Esercizi: Disequazioni esponenziali e logaritmiche semplici

Risolvi le disequazioni esponenziali:

1. a) $2^x > 8$

1. b) $\left(\dfrac{1}{3}\right)^x \leq \dfrac{1}{9}$

Risolvi le disequazioni logaritmiche, indicando prima le condizioni di esistenza:

1. a) $\log_2 x > 3$

1. b) $\ln(x - 1) < 0$

Risolvi la disequazione $3^{2x-1} \geq 27$.

Risolvi la disequazione $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 3x} > \dfrac{1}{4}$.

Risolvi la disequazione $\log_{\frac{1}{2}}(2x - 3) \geq -2$, determinando prima le condizioni di esistenza.

Una somma di $2.000 €$ è investita a Bologna con interesse composto annuo del $3\%$. Il capitale dopo $n$ anni è $C(n) = 2.000 \cdot 1{,}03^n$. Determina dopo quanti anni interi il capitale supera per la prima volta $2.500 €$, impostando e risolvendo una disequazione esponenziale con i logaritmi.

Risolvi la disequazione $4^x - 3\cdot 2^x - 4 < 0$, usando una sostituzione opportuna e motivando ogni passaggio.

Risolvi la disequazione $\log_2(x) + \log_2(x - 2) \leq 3$, determinando le condizioni di esistenza e spiegando perché occorre intersecarle con la soluzione trovata.

Un reperto archeologico trovato a Pompei contiene una quantità di una sostanza radioattiva che segue la legge $N(t) = N_0 \cdot \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/5.730}$, con $t$ in anni.

1. a) Determina dopo quanti anni la quantità scende sotto il $10\%$ di $N_0$.

1. b) Determina l'intervallo di tempo in cui la quantità è compresa tra il $25\%$ e il $50\%$ di $N_0$.

1. c) Spiega perché la disequazione ottenuta cambia verso quando si passa ai logaritmi e come ciò dipende dalla base.