabilità che un giovane tra i 18 e i 24 anni scelto a caso in tale regione stia lavorando.
3. c) Se si seleziona a caso un giovane che non ha un lavoro retribuito, calcola la probabilità che stia studiando.
4. d) Determina formalmente se gli eventi «stare studiando» e «avere un lavoro retribuito» sono indipendenti. Interpreta brevemente il significato della tua conclusione in termini socioeconomici.

Siano $A$ e $B$ due eventi dello stesso esperimento aleatorio tali che si conoscono le seguenti probabilità:

• $P(A^C \cup B^C) = 0,8$

• $P(A^C | B) = 0,5$

• $P(A \cup B) = 0,75$

Calcola, giustificando ogni passaggio mediante le proprietà della probabilità:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(B)$
3. c) $P(A)$
4. d) Determina in modo motivato se gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti.

In un laboratorio di cybersicurezza, un algoritmo di intelligenza artificiale analizza le e-mail per individuare il phishing. Si sa che:

• Il $5\%$ delle e-mail che l'azienda riceve sono tentativi di truffa (phishing).

• Se un'e-mail è phishing, l'algoritmo la identifica correttamente come "sospetta" nel $98\%$ dei casi.

• Se un'e-mail è legittima, l'algoritmo sbaglia e la segnala come "sospetta" nel $3\%$ dei casi (falso positivo).

Se un dipendente riceve un avviso di "e-mail sospetta" nella sua casella di posta:

1. a) Qual è la probabilità reale che l'e-mail sia effettivamente un tentativo di phishing?
2. b) Se l'algoritmo indica che l'e-mail è "sicura", qual è la probabilità che si tratti di un errore e che sia realmente phishing?

Disponiamo di due urne con la seguente composizione:

• Urna A: 4 palline rosse e 6 palline blu.

• Urna B: 7 palline rosse e 3 palline blu.

L'esperimento consiste nel lanciare un dado equilibrato a sei facce. Se esce un numero primo, estraiamo una pallina dall'Urna A e la inseriamo nell'Urna B senza guardarne il colore; successivamente estraiamo una pallina dall'Urna B. Se esce un numero non primo, estraiamo direttamente una pallina dall'Urna B.

Calcola la probabilità che la pallina finale estratta dall'Urna B sia rossa.

Una piattaforma di streaming utilizza tre server ($S_1, S_2, S_3$) per distribuire i suoi contenuti. Il $40\%$ del traffico è gestito da $S_1$, il $35\%$ da $S_2$ e il resto da $S_3$. A causa del carico di rete, si verificano micro-interruzioni nella riproduzione con le seguenti probabilità:

• Nel server $S_1$, la probabilità di micro-interruzione è del $2\%$.

• Nel server $S_2$, la probabilità di micro-interruzione è del $5\%$.

• Nel server $S_3$, la probabilità di micro-interruzione è del $8\%$.

1. a) Se un utente sta guardando una serie, qual è la probabilità che sperimenti una micro-interruzione?
2. b) Se un utente chiama l'assistenza tecnica segnalando una micro-interruzione, qual è la probabilità che la sua connessione sia servita dal server $S_3$?

In una competizione di E-sports, un giocatore di League of Legends ha una probabilità di vittoria del $70\%$ se sceglie il suo personaggio preferito (Main). Se non lo sceglie, la sua probabilità di vittoria scende al $45\%$. Il sistema di abbinamento permette al giocatore di ottenere il suo personaggio preferito nel $60\%$ dei casi.

1. a) Calcola la probabilità che il giocatore vinca la prossima partita.
2. b) Sapendo che il giocatore ha perso la partita, qual è la probabilità che non abbia potuto giocare con il suo personaggio preferito?
3. c) Gli eventi "vincere la partita" e "giocare con il personaggio preferito" sono indipendenti? Giustifica la risposta confrontando le probabilità.

Si realizza uno studio sulle attività degli studenti di una scuola di Roma. I dati mostrano che:

• Il $80\%$ degli studenti studia una seconda lingua ($I$).

• Il $60\%$ degli studenti partecipa a una squadra sportiva della scuola ($D$).

• Il $30\%$ di quelli che studiano una seconda lingua non partecipa ad alcuna squadra sportiva.

Scegliamo uno studente a caso. Calcola:

1. a) La probabilità che svolga entrambe le attività.
2. b) Sapendo che partecipa a una squadra sportiva, la probabilità che studi anche una seconda lingua.
3. c) La probabilità che non svolga nessuna delle due attività.

Un'azienda di logistica ha due percorsi per consegnare gli ordini nel centro della città. Il percorso A è utilizzato il $70\%$ delle volte e il percorso B il restante $30\%$.

• A causa del traffico, sul percorso A il fattorino arriva in ritardo il $15\%$ dei giorni.

• Sul percorso B, il fattorino arriva in ritardo il $25\%$ dei giorni.

Un certo giorno, il responsabile osserva che un ordine è arrivato in ritardo. Il fattorino afferma: "Se fossi andato per il percorso A, la probabilità di arrivare in orario sarebbe stata maggiore della probabilità di essere venuto oggi per il percorso A avendo fatto ritardo". Dimostra matematicamente se l'affermazione del fattorino è vera o falsa calcolando entrambe le probabilità.

In un test a risposta multipla, uno studente conosce la risposta corretta a una domanda con probabilità $p$ e la indovina a caso con probabilità $1-p$. Ogni domanda ha $k$ opzioni di risposta, di cui una sola è corretta.

1. a) Dimostra che la probabilità che lo studente risponda correttamente alla domanda è $\frac{1 + (k-1)p}{k}$.
2. b) Sapendo che lo studente ha risposto correttamente, qual è la probabilità che conoscesse davvero la risposta e non l'abbia indovinata a caso? Esprimi il risultato in funzione di $p$ e $k$.
3. c) Se una domanda ha 4 opzioni ($k=4$) e lo studente ha una probabilità del $50\%$ di conoscere la risposta ($p=0,5$), calcola il valore numerico del punto precedente e interpretalo.

Un ente di microcredito per imprenditori in Italia finanzia progetti di due settori economici: progetti tecnologici ($T$) e progetti del settore dei servizi tradizionali ($S$). Nel suo attuale portafoglio di prestiti concessi, una proporzione sconosciuta $p$ corrisponde al settore tecnologico ($0 < p < 1$) e il resto, $1 - p$, al settore dei servizi.

A causa della volatilità dei modelli di business, la probabilità di insolvenza o mora ($M$) nel settore tecnologico è del $15\,\%$ ($P(M|T) = 0,15$), mentre nel settore dei servizi la probabilità di insolvenza è del $6\,\%$ ($P(M|S) = 0,06$).

1. a) Ottieni un'espressione algebrica semplificata in funzione di $p$ per la probabilità globale che un prestito scelto a caso risulti insoluto, $P(M)$.
2. b) La commissione di audit interno esamina un prestito a caso che è risultato fallito (insoluto). Determina il valore esatto della proporzione $p$ per cui la probabilità che tale prestito fallito provenga dal settore tecnologico sia esattamente del $75\,\%$.
3. c) Imposta e risolvi una disequazione per determinare in quale intervallo di valori deve trovarsi la proporzione $p$ se l'ente richiede che, dato un credito fallito qualsiasi, sia più probabile che provenga dal settore dei servizi che da quello tecnologico.

Per pianificare le allerte per fenomeni meteorologici estremi (come cicloni mediterranei o perturbazioni severe) sul litorale mediterraneo, il servizio meteorologico nazionale e la Protezione Civile studiano il verificarsi di giornate di pioggia torrenziale ($L$, più di $100\text{ mm}$ in 12 ore).

Durante i mesi autunnali, la probabilità storica che in una giornata qualsiasi si verifichi pioggia torrenziale nella zona è di appena il $3\,\%$ ($P(L) = 0,03$).

Il modello numerico di previsione attiva l'allerta arancione ($A$) nel $85\,\%$ dei giorni in cui si verifica effettivamente pioggia torrenziale ($P(A|L) = 0,85$), ma genera falsi allarmi attivando l'allerta arancione nel $4\,\%$ dei giorni in cui non piove in modo torrenziale ($P(A|L^c) = 0,04$).

Il Centro di Coordinamento delle Emergenze comunale discute tra due criteri per disporre la sospensione dei trasporti e delle lezioni in presenza quando viene emessa l'allerta arancione:

• Criterio 1 (Principio di precauzione): sospendere l'attività se la probabilità a posteriori che piova torrenzialmente, data l'allerta, supera il $35\,\%$.

• Criterio 2 (Evitare la paralisi socioeconomica): sospendere l'attività solo se è più probabile che piova torrenzialmente piuttosto che no, dato che l'allerta è attiva.

1. a) Modella l'esperimento calcolando la probabilità totale che in una giornata autunnale qualsiasi si attivi l'allerta arancione, $P(A)$.
2. b) Se viene attivata l'allerta arancione, calcola la probabilità che si registrino realmente piogge torrenziali, $P(L|A)$, e la probabilità che si tratti di un falso allarme, $P(L^c|A)$.
3. c) Applica e valuta entrambi i criteri: si sospenderebbe l'attività con il Criterio 1? E con il Criterio 2? Spiega perché il Criterio 2 risulta inadeguato nella gestione pratica di catastrofi a bassa probabilità di base e quale dilemma etico-probabilistico pone la presenza di falsi positivi nelle decisioni dei cittadini.