Esercizi: Grafici delle funzioni goniometriche

Per la funzione $y = 3\sen x$ determina:

1. a) l'ampiezza;

1. b) il periodo;

1. c) il valore massimo e il valore minimo.

Determina il periodo delle seguenti funzioni:

1. a) $y = \cos(2x)$

1. b) $y = \sen\left(\dfrac{x}{3}\right)$

1. c) $y = \tg(4x)$

Data la funzione $y = \sen x + 2$, descrivi come si ottiene il suo grafico a partire da quello di $y = \sen x$ e indica l'insieme dei valori che la funzione può assumere.

Considera la funzione $y = 2\sen\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right)$.

1. a) Determina ampiezza, periodo e sfasamento.

1. b) Calcola il valore della funzione in $x = \dfrac{5\pi}{6}$.

1. c) Indica i punti di intersezione del grafico con l'asse $x$ nell'intervallo $[0, 2\pi]$.

La marea in un porto della Liguria è modellizzata dalla funzione $h(t) = 1{,}2 + 0{,}8\cos\left(\dfrac{\pi}{6}t\right)$, dove $h$ è l'altezza dell'acqua in metri e $t$ il tempo in ore a partire dalla mezzanotte.

1. a) Determina il periodo dell'oscillazione.

1. b) Calcola l'altezza massima e minima dell'acqua.

1. c) Calcola a che ora del giorno si verifica la prima bassa marea.

Scrivi l'equazione di una funzione del tipo $y = a\sen(bx + c) + d$ il cui grafico ha valore massimo $5$, valore minimo $-1$, periodo $\pi$ e passa per il punto $(0, 2)$ con $a > 0$, $b>0$ e $c$ in $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$. Verifica poi il risultato calcolando $y\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$.

Un'altalena nel parco di Villa Borghese a Roma oscilla in modo che la distanza orizzontale $s$ (in metri) del sedile dalla posizione di equilibrio sia $s(t) = 1{,}5\sen\left(\dfrac{2\pi}{3}t + \dfrac{\pi}{4}\right)$, con $t$ in secondi.

1. a) Determina ampiezza, periodo e frequenza del moto.

1. b) Calcola $s(0)$ e stabilisci in quali istanti dell'intervallo $[0, 3]$ il sedile passa per la posizione di equilibrio.

1. c) Determina il primo istante $t>0$ in cui lo spostamento è massimo.

Sia $f(x) = \sen x + \cos x$.

1. a) Dimostra che $f(x) = \sqrt{2}\sen\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.

1. b) Deduci ampiezza, periodo e valori massimo e minimo di $f$.

1. c) Determina gli zeri di $f$ nell'intervallo $[0, 2\pi]$ e disegna in modo qualitativo il grafico descrivendo i punti notevoli.

Considera $g(x) = \tg\left(2x - \dfrac{\pi}{2}\right)$.

1. a) Determina il dominio di $g$ e le equazioni degli asintoti verticali.

1. b) Determina il periodo e gli zeri di $g$ nell'intervallo $[0, \pi]$.

1. c) Spiega, motivando, se $g$ è crescente in ogni intervallo del suo dominio e se è una funzione invertibile su tutto il dominio.