Esercizi: Disposizioni

In una gara dei $100\text{ m}$ metri piani partecipano $8$ atleti. In quanti modi diversi si possono assegnare le medaglie d'oro, d'argento e di bronzo, sapendo che non ci possono essere ex aequo?

Lanciamo un dado cubico tradizionale a $6$ facce $4$ volte consecutive e annotiamo in ordine il risultato di ogni lancio. Quanti risultati diversi possiamo ottenere in totale?

Cinque amici vanno al cinema e trovano una fila con $4$ poltrone libere consecutive. In quanti modi diversi possono sedersi per vedere il film?

Lanciamo una moneta $6$ volte consecutive e annotiamo l'esatta sequenza di teste e croci ottenuta. Quante sequenze diverse si possono formare?

In una galleria d'arte si devono esporre $2$ quadri scelti da una collezione privata di $7$ opere. Uno sarà collocato sulla parete sinistra della sala e l'altro sulla parete destra. In quanti modi diversi si può organizzare questa esposizione?

Vogliamo dipingere $3$ cassette della posta allineate lungo una strada. Abbiamo a disposizione $4$ colori diversi (rosso, verde, blu e giallo). Se possiamo ripetere i colori su cassette diverse, in quanti modi diversi possiamo dipingerle?

Un gruppo di lettura ha $9$ membri. Devono eleggere un direttivo formato da un presidente, un vicepresidente e un segretario. Poiché le cariche sono diverse e ogni persona può ricoprirne una sola, in quanti modi si può formare il direttivo?

Un test a risposta multipla è composto da $5$ domande. Ogni domanda ha $3$ opzioni di risposta (A, B e C) delle quali se ne può segnare solo una. Se uno studente risponde a tutte le domande, in quanti modi diversi può compilare il test?

Per accedere all'armadietto della palestra della scuola, Lucia deve impostare un codice segreto di $3$ cifre distinte scelte esclusivamente tra i numeri primi minori di $10$, cioè dell'insieme $\{2, 3, 5, 7\}$. Il suo compagno Marco afferma: «Poiché l'ordine delle cifre conta e abbiamo $4$ elementi per formare gruppi di $3$, il numero totale di codici possibili è $VR_{4,3} = 4^3 = 64$».

1. a) Trova l'errore concettuale commesso da Marco e spiega chiaramente quale condizione del testo ha ignorato.
2. b) Correggi il suo ragionamento deducendo la formula adeguata e calcola il numero reale di codici diversi che Lucia può impostare.

In una classe di prima liceo con $25$ studenti si deve eleggere il gruppo dei rappresentanti per l'anno, formato da tre cariche distinte: rappresentante, vicerappresentante e segretario. Uno stesso studente non può ricoprire più di una carica.

1. a) Senza eseguire il calcolo dettagliato con la formula, stima con un ragionamento se il numero totale di gruppi possibili sarà più vicino a $1\,000$, a $15\,000$ o a $100\,000$. Giustifica brevemente l'arrotondamento o l'approssimazione mentale che hai usato.
2. b) Modellizza la situazione calcolando il valore esatto con la formula del calcolo combinatorio adeguata. Verifica se il risultato conferma la tua stima e spiega perché l'ordine di scelta è determinante in questa assegnazione.

Il sistema di targhe di un paese è formato da un blocco di $4$ cifre (da $0$ a $9$) seguito da un blocco di $2$ lettere scelte da un alfabeto di $20$ consonanti. In entrambi i blocchi è consentita la ripetizione dei caratteri. Quante targhe diverse si possono emettere in totale con questo formato?

Utilizzando le cifre $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, quanti numeri pari di $3$ cifre si possono formare se non è consentito ripetere nessuna cifra nello stesso numero?

In informatica un byte è una sequenza di $8$ bit (dove ogni bit può essere $0$ oppure $1$). Quanti byte diversi esistono che iniziano esattamente con la sequenza $10$?

Un'azienda ha $8$ dipendenti e deve assegnare $5$ compiti diversi a $5$ dipendenti distinti (un compito per persona). Se si sa che il primo compito deve essere svolto obbligatoriamente dal dipendente più anziano, in quanti modi si possono assegnare i compiti?

Quanti numeri di $4$ cifre si possono formare con le cifre $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (con possibilità di ripetere le cifre) che siano strettamente maggiori di $3000$?

In un campionato di pallacanestro partecipano $14$ squadre. Ogni squadra deve giocare contro tutte le altre due volte nel corso dell'anno (una partita in casa e una in trasferta). Quante partite si giocheranno in totale durante tutta la stagione?

Un lucchetto di sicurezza per biciclette ha $3$ rotelle indipendenti, ciascuna numerata da $0$ a $9$. Calcola la differenza tra il numero totale di combinazioni possibili (con ripetizione) e il numero di combinazioni in cui le tre cifre sono strettamente distinte.

Nel codice Morse le lettere sono rappresentate da sequenze di punti e linee. Quanti segnali diversi si possono formare usando al massimo $3$ simboli per segnale?

Un servizio meteorologico nazionale utilizza codici identificativi per catalogare le sue stazioni automatiche in Italia. Ogni codice è formato da una lettera iniziale che identifica il bacino idrografico (si usano $8$ lettere possibili: B, C, D, E, M, N, S o V) seguita da un blocco di $4$ cifre numeriche.

1. a) Se le $4$ cifre sono scelte da $0$ a $9$ e possono ripetersi senza restrizioni, quanti codici di stazione diversi si possono generare per uno stesso bacino idrografico? E nell'insieme dei $8$ bacini?
2. b) Per una rete speciale di alta montagna si decide che le $4$ cifre devono essere tutte distinte e nessuna può essere zero. Giustifica se questo nuovo blocco numerico si modellizza con disposizioni semplici o con ripetizione, e calcola quanti codici distinti restano disponibili per bacino con questo criterio.

Il dipartimento di informatica di una scuola sta creando identificativi temporanei di accesso per gli studenti. I codici si generano ordinando $k$ cifre distinte prese dall'insieme dei numeri dispari $\{1, 3, 5, 7, 9\}$, senza ripetere nessuna cifra all'interno dello stesso codice.

1. a) Se il server ha registrato esattamente $60$ identificativi possibili in totale, imposta un'equazione usando la definizione di disposizione semplice in cui l'incognita sia la lunghezza $k$ del codice, e trova con ragionamento il suo valore.
2. b) Se le norme di sicurezza cambiassero e ora fosse consentito ripetere le cifre mantenendo la stessa lunghezza $k$ trovata nel punto precedente, quanti codici in totale si potrebbero creare? Confronta i due risultati calcolando quanti identificativi in più si ottengono e spiega perché la ripetizione aumenta le possibilità.

In un torneo di scacchi si gioca con girone di andata e ritorno (ogni giocatore affronta tutti gli altri due volte, alternando il colore dei pezzi). Se si sa che in totale sono state disputate $90$ partite, imposta l'equazione corrispondente usando la formula delle disposizioni e trova quanti giocatori hanno partecipato al torneo.

Quanti numeri di $4$ cifre distinte si possono formare utilizzando soltanto le cifre $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$? Tieni presente che, per definizione, un numero valido non può iniziare con la cifra $0$.

Un numero palindromo è un numero che si legge allo stesso modo da sinistra a destra e da destra a sinistra (ad esempio $35853$). Quanti numeri palindromi di $5$ cifre si possono formare utilizzando soltanto le cifre da $1$ a $9$?

Per accedere a una banca dati sicura è richiesta una password di $5$ caratteri. Per sicurezza, il sistema richiede che i primi due caratteri siano vocali (possono ripetersi) e che gli ultimi tre caratteri siano numeri da $0$ a $9$ (senza ripetizioni). Quante password diverse rispettano questo formato?

Una classe è formata da $6$ ragazzi e $5$ ragazze. Si vuole eleggere un comitato composto da presidente, vicepresidente e segretario. La presidenza deve essere ricoperta obbligatoriamente da una ragazza, la vicepresidenza da un ragazzo, e la segreteria può essere ricoperta da uno qualsiasi degli studenti rimanenti. In quanti modi si può eleggere il comitato?

Si vuole disegnare una bandiera con $4$ strisce verticali. Si dispone di $5$ colori diversi. In quanti modi si può colorare la bandiera se l'unica condizione è che due strisce adiacenti (vicine) non possano avere lo stesso colore?

Sapendo che il numero di disposizioni con ripetizione di $x$ elementi presi $2$ a $2$ supera di $12$ il numero di disposizioni semplici degli stessi $x$ elementi presi $2$ a $2$, imposta l'equazione corrispondente e trova il valore di $x$.

Cinque persone salgono su un vagone di un treno in cui ci sono $8$ posti liberi. Due di queste persone sono una coppia e vogliono sedersi obbligatoriamente in due posti contigui specifici vicino al finestrino. Sapendo che per la coppia conta chi si siede vicino al finestrino e chi vicino al corridoio, in quanti modi diversi le cinque persone possono occupare i posti?

Si vogliono formare numeri di $4$ cifre distinte utilizzando soltanto le cifre $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$, con la condizione indispensabile che il numero risultante sia pari. Due studenti discutono sulla strategia migliore per contarli:

• Strategia di Sergio (metodo diretto): «Prima fissiamo l'ultima cifra, che deve essere pari ($\{2, 4, 6\}$), e poi completiamo le altre $3$ posizioni scegliendo e ordinando cifre tra le $6$ rimanenti».

• Strategia di Alba (metodo complementare): «Calcoliamo tutti i numeri possibili di $4$ cifre distinte senza restrizioni e sottraiamo quelli che terminano con una cifra dispari».

1. a) Sviluppa completamente entrambi i metodi applicando le formule delle disposizioni corrispondenti e verifica che si arrivi esattamente allo stesso numero totale.
2. b) Se aggiungessimo una seconda restrizione simultanea: «il numero deve essere pari e inoltre maggiore di $5\,000$», analizza con ragionamento quale dei due metodi risulterebbe più conveniente e descrivi quali difficoltà aggiuntive presenterebbe il metodo scartato.

Nella Lega di Dibattito di una regione, le scuole presentano squadre formate inizialmente da $n$ oratori. La competizione è composta da due fasi con diversa assegnazione dei ruoli:

• Nella fase locale, ogni scuola deve selezionare $2$ dei suoi $n$ oratori per svolgere ruoli specifici e distinti: «oratore di apertura» e «oratore di conclusione».

• Nella fase regionale, l'organizzazione permette di ampliare la squadra della scuola aggiungendo $2$ oratori in più ($n+2$ oratori in totale), e si devono coprire $3$ ruoli distinti: «apertura», «confutazione» e «conclusione», senza che uno studente possa assumere più di un ruolo.

L'organizzazione osserva che il numero di terne possibili di oratori per la fase regionale è esattamente $12$ volte il numero di coppie possibili della fase locale.

1. a) Modellizza la situazione impostando un'equazione algebrica che metta in relazione le due fasi mediante la formula delle disposizioni semplici.
2. b) Risolvi l'equazione semplificando gli sviluppi fattoriali e ottieni i possibili valori di $n$.
3. c) Sapendo che il regolamento richiede che per la fase locale la squadra abbia almeno $3$ oratori per garantire le sostituzioni ($n \ge 3$), determina con ragionamento qual è il numero $n$ di oratori iniziali e verifica che la soluzione soddisfi la condizione teorica $k \le n$ in entrambe le fasi.