Esercizi: Funzioni lineari: interpolazione

Osserva il seguente grafico che rappresenta il costo totale di un ordine di magliette personalizzate per una squadra di e-sports in funzione del numero di unità acquistate.

A partire dal grafico:

1. a) Individua l'ordinata all'origine ($n$) e spiega il suo significato in questo contesto.

1. b) Se per $10$ magliette il costo totale è di $50$ €, calcola il coefficiente angolare ($m$) della retta.

1. c) Scrivi l'espressione analitica della funzione $f(x)$.

Un'azienda di noleggio di monopattini elettrici applica un costo fisso per sbloccare il veicolo e una tariffa costante per ogni minuto di utilizzo. Un utente ha pagato $4,50$ € per un tragitto di $15$ minuti, mentre un altro ha pagato $7,50$ € per un tragitto di $35$ minuti.

Trova l'equazione della funzione lineare che mette in relazione il costo del servizio ($y$) con il tempo di utilizzo in minuti ($x$).

La seguente tabella mostra la temperatura di un forno industriale che si riscalda in modo costante:

Utilizza l'interpolazione lineare per stimare la temperatura del forno quando sono trascorsi $12$ minuti dall'accensione.

Un giardiniere osserva che la crescita di una specie di bambù è lineare durante le prime settimane. Se a $10$ giorni misurava $45$ cm e a $20$ giorni misurava $75$ cm:

1. Determina la funzione lineare che modellizza l'altezza del bambù in funzione del tempo.

2. Esegui un'estrapolazione lineare per prevedere quale altezza avrà la pianta a $25$ giorni.

Trova la funzione lineare che passa per i punti $A(2, 7)$ e $B(5, 16)$. Una volta ottenuta, verifica se il punto $C(4, 13)$ appartiene a tale funzione mediante interpolazione lineare.

Due piattaforme musicali offrono i seguenti piani mensili:

• Piano A: $5$ € di quota fissa più $0,20$ € per ogni canzone scaricata.

• Piano B: Senza quota fissa, ma $0,60$ € per ogni canzone scaricata.

Indica con $x$ il numero di canzoni scaricate in un mese e con $y$ il costo mensile in euro.

1. a) Scrivi la funzione di costo per ciascun piano.

1. b) Rappresenta entrambe le funzioni nello stesso piano cartesiano (ti basta prendere valori di $x$ tra $0$ e $20$ canzoni) e individua graficamente il "punto di equilibrio" (dove i due piani costano lo stesso). Indica le sue coordinate.

Si sa che la relazione tra la lunghezza della frenata di un'auto ($d$) e la sua velocità ($v$) è approssimativamente lineare in certi intervalli di bassa velocità. Se a $20$ km/h la frenata è di $4$ metri e a $40$ km/h è di $12$ metri:

1. Quale sarebbe la lunghezza di frenata stimata per una velocità di $30$ km/h?

2. Se un'auto ha lasciato un segno di frenata di $10$ metri, a quale velocità viaggiava approssimativamente? (Usa l'interpolazione).

Data la seguente tabella di valori che mette in relazione il numero di ore lavorate da un programmatore freelance e il suo compenso totale:

Calcola, mediante la formula della retta di interpolazione, quanto percepirebbe per un lavoro di $7$ ore. Indica anche qual è il prezzo che applica per ogni ora di lavoro (coefficiente angolare).

Verifica che la parabola $y = x^{2} - 2x + 3$ passa per i punti $(0, 3)$, $(1, 2)$ e $(2, 3)$, e usala per stimare il valore di $y$ in $x = 1,5$.

Si vogliono interpolare i punti $(0, 1)$, $(1, 4)$ e $(2, 9)$ con una parabola $y = ax^{2} + bx + c$.

1. a) Imposta il sistema di tre equazioni nelle incognite $a$, $b$ e $c$.

1. b) Verifica che $a = 1$, $b = 2$ e $c = 1$ è soluzione del sistema e scrivi la parabola interpolatrice.

In uno studio sul costo mensile dell'abbonamento ai trasporti per i giovani in una regione, si dispone di due dati ufficiali: nel 2018 ($t = 0$) costava $20\text{ \euro}$ e nel 2022 ($t = 4$) costava $12\text{ \euro}$. Marco vuole stimare il prezzo che ebbe nel 2020 ($t = 2$) e quello che avrà nel 2026 ($t = 8$).

Per farlo, Marco scrive sul suo quaderno:

«Calcolo il coefficiente angolare: $m = \frac{4 - 0}{12 - 20} = \frac{4}{-8} = -0,5\text{ \euro/anno}$. La retta è $P(t) = -0,5t + 20$. Quindi nel 2020 è costato $P(2) = -0,5 \cdot 2 + 20 = 19\text{ \euro}$ e nel 2026 costerà $P(8) = -0,5 \cdot 8 + 20 = 16\text{ \euro}$. Entrambi i risultati sono interpolazioni affidabili perché abbiamo seguito la stessa formula matematica».

1. a) Individua e spiega l'errore algebrico commesso da Marco nell'impostare il coefficiente angolare. Scrivi l'equazione corretta della retta di interpolazione.
2. b) Utilizzando la retta corretta, calcola le stime del prezzo per gli anni 2020 e 2026.
3. c) Correggi l'errore concettuale di Marco: distingui quale dei due calcoli è un'interpolazione e quale un'estrapolazione, e giustifica se la previsione per il 2026 ha la stessa affidabilità di quella per il 2020 in questo contesto.

Un'azienda municipale idrica della Sicilia registra il consumo medio mensile per abitazione durante un anno di siccità. A maggio ($x = 5$, dove $x$ rappresenta il numero d'ordine del mese) il consumo medio fu di $132\text{ m}^3$, mentre ad agosto ($x = 8$) salì a $168\text{ m}^3$ a causa delle alte temperature. Il team tecnico ha bisogno di stimare il consumo medio del mese di giugno ($x = 6$).

1. a) Prima di eseguire qualsiasi calcolo algebrico, stima in modo motivato tra quali due valori numerici deve collocarsi il consumo di giugno e argomenta se dovrebbe essere più vicino a $132\text{ m}^3$ o a $168\text{ m}^3$.
2. b) Trova l'equazione della retta di interpolazione lineare $C(x) = mx + n$ a partire dai dati di maggio e agosto.
3. c) Calcola analiticamente con tale retta il consumo previsto per giugno ($x = 6$) e verifica se il risultato coincide con la stima che hai fatto al punto a).
4. d) Se si utilizza questa stessa retta per prevedere il consumo di dicembre ($x = 12$): si tratta di un'interpolazione o di un'estrapolazione? Spiega perché questo risultato difficilmente sarà affidabile nella realtà.

Una piattaforma di contenuti in streaming ha analizzato la crescita dei suoi abbonati in una città giovane. Nel 2021 contava $12\,400$ utenti e nel 2023 la cifra è salita a $15\,200$.

Supponiamo che la crescita segua un modello lineare e prendiamo $x$ come il tempo in anni trascorsi dal 2021 (cioè $x=0$ per il 2021, $x=2$ per il 2023, e così via):

1. a) Trova la funzione di interpolazione lineare che esprime il numero di abbonati in funzione del tempo $x$.

1. b) Stima mediante interpolazione il numero di abbonati a metà del 2022 (cioè per $x=1{,}5$).

1. c) Esegui un'estrapolazione per prevedere quanti utenti ci saranno nel 2026 e rifletti sull'affidabilità di quest'ultimo dato.

Nella figura sono mostrati i due dati noti (tieni presente che l'asse verticale inizia da $12\,000$).

Un laboratorio di biologia studia la degradazione di un composto organico. Si è osservato che a una temperatura di $15^\circ\text{C}$ il composto impiega $40$ ore a decomporsi, mentre a $25^\circ\text{C}$ ne impiega solo $28$.

1. Determina la retta di interpolazione lineare che mette in relazione il tempo di decomposizione ($y$) con la temperatura ($x$).

2. Quale sarebbe il tempo stimato di decomposizione se la temperatura fosse di $22^\circ\text{C}$?

3. Se il laboratorio ha bisogno che il composto si degradi in $20$ ore, a quale temperatura dovrebbe essere regolato il termostato secondo questo modello?

Gli organizzatori di un festival di musica urbana hanno osservato la relazione tra il prezzo del biglietto e il numero di abbonamenti venduti. Se il prezzo è di $45$ €, si vendono $3\,200$ abbonamenti. Se il prezzo sale a $60$ €, le vendite scendono a $2\,450$ abbonamenti.

1. Trova l'equazione della domanda supponendo che sia una funzione lineare.

2. Stima quanti abbonamenti si venderebbero se si fissasse un prezzo "intermedio" di $52$ €.

3. A partire da quale prezzo la domanda sarebbe nulla secondo questo modello di estrapolazione?

La percentuale di riciclaggio degli imballaggi in plastica in una regione è evoluta in modo quasi lineare nell'ultimo decennio. Nel 2012 si riciclava il $18\,\%$ e nel 2020 si è raggiunto il $34\,\%$.

1. Calcola il tasso di variazione medio annuo della percentuale di riciclaggio tra questi anni.

2. Utilizza l'interpolazione lineare per stimare la percentuale di riciclaggio nel 2015.

3. Se la tendenza continua uguale, in quale anno ci si aspetta di raggiungere l'obiettivo del $50\,\%$ fissato dall'Unione Europea?

Un'auto elettrica consuma l'energia della sua batteria in modo proporzionale alla distanza percorsa. Uscendo dal garage con il $100\,\%$ di carica, dopo aver percorso $120$ km, la batteria indica il $64\,\%$ di carica residua. La figura mostra questi due dati.

1. a) Esprimi la funzione lineare che indica la percentuale di batteria rimanente in funzione dei chilometri percorsi.

1. b) Se il conducente decide di fermarsi a ricaricare quando gli resta il $15\,\%$ di batteria, quanti chilometri avrà percorso in totale secondo il modello lineare?

1. c) Mediante estrapolazione, determina quale percentuale di batteria indicherebbe dopo un viaggio di $300$ km. Il risultato ottenuto ha senso fisico? Giustifica la tua risposta.

In uno studio sociologico sull'uso dei dispositivi digitali, si raccolgono i seguenti dati sul tempo giornaliero (in minuti) che gli adolescenti trascorrono davanti allo schermo in funzione della loro età:

1. Determina la funzione lineare che approssima questi dati.

2. Stima, per interpolazione, il tempo giornaliero davanti allo schermo per un adolescente di $14$ anni.

3. Se un ragazzo di $18$ anni trascorre $250$ minuti al giorno, questo dato è in accordo con il modello lineare calcolato prima? Verificalo mediante estrapolazione.

Il costo totale di produzione di magliette personalizzate per una festa di diploma comprende un costo fisso per il design e un costo variabile per ogni unità prodotta. Sappiamo che $50$ magliette costano $410$ € e che $120$ magliette costano $830$ €.

1. Calcola il costo di produzione di $85$ magliette utilizzando la tecnica dell'interpolazione lineare.

2. Individua, a partire dalla retta ottenuta, qual è il costo fisso (ordinata all'origine) e il costo per ogni maglietta aggiuntiva (coefficiente angolare).

3. Se il budget massimo della classe è di $600$ €, qual è il numero massimo di magliette che possono ordinare?

Si sta misurando la profondità della neve in una stazione sciistica durante un giorno di nevicata costante. Alle $8:00$ h la profondità era di $45$ cm e alle $13:00$ h è salita fino a $62$ cm.

1. Trova l'equazione della retta che mette in relazione la profondità dello spessore ($y$) con le ore trascorse dalle $8:00$ h ($x$).

2. Quale spessore di neve si stimava ci fosse alle $11:30$ h?

3. Se la nevicata è iniziata alle $5:00$ h del mattino con la stessa intensità, quanta neve c'era a terra in quel momento? Utilizza l'estrapolazione lineare.

La figura mostra una parabola che passa per i punti $(1, 3)$, $(3, 7)$ e $(5, 5)$.

1. a) Imposta il sistema di equazioni che $a$, $b$ e $c$ devono soddisfare affinché $y = ax^{2} + bx + c$ passi per i tre punti, e risolvilo.

1. b) Usa la parabola ottenuta per stimare il valore di $y$ in $x = 4$ (quello indicato con «?» nella figura).

1. c) Verifica con il grafico che la stima sia coerente.

L'organizzatrice di un concerto ha provato tre prezzi di ingresso con risultati diversi: a $10\ \text{ €}$ ha venduto $400$ biglietti; a $20\ \text{ €}$, $700$; e a $30\ \text{ €}$, $600$. La figura mostra i dati e la parabola di interpolazione.

1. a) Trova la parabola $y = ax^{2} + bx + c$ che interpola i tre punti (prezzo, biglietti venduti).

1. b) Stima quanti biglietti venderebbe a $25\ \text{ €}$.

1. c) Secondo il modello, quale prezzo massimizza il numero di biglietti venduti? Calcola il vertice della parabola e interpreta il risultato.

La tabella mostra i primi valori di una successione:

• $n$: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$

• $a_n$: $4$, $9$, $18$, $31$, $48$

1. a) Calcola le differenze prime (ogni termine meno il precedente) e le differenze seconde (differenze delle differenze). Cosa osservi nelle seconde?

1. b) Giustifica che, se le differenze seconde sono costanti, la successione segue un modello quadratico $a_n = an^{2} + bn + c$, e trova tale modello.

1. c) Calcola $a_6$ con il modello e verificalo prolungando le differenze.

Un libero professionista di Roma analizza la spesa mensile di due aziende di car sharing elettrico per recarsi alle sue riunioni:

• L'azienda EcoCar fattura secondo una funzione lineare: per un uso mensile di $40\text{ minuti}$ addebita $18\text{ \euro}$, e per $100\text{ minuti}$ addebita $33\text{ \euro}$.

• L'azienda UrbanMove ha una tariffa che comprende una quota fissa di manutenzione di $6\text{ \euro}$ al mese più un costo variabile di $0,30\text{ \euro}$ per minuto di guida.

1. a) Mediante interpolazione lineare con i due dati noti, determina la funzione di costo mensile $C_1(x)$ di EcoCar in funzione dei minuti di guida $x$.
2. b) Scrivi l'espressione analitica della funzione di costo $C_2(x)$ di UrbanMove.
3. c) Calcola il punto di equilibrio (i minuti mensili per cui le due fatture coincidono) e determina in modo motivato quale azienda è più vantaggiosa se guida meno di quel valore e quale se guida più a lungo.
4. d) Se prevede di effettuare $180\text{ minuti}$ in un mese straordinario, il calcolo del costo con la funzione di EcoCar è un'interpolazione o un'estrapolazione? Se EcoCar applica sconti a scaglioni a partire da due ore di utilizzo, spiega come ciò influirebbe sull'affidabilità della tua stima lineare.

Una stazione meteorologica situata sulle Alpi modellizza la radiazione solare incidente $R(t)$ (in $\text{W/m}^2$) durante una mattina serena mediante una parabola di interpolazione $R(t) = at^2 + bt + c$, dove $t$ rappresenta il tempo in ore trascorso dall'alba ($t = 0$ corrisponde alle $6:00\text{ h}$ del mattino).

Vengono registrati i seguenti dati: alle $6:00\text{ h}$ ($t = 0$) la radiazione è di $0\text{ W/m}^2$, e alle $8:00\text{ h}$ ($t = 2$) è di $360\text{ W/m}^2$. Il dato corrispondente alle $10:00\text{ h}$ ($t = 4$) è andato perso per un guasto informatico, ma si sa con certezza che il modello quadratico prevede che la radiazione solare massima si raggiunga esattamente a mezzogiorno solare, alle $12:00\text{ h}$ ($t = 6$).

1. a) Utilizza la condizione di radiazione nulla all'alba e la posizione del vertice della parabola in $t = 6$ per impostare le equazioni che permettono di trovare i coefficienti $a$, $b$ e $c$.
2. b) Determina la funzione quadratica $R(t)$ e recupera il dato perso: quale radiazione solare prevede il modello per le $10:00\text{ h}$ ($t = 4$)?
3. c) Calcola il valore massimo di radiazione solare raggiunto alle $12:00\text{ h}$.
4. d) Se si utilizza la funzione ottenuta per stimare la radiazione alle $20:00\text{ h}$ ($t = 14$), quale valore numerico si ottiene? Spiega perché questo risultato evidenzia i limiti fisici dell'estrapolazione quadratica.

Un'azienda di corrieri sostenibile utilizza biciclette elettriche per le consegne. Si è osservato che il costo di manutenzione mensile per ogni bicicletta dipende dai chilometri percorsi. Se una bicicletta percorre $400\text{ km}$, il costo è di $120\text{ €}$, mentre se percorre $1000\text{ km}$, il costo sale a $210\text{ €}$. Nella figura sono rappresentati questi due dati.

1. a) Utilizzando l'interpolazione lineare, determina l'espressione analitica della funzione che mette in relazione il costo mensile $C(x)$ con la distanza percorsa $x$.

1. b) Se il budget massimo di manutenzione per bicicletta è di $180\text{ €}$, qual è il numero massimo di chilometri che si stima possa percorrere secondo questo modello?

1. c) L'azienda prevede di espandersi e stima che alcune biciclette percorreranno $1500\text{ km}$ al mese. Calcola il costo mediante estrapolazione lineare e spiega se questa stima è affidabile a lungo termine in base all'usura fisica dei componenti.

Il valore di mercato di un modello specifico di smartphone di fascia alta si svaluta in modo lineare nei primi mesi dopo il lancio. A 2 mesi dall'uscita, il suo prezzo era di $950\text{ €}$. A 8 mesi, il prezzo è sceso a $710\text{ €}$.

1. a) Calcola, mediante interpolazione lineare, il prezzo del dispositivo a 5 mesi dal lancio.

1. b) Determina il prezzo originale di lancio ($x = 0$) utilizzando l'estrapolazione.

1. c) Se un utente decide di vendere il suo smartphone quando il suo valore è esattamente la metà del prezzo originale, in quale mese dovrebbe metterlo in vendita secondo questo modello?

Uno studio sociologico analizza la relazione tra il numero di ore settimanali dedicate allo svago digitale e il punteggio in un test di benessere emotivo (da 0 a 100). Si sa che per 10 ore di svago il punteggio è di 85 punti, e per 35 ore il punteggio scende a 60 punti.

1. a) Ottieni la retta di interpolazione lineare che modellizza questa situazione.

1. b) Un gruppo di studenti presenta un punteggio medio di 72 punti. Stima quante ore di svago digitale consumano alla settimana.

1. c) Se una persona non consuma alcuno svago digitale ($x = 0$), quale punteggio le verrebbe assegnato? E se ne consuma 80 ore? Discuti la validità dei risultati agli estremi della funzione.

Una ONG che lavora al rimboschimento di una zona colpita da un incendio ha registrato la crescita di un tipo di pino. A 3 anni dal trapianto, l'altezza media era di $1,8\text{ m}$. A 7 anni, l'altezza ha raggiunto $3,4\text{ m}$.

1. a) Supponendo una crescita lineare, stima l'altezza che avevano i pini a 5 anni e mezzo.

1. b) Il gruppo forestale considera i pini "adulti" quando superano $5\text{ metri}$. Quanti anni devono passare dal trapianto perché raggiungano quell'altezza secondo l'estrapolazione lineare?

1. c) Se il pino misurava $40\text{ cm}$ al momento del trapianto ($t = 0$), verifica se il modello lineare dei punti precedenti si adatta a questo dato iniziale. In caso negativo, spiega che cosa potrebbe accadere dal punto di vista biologico.

La bolletta del gas di un condominio ha un termine variabile che dipende dal consumo in $kWh$. A gennaio, con un consumo di $2500\text{ kWh}$, la bolletta totale (compreso un termine fisso) è stata di $310\text{ €}$. A febbraio, il consumo è sceso a $1800\text{ kWh}$ e la bolletta è stata di $233\text{ €}$.

1. a) Calcola il prezzo di ogni $kWh$ e il valore del termine fisso della bolletta utilizzando l'interpolazione lineare.

1. b) Stima la bolletta per un consumo di $3000\text{ kWh}$.

1. c) A causa di una nuova tassa comunale, il termine fisso aumenterà del $15\%$ e il prezzo per $kWh$ del $5\%$. Scrivi la nuova funzione di costo e confrontala graficamente con la precedente.

Due grandezze $X$ e $Y$ sono legate da una relazione lineare. Si sa che per $x_1 = 12$ si ottiene $y_1 = 40$, e che per $x_2 = 20$ si ottiene $y_2 = 30$. La figura mostra questi due dati e la zona in cui la relazione è valida.

1. a) Determina il valore di $y$ per $x = 15$ mediante interpolazione lineare.

1. b) Trova il valore di $x$ per cui $y$ si annulla ($y = 0$). Tale valore appartiene alla zona di validità?

1. c) Se si sa che questa relazione lineare è valida solo nell'intervallo $x \in [10, 30]$, calcola i valori massimo e minimo che può assumere la grandezza $Y$ in tale intervallo.

Le leggi di offerta e domanda di un prodotto sono state modellizzate in modo lineare a partire dai seguenti dati raccolti in un'indagine di mercato:

• A un prezzo di $15\text{ €}$, si offrono $200$ unità e se ne domandano $500$.

• A un prezzo di $25\text{ €}$, si offrono $400$ unità e se ne domandano $300$.

1. a) Calcola le funzioni di offerta $O(p)$ e di domanda $D(p)$ mediante interpolazione lineare.

1. b) Trova il prezzo di equilibrio (in cui l'offerta è uguale alla domanda) e la quantità di equilibrio.

1. c) Se il governo impone un prezzo massimo di $18\text{ €}$, ci sarà un eccesso di offerta o una scarsità di domanda? Calcola l'esatta differenza di unità.

Un maratoneta mantiene un ritmo costante durante un tratto del suo allenamento. Al chilometro 5 del percorso, il cronometro segnava 22 minuti e 30 secondi. Al chilometro 12, il tempo trascorso era di 54 minuti. La figura mostra questi due dati.

1. a) Esprimi il tempo $T$ (in minuti) in funzione della distanza $d$ (in chilometri) supponendo che il ritmo sia costante.

1. b) Calcola, mediante interpolazione, a quale chilometro si trovava il corridore quando il cronometro segnava esattamente 45 minuti.

1. c) Se il corridore ha iniziato la maratona al chilometro 0, quanto tempo ha impiegato per percorrere i primi 500 metri? Utilizza l'estrapolazione ed esprimi il risultato in minuti e secondi.

La figura mostra i punti $(0, 2)$, $(1, 5)$ e $(2, 10)$, la retta che interpola i primi due e la parabola che interpola tutti e tre.

1. a) Trova la retta di interpolazione lineare che passa per $(0, 2)$ e $(1, 5)$.

1. b) Trova la parabola $y = ax^{2} + bx + c$ che passa per i tre punti.

1. c) Calcola la previsione di ciascun modello per $x = 3$ e la loro differenza. Se i dati fossero l'importo di una bolletta elettrica che cresce sempre più velocemente per scaglioni di consumo, quale modello ti sembra più affidabile? Motiva la risposta.

Dimostra che per tre punti di ascisse distinte $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ e $(x_3, y_3)$ passa un'unica funzione polinomiale di grado minore o uguale a $2$.

1. a) Imposta il sistema di tre equazioni nelle incognite $a$, $b$ e $c$ che si ottiene imponendo che $y = ax^{2} + bx + c$ passi per i tre punti.

1. b) Giustifica che il sistema è determinato calcolando il suo determinante (o discutendo il sistema) e usando il fatto che le ascisse sono distinte.

1. c) Spiega perché il «grado minore o uguale a $2$» include la possibilità che la soluzione sia una retta: quale condizione soddisferebbero allora i tre punti?

In un giorno d'estate sono state misurate le temperature di una città: alle $8$ h, $12$ °C; alle $14$ h, $24$ °C; alle $20$ h, $18$ °C.

1. a) Prendendo $t = 0$ alle $8$ h, trova la parabola $T(t) = at^{2} + bt + c$ che interpola i tre dati.

1. b) Secondo il modello, a che ora è stata raggiunta la temperatura massima e quanto valeva?

1. c) Quale temperatura prevede il modello per le $2$ h della notte seguente ($t = 18$)? È ragionevole? Commenta i limiti dell'interpolazione quando viene usata per estrapolare fuori dall'intervallo dei dati.

L'annuario della mobilità sostenibile riporta le immatricolazioni cumulate di autovetture $100\text{ \%}$ elettriche (in migliaia di veicoli) in una regione durante tre periodi: nel 2018 ($t = 0$) c'erano $12$ mila veicoli; nel 2020 ($t = 2$), $20$ mila veicoli; e nel 2022 ($t = 4$), $36$ mila veicoli. Si vuole studiare l'evoluzione del parco auto per stimare le cifre del 2021 ($t = 3$) e del 2024 ($t = 6$).

1. a) Metodo lineare a tratti: calcola la retta di interpolazione che passa solo per i due punti disponibili più vicini ($t = 2$ e $t = 4$) e stima il numero di immatricolazioni nel 2021 ($t = 3$).
2. b) Metodo quadratico globale: imposta il sistema di equazioni per trovare la parabola di interpolazione $P(t) = at^2 + bt + c$ che passa per i tre punti noti ($t = 0$, $t = 2$ e $t = 4$). Trova la stima per il 2021 ($t = 3$) con questo modello.
3. c) Confronta i due risultati per il 2021 ($t = 3$). Perché la stima lineare è maggiore di quella quadratica in quel punto? Tenendo conto che la transizione al veicolo elettrico presenta un'accelerazione progressiva nelle prime fasi, giustifica quale dei due metodi descrive meglio l'andamento tra il 2020 e il 2022.
4. d) Utilizza entrambi i modelli per estrapolare il numero di immatricolazioni nel 2024 ($t = 6$). Discuti quale dei due metodi sembra più credibile a breve termine ($2024$) e argomenta quali problemi presenteranno entrambi i modelli se si vuole proiettare la domanda a lunghissimo termine (ad esempio, tra $15$ anni).

Un'azienda tessile italiana studia due contratti di fornitura elettrica per attenuare l'impatto del costo del megawattora ($\text{MWh}$) sul mercato all'ingrosso (prezzo del pool, $p$, espresso in $\text{\euro/MWh}$):

• Contratto Indicizzato: fattura mensilmente secondo una legge lineare $C_I(p) = mp + n$. Da fatture precedenti, l'azienda sa che un mese con prezzo medio del pool di $50\text{ \euro/MWh}$ la fattura fu di $2400\text{ \euro}$, mentre un mese con $90\text{ \euro/MWh}$ salì a $3200\text{ \euro}$.

• Contratto con Copertura: offre una tariffa fissa garantita di $3200\text{ \euro}$ mensili purché il prezzo del pool non superi $80\text{ \euro/MWh}$. Se il pool supera tale soglia ($p > 80$), il fornitore applica un sovrapprezzo lineare; si sa che se il pool raggiunge $120\text{ \euro/MWh}$, la fattura risultante è di $3600\text{ \euro}$.

1. a) Ottieni per interpolazione lineare l'espressione della funzione $C_I(p)$ per il Contratto Indicizzato.
2. b) Determina la funzione di costo $C_C(p)$ del Contratto con Copertura per prezzi $p > 80\text{ \euro/MWh}$, interpolando la retta che collega la soglia della copertura ($p = 80$, $C = 3200$) con il dato registrato a $p = 120\text{ \euro/MWh}$.
3. c) Calcola il prezzo di equilibrio del pool ($p > 80$) in cui i due contratti hanno lo stesso costo. Interpreta in dettaglio per quale intervallo di prezzi all'ingrosso all'azienda tessile conviene di più stipulare la modalità con copertura.
4. d) Durante un mese di crisi energetica eccezionale, il prezzo medio del pool sale a $180\text{ \euro/MWh}$. Calcola la fattura prevista da entrambi i modelli. Giustifica se questo calcolo è un'interpolazione o un'estrapolazione e analizza criticamente quali rischi corre la direzione dell'azienda se pianifica i costi basandosi ciecamente su questi modelli lineari in scenari estremi.