Esercizi: Dominio; codominio; simmetria; periodicità; intersezioni e segno

Un dispositivo intelligente registra il livello della batteria di un telefono cellulare nel corso di una mattina. La funzione $B(t)$ rappresenta la percentuale di carica in funzione del tempo $t$ (in ore) trascorso dalle 8:00.

Osservando il grafico, indica:

1. Il dominio della funzione (intervallo di tempo registrato).

2. Il codominio o insieme immagine (valori minimo e massimo della batteria).

3. In quali momenti la batteria rimane costante?

Determina il dominio di definizione delle seguenti funzioni analitiche:

1. $f(x) = \frac{x + 5}{x - 4}$

2. $g(x) = x^2 - 3x + 2$

3. $h(x) = \sqrt{x - 3}$

Trova i punti di intersezione con gli assi coordinati per la funzione quadratica che rappresenta il guadagno di un piccolo negozio di magliette:

$B(x) = -x^2 + 6x - 5$

(Dove $x$ è il prezzo in euro e $B(x)$ il guadagno in centinaia di euro).

Studia la simmetria (pari, dispari o nessuna) delle seguenti funzioni calcolando $f(-x)$:

1. $f(x) = x^4 + 3x^2$

2. $g(x) = x^3 - x$

3. $h(x) = \frac{2}{x}$

Dato il seguente grafico che rappresenta il ritmo respiratorio di uno sportivo a riposo (volume d'aria in litri in funzione del tempo in secondi), individua motivando se la funzione è periodica e, in caso affermativo, indica qual è il suo periodo.

Studia il segno della funzione lineare $f(x) = 3x - 9$. Per farlo:

1. Calcola il punto in cui la funzione si annulla (punto di intersezione con l'asse $X$).

2. Indica in quale intervallo di $x$ la funzione è positiva ($f(x) > 0$) e in quale è negativa ($f(x) < 0$).

Determina il dominio delle seguenti funzioni logaritmiche ricordando che l'argomento deve essere strettamente maggiore di zero:

1. $f(x) = \log(x + 2)$

2. $g(x) = \ln(6 - 2x)$

Dal grafico della funzione $f(x)$ mostrato di seguito, determina:

1. a) Il valore delle intersezioni con l'asse $Y$ e con l'asse $X$.

1. b) Gli intervalli in cui la funzione è positiva.

Tipo: ERRORE ALTRUI

In una verifica di Matematica, l'insegnante ha chiesto di calcolare il dominio e i punti di intersezione con gli assi della funzione $f(x) = \frac{x - 3}{\sqrt{2x - 8}}$.

Marco ha consegnato la seguente risoluzione:

• Dominio: Poiché c'è una radice quadrata, ho bisogno che $2x - 8 \ge 0$, da cui $2x \ge 8 \implies x \ge 4$. Quindi, $\text{Dom}(f) = [4, +\infty)$.

• Intersezioni con gli assi: Per l'intersezione con l'asse $Y$, pongo $f(0) = \frac{0 - 3}{\sqrt{0 - 8}} = \frac{-3}{\sqrt{-8}}$, che non esiste, quindi non interseca l'asse $Y$. Per l'intersezione con l'asse $X$, pongo il numeratore uguale a zero: $x - 3 = 0 \implies x = 3$, quindi il punto di intersezione è $(3, 0)$.

Il tuo compito:

1. Individua i due errori concettuali commessi da Marco (uno nel dominio e uno nei punti di intersezione).

2. Spiega in modo motivato perché le sue deduzioni sono sbagliate.

3. Fornisci la risoluzione corretta con il dominio esatto e la conclusione corretta sulle intersezioni con gli assi.

Tipo: PROBLEMA INVERSO

Una società di ricerche di mercato deve definire una funzione razionale elementare della forma:

$$f(x) = \frac{a \cdot x + b}{x + c}$$

per modellizzare il livello di soddisfazione dei clienti in funzione del tempo di attesa $x$ (in minuti).

Affinché il modello sia coerente con le osservazioni sul campo, la funzione deve soddisfare contemporaneamente queste tre condizioni:

1. Il suo dominio matematico deve essere $\mathbb{R} \setminus \{3\}$.

2. Interseca l'asse delle ascisse ($X$) nel punto $(-2, 0)$.

3. Interseca l'asse delle ordinate ($Y$) nel punto $(0, 4)$.

Svolgi i seguenti compiti:

1. Deduci passo dopo passo e in modo motivato i valori dei parametri $a$, $b$ e $c$.

2. Spiega perché il valore ottenuto per $c$ garantisce che ci sia un solo valore escluso dal dominio.

3. Una volta ottenuta la funzione, motiva se è possibile che intersechi l'asse $X$ in qualche altro punto diverso da $(-2, 0)$ senza dover rifare i calcoli.

Data la funzione analitica $f(x) = \frac{\sqrt{x+5}}{x^2 - 16}$, svolgi i seguenti compiti:

1. Determina il dominio di definizione della funzione, esprimendo il risultato sotto forma di intervallo.

2. Calcola i punti di intersezione con gli assi coordinati.

3. Studia il segno della funzione nel suo dominio.

Un sismografo ha registrato l'intensità di una scossa di assestamento dopo un piccolo terremoto. Il grafico dell'intensità $I$ (in gradi) rispetto al tempo $t$ (in minuti) è dato dalla seguente immagine:

Dal grafico, individua:

1. Il dominio e il codominio (insieme immagine) della funzione.

2. Gli intervalli in cui l'intensità è positiva.

3. Esiste qualche istante in cui l'intensità è nulla? Indica i valori di $t$.

Determina algebricamente se le seguenti funzioni presentano qualche tipo di simmetria (pari, dispari o nessuna):

1. a) $f(x) = \frac{3x^2}{x^4 + 5}$

1. b) $g(x) = \frac{x^3 - x}{x^2 + 1}$

1. c) $h(x) = 2x^2 - 3x + 1$

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1. Scrivi l'espressione analitica della funzione definita a tratti che mette in relazione il costo mensile $C$ con le ore di visione $h$.

2. Rappresenta graficamente la funzione.

3. Determina il codominio della funzione se il massimo di ore che un utente può guardare al mese è 300.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

L'altezza di una cabina di una ruota panoramica rispetto al suolo, in metri, è data da una funzione periodica. Osserva lo schema di un ciclo completo:

Se la ruota panoramica impiega 8 minuti per fare un giro completo e l'altezza minima è di 2 metri e la massima di 25 metri:

1. Indica qual è il periodo della funzione.

2. Determina il codominio della funzione altezza.

3. Se iniziamo a contare il tempo nel punto più basso, qual sarà l'altezza dopo 4 minuti? E dopo 12 minuti?

Studia i punti di intersezione con gli assi e il segno della funzione logaritmica:

$$f(x) = \log_{2}(x^2 - 3)$$

Nota: Ricorda che per studiare il segno devi tenere conto del dominio della funzione.

Data la funzione $f(x) = \frac{2x - 6}{x + 3}$, calcola:

1. Il suo dominio di definizione.

2. Le intersezioni con gli assi $OX$ e $OY$.

3. Trova il valore di $x$ per cui l'immagine è $y = 1$.

4. Motiva se il valore $y = 2$ appartiene al codominio della funzione.

Analizza la seguente funzione definita a tratti:

$$f(x) = \begin{cases} x + 4 & \text{si } x < -2 \\ x^2 - 2 & \text{si } -2 \leq x \leq 2 \\ 2 & \text{si } x > 2 \end{cases}$$

1. Calcola $f(-4)$, $f(0)$ e $f(5)$.

2. Studia la continuità nei punti di salto $x = -2$ e $x = 2$.

3. Determina gli intervalli in cui la funzione ha segno negativo.

Tipo: MODELLIZZA

Nel golfo di Napoli, l'altezza del livello del mare varia in modo periodico per l'azione delle maree. In base alle registrazioni dei mareografi, l'altezza $h(t)$ dell'acqua in metri, trascorse $t$ ore dalle 00:00 di un certo giorno, si approssima con la funzione:

$$h(t) = 3 + 1,8 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6} \cdot t\right), \quad t \in [0, 24]$$

Rispondi motivando alle seguenti questioni:

1. Giustifica perché si tratta di una funzione periodica e calcola il suo periodo $T$. Quale interpretazione fisica ha questo valore nel ciclo giornaliero delle maree?

2. Determina il codominio o insieme immagine della funzione, $\text{Im}(h)$, indicando motivando l'altezza massima (alta marea) e l'altezza minima (bassa marea).

3. Affinché le imbarcazioni da diporto possano entrare in sicurezza nel porto, è necessaria una profondità minima di $2,1\text{ m}$. Imposta la disequazione corrispondente e determina, studiando il segno di $h(t) - 2,1$, durante quale intervallo di tempo tra le 00:00 e le 12:00 è sicuro effettuare la manovra di ingresso.

Tipo: STIMA E VERIFICA

Il bilancio economico relativo di una cooperativa vinicola italiana è espresso dalla funzione $g(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 + 1}$, dove $x \ge 0$ rappresenta il volume di uva lavorata (in centinaia di tonnellate).

1. Stima intuitivamente:

2. Se $x = 0$, che segno avrà il bilancio iniziale?

3. Se si lavorano quantità enormi di uva ($x$ molto grande), pensi che il bilancio possa crescere indefinitamente fino all'infinito o tenderà a stabilizzarsi intorno a un numero concreto? Giustifica la tua intuizione osservando i gradi del numeratore e del denominatore.

4. Sulla base di quanto sopra, scrivi un'ipotesi preliminare su quale sarà il codominio approssimativo di $g(x)$.

5. Verifica con rigore:

6. Determina il dominio di $g(x)$ se fosse definita per ogni $\mathbb{R}$ e giustifica se presenta simmetria pari o dispari.

7. Calcola analiticamente i punti di intersezione con gli assi e indica gli intervalli di segno positivo ($g(x) > 0$) e negativo ($g(x) < 0$) per $x \ge 0$.

8. Ricava $x$ dall'uguaglianza $y = \frac{x^2 - 9}{x^2 + 1}$ per calcolare formalmente il codominio esatto di $g(x)$ per $x \in \mathbb{R}$. Confronta questo risultato formale con la tua stima preliminare e spiega il significato del tetto o limite superiore che hai ottenuto.

Un gruppo di biologi sta studiando la vitalità di una popolazione di microrganismi in un ambiente controllato. Il tasso di crescita potenziale della colonia, in funzione della temperatura dell'acqua $x$ (in gradi Celsius), è modellizzato dall'espressione:

$$f(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 16}}{\ln(x - 5)}$$

Determina in modo ragionato il dominio di definizione di questa funzione, tenendo conto delle restrizioni della radice quadrata, del logaritmo naturale e del denominatore della frazione. Interpreta il risultato indicando da quale temperatura è possibile iniziare l'esperimento.

Considera la funzione $f(x) = \frac{ax^3 + bx}{x^2 + k}$. Trova i valori dei parametri $a$, $b$ e $k$ sapendo che sono soddisfatte simultaneamente le seguenti condizioni:

1. La funzione è dispari.

2. Ha un asintoto verticale nella retta $x = 2$.

3. Il grafico della funzione interseca l'asse delle ascisse nel punto $(3, 0)$.

4. Presenta un asintoto obliquo il cui coefficiente angolare è $m = 2$.

Giustifica algebricamente se, con i valori ottenuti, la funzione presenta qualche simmetria aggiuntiva rispetto all'origine.

Il valore di mercato di una nuova criptovaluta durante le sue prime 24 ore dal lancio si è comportato secondo la seguente funzione definita a tratti, dove $t$ rappresenta il tempo in ore e $V(t)$ il valore in euro:

$$V(t) = \begin{cases} 2^t - 1 & \text{si } 0 \leq t < 4 \\ \dfrac{24t - 36}{t + 2} & \text{si } 4 \leq t \leq 24 \end{cases}$$

1. a) Studia la continuità della funzione nel punto di rottura $t = 4$.

1. b) Determina il codominio (insieme immagine) della funzione nell'intero intervallo $[0, 24]$.

1. c) Trova gli intervalli di segno (quando il valore è positivo) e i punti di intersezione con gli assi.

La temperatura media $T$ (in °C) di una città costiera nell'arco di un anno si può approssimare mediante una funzione periodica. Si sa che la temperatura minima è $8^\circ\text{C}$ (raggiunta all'inizio di gennaio, $t=0$) e la massima è $28^\circ\text{C}$ (raggiunta all'inizio di luglio, $t=6$). La funzione risponde al modello:

$$T(t) = A \cdot \cos(Bt) + C$$

1. a) Determina i valori di $A$, $B$ e $C$ sapendo che il periodo è di 12 mesi.
2. b) Calcola in quali mesi dell'anno la temperatura è superiore a $23^\circ\text{C}$ (intervalli di segno della differenza $T(t) - 23$).
3. c) Indica i punti di intersezione della funzione con la retta orizzontale $y = 18$.

Sia data la funzione $f(x) = |x^2 - 2x - 3|$.

1. a) Esprimi la funzione come funzione definita a tratti eliminando il valore assoluto.

1. b) Trova i punti di intersezione con gli assi e studia il segno della funzione originale.

1. c) Determina il dominio e il codominio della funzione. La funzione è simmetrica rispetto alla retta $x = 1$? Giustifica la tua risposta.

Data la funzione razionale $g(x) = \frac{2x^2 - 8}{x^2 - 5x + 6}$:

1. a) Determina il suo dominio. Presta particolare attenzione ai punti in cui si annulla anche il numeratore.
2. b) Individua gli asintoti (verticali, orizzontali o obliqui) e studia la posizione della curva rispetto ad essi.
3. c) Trova il codominio della funzione analizzando se esiste qualche valore di $y$ che non può essere raggiunto.
4. d) Studia gli intervalli in cui la funzione è positiva e quelli in cui è negativa.

Un analista finanziario utilizza la funzione $P(x) = \log_2(x^2 - kx + 9)$ per prevedere l'andamento di un indice di borsa.

1. a) Per quali valori del parametro $k$ il dominio della funzione è l'intero insieme dei numeri reali $\mathbb{R}$?
2. b) Se $k = 6$, determina il dominio della funzione e le intersezioni con l'asse x.
3. c) Per $k = 0$, studia la simmetria della funzione e spiega se è pari, dispari o nessuna delle due.

Disegna il grafico approssimativo di una funzione $f(x)$ che soddisfi contemporaneamente tutte queste proprietà:

1. Il suo dominio è $\mathbb{R} - \{-2, 2\}$.

2. È una funzione pari.

3. Ha asintoti verticali in $x = -2$ e $x = 2$, tali che $\lim_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$ e $\lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$.

4. Ha un asintoto orizzontale in $y = 1$ quando $x \to \infty$.

5. I punti di intersezione con l'asse x sono $(-1, 0)$ e $(1, 0)$, e non interseca l'asse x in nessun altro punto.

6. Il punto di intersezione con l'asse y è $(0, -2)$.

Una volta tracciato il grafico, indica motivando gli intervalli di segno della funzione.

Puoi farlo su carta e inviare una foto con la tua risposta.

Tipo: SCEGLI IL METODO

Per analizzare una funzione economica complessa, due studenti devono studiare la simmetria e il segno della funzione:

$$f(x) = \frac{\ln(x^2 - 3)}{x}$$

• Metodo di Alberto (forza bruta analitica): Calcola algebricamente $f(-x)$ sostituendo direttamente la variabile. Poi, per studiare il segno, trova tutte le radici del numeratore risolvendo $\ln(x^2 - 3) = 0$, quelle del denominatore $x = 0$ e i limiti di esistenza della radice/del logaritmo, costruendo una tabella con 6 intervalli sulla retta reale.

• Metodo di Lucia (proprietà strutturali e scomposizione): Osserva prima che il numeratore $N(x) = \ln(x^2 - 3)$ è una funzione pari e il denominatore $D(x) = x$ è una funzione dispari. Dalla regola del quoziente di funzioni con simmetria, deduci subito il tipo di simmetria globale di $f(x)$. Argomenta che, grazie a tale simmetria, basta studiare le intersezioni e il segno sulla semiretta positiva del dominio e poi riflettere le conclusioni sulla semiretta negativa.

Rispondi ai seguenti punti:

1. Determina con rigore il dominio di $f(x)$. Perché il punto $x = 0$ è escluso dalla funzione ancora prima di verificare che annulla il denominatore?

2. Valuta la validità matematica del metodo di Lucia: dimostra formalmente che il quoziente di una funzione pari per una dispari è una funzione dispari ($f(-x) = -f(x)$).

3. Giustifica quale dei due metodi minimizza il lavoro algebrico e riduce la probabilità di commettere errori di segno. Applica il metodo più efficiente per determinare gli intervalli in cui $f(x) > 0$ e in cui $f(x) < 0$.

Tipo: MODELLIZZA

Un'azienda di corrieri espressi in Italia desidera aggiornare la propria struttura dei prezzi per i pacchi pesanti. La tariffa di fatturazione $C(x)$ (in euro) in funzione della massa $x$ del pacco (in chilogrammi, con $x > 0$) deve rispondere al seguente modello a tratti:

$$C(x) = \begin{cases} a + \sqrt{b \cdot x} & \text{si } 0 < x \le 4 \\[2mm] \dfrac{k \cdot x}{x - 2} & \text{si } x > 4 \end{cases}$$

Il reparto finanziario impone tre condizioni obbligatorie:

• Spedire un pacco di $1\text{ kg}$ costa $7\text{ €}$.

• Spedire un pacco di $4\text{ kg}$ costa $10\text{ €}$.

• La tariffa non deve presentare salti bruschi: il valore del costo deve coincidere al confine tra i due tratti ($x = 4$).

Svolgi i seguenti compiti di analisi e progettazione:

1. Determina in modo motivato i valori delle costanti $a$, $b$ e $k$.

2. Analizza il dominio della funzione nel suo contesto reale. Nel secondo tratto compare un denominatore che si annulla in $x = 2$; motiva se tale valore genera o meno una discontinuità o un asintoto nella funzione tariffa $C(x)$.

3. Studia il codominio di $C(x)$ per ogni $x > 0$. Sulla base di tale codominio, argomenta se un cliente potrebbe mai arrivare a pagare una fattura di $20\text{ €}$ per un pacco estremamente pesante, o se esiste un costo limite superiore che non verrà mai superato.

4. Ha senso matematico studiare se questa funzione è pari o dispari? Giustifica la risposta basandoti esclusivamente sulla definizione formale di simmetria e sul dominio di definizione di $C(x)$.