Wurzelfunktion als Umkehrfunktion
Für ein quadratisches Beet im Garten in Münster kennst du die Seitenlänge $x$ und berechnest den Flächeninhalt $A = x^2$. Jetzt kommt der Gartenbauer mit der Frage: „Das Beet soll 9 m² groß sein. Wie lang müssen die Seiten sein?" Du musst die Rechnung rückwärts durchführen. Genau das leistet eine Umkehrfunktion. Am Ende dieser Seite weißt du, warum dafür die Wurzelfunktion zuständig ist und warum dabei eine Einschränkung nötig ist.
Umkehrfunktion: Rechnung rückwärts
Eine Funktion ordnet jedem $x$ genau ein $y$ zu. Die Umkehrfunktion $f^{-1}$ macht das rückgängig: Sie ordnet jedem $y$ den Wert $x$ zu, aus dem es entstanden ist.
Beim Beet: $f(x) = x^2$ liefert aus der Seitenlänge die Fläche. Die Umkehrung liefert aus der Fläche die Seitenlänge, also $\sqrt{9} = 3$. Eine Seitenlänge ist nie negativ. Deshalb betrachten wir $f(x) = x^2$ nur für $x \ge 0$. Auf ganz $\mathbb{R}$ ist die Parabel nicht streng monoton, denn $(-3)^2 = 3^2 = 9$. Dann gäbe es zu $y = 9$ zwei Werte $x$, und die Umkehrung wäre nicht eindeutig.
Gegeben ist $f(x) = x^2$ für $x\ge 0$. a) Geben Sie die Umkehrfunktion $f^{-1}$ an. b) Nennen Sie Definitions- und Wertebereich von $f^{-1}$.
Gegeben ist $f(x) = x^2$ für $x\ge 0$.
- a) Geben Sie die Umkehrfunktion $f^{-1}$ an.
- b) Nennen Sie Definitions- und Wertebereich von $f^{-1}$.
Gegeben ist $g(x) = \sqrt{x}$. a) Berechnen Sie $g(0)$, $g(4)$ und $g(9)$. b) Geben Sie die Koordinaten der entsprechenden Punkte der Umkehrfunktion an.
Gegeben ist $g(x) = \sqrt{x}$.
- a) Berechnen Sie $g(0)$, $g(4)$ und $g(9)$.
- b) Geben Sie die Koordinaten der entsprechenden Punkte der Umkehrfunktion an.
Die Wurzelfunktion
Die Funktion $g(x) = \sqrt{x}$ ordnet jeder nichtnegativen Zahl ihre nichtnegative Quadratwurzel zu. Es ist $\sqrt{x}$ diejenige Zahl $\ge 0$, deren Quadrat $x$ ist. Daher ist $\sqrt{x}$ nur für $x \ge 0$ definiert.
Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen funktionieren wie bei jeder Funktion. Für $h(x) = \sqrt{x - d} + e$ wird der Graph um $d$ nach rechts und um $e$ nach oben verschoben. Der Startpunkt ist dann $(d|e)$. Probiere es aus:
Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von $h(x) = \sqrt{x - 5}$ und geben Sie den Wertebereich an.
Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von $h(x) = \sqrt{x - 5}$ und geben Sie den Wertebereich an.
Umkehrfunktion bestimmen
Das Verfahren ist immer gleich:
Warum die Einschränkung $x \ge 0$? Ohne sie wäre $f(-3) = f(3) = 10$. Die Parabel ist auf $\mathbb{R}$ nicht streng monoton. Zum Wert 10 gäbe es zwei Ausgangswerte, und die Umkehrung wäre keine Funktion.
Gegeben ist $f(x) = x^2 + 1$ für $x\ge 0$. a) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion $f^{-1}$ mit Definitions- und Wertebereich. b) Berechnen Sie $f^{-1}(10)$. c) Begründen…
Gegeben ist $f(x) = x^2 + 1$ für $x\ge 0$.
- a) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion $f^{-1}$ mit Definitions- und Wertebereich.
- b) Berechnen Sie $f^{-1}(10)$.
- c) Begründen Sie, warum die Einschränkung $x\ge0$ notwendig ist.
Gegeben ist $g(x) = \sqrt{2x - 4} + 1$. a) Bestimmen Sie Definitions- und Wertebereich. b) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion $g^{-1}$. c) Geben Sie Definitions- und…
Gegeben ist $g(x) = \sqrt{2x - 4} + 1$.
- a) Bestimmen Sie Definitions- und Wertebereich.
- b) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion $g^{-1}$.
- c) Geben Sie Definitions- und Wertebereich von $g^{-1}$ an.
Spiegelung an der Winkelhalbierenden $y = x$
Der Punkt $(a|b)$ wird beim Vertauschen der Koordinaten zu $(b|a)$. Das ist genau die Spiegelung an der Geraden $y = x$. Also entsteht der Graph von $f^{-1}$ durch Spiegelung des Graphen von $f$ an $y = x$.
Die Spiegelachse $y = x$ steht senkrecht auf den Verbindungsstrecken von Punkt und Bildpunkt. Gerade deshalb liegen $(2|4)$ und $(4|2)$ symmetrisch zueinander.
Beide Schnittpunkte liegen auf der Geraden $y = x$. Das ist bei monoton wachsenden Funktionen immer so.
Der Graph von $f(x) = \sqrt{x}$ wird an der Geraden $y=x$ gespiegelt. a) Geben Sie die Funktionsgleichung des Spiegelbilds samt Definitionsbereich an. b) Zeigen Sie,…
Der Graph von $f(x) = \sqrt{x}$ wird an der Geraden $y=x$ gespiegelt.
- a) Geben Sie die Funktionsgleichung des Spiegelbilds samt Definitionsbereich an.
- b) Zeigen Sie, dass der Punkt $P(4|2)$ auf dem Graphen von $f$ liegt, und geben Sie den Spiegelpunkt $P'$ an.
- c) Bestimmen Sie die Schnittpunkte beider Graphen.
Gegeben ist $f(x) = \sqrt{x+1} - 1$. a) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion samt Definitions- und Wertebereich. b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von $f$ und $f^{-1}$ mit…
Gegeben ist $f(x) = \sqrt{x+1} - 1$.
- a) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion samt Definitions- und Wertebereich.
- b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von $f$ und $f^{-1}$ mit der Geraden $y=x$ und begründen Sie, dass sich dort auch die Graphen von $f$ und $f^{-1}$ schneiden.
- c) Beurteilen Sie, ob $f$ und $f^{-1}$ weitere Schnittpunkte besitzen können.
Ableitung und Umkehrfunktion
Wie hängen die Steigungen von $f$ und $f^{-1}$ zusammen? Beim Spiegeln an $y = x$ tauschen Längs- und Querrichtung ihre Rollen. Ein Steigungsdreieck mit Breite $\Delta x$ und Höhe $\Delta y$ wird zu einem Dreieck mit Breite $\Delta y$ und Höhe $\Delta x$. Aus der Steigung $m$ wird $\frac{1}{m}$.
Mit dieser Idee lassen sich Tangenten spiegeln.
Gegeben ist $f(x) = \sqrt{x}$ für $x\ge0$. a) Bestimmen Sie $f'(x)$ für $x>0$ und begründen Sie, dass $f$ streng monoton wachsend ist. b) Bestimmen Sie die Steigung von…
Gegeben ist $f(x) = \sqrt{x}$ für $x\ge0$.
- a) Bestimmen Sie $f'(x)$ für $x>0$ und begründen Sie, dass $f$ streng monoton wachsend ist.
- b) Bestimmen Sie die Steigung von $f$ im Punkt $P(4|2)$ und mit Hilfe der Umkehrfunktion die Steigung des Spiegelbilds im Punkt $P'(2|4)$.
- c) Überprüfen Sie das Ergebnis aus b) durch direktes Ableiten der Umkehrfunktion.
Gegeben ist $f(x) = e^{x}$ und ihre Umkehrfunktion $\ln$. a) Begründen Sie, dass der Graph von $\ln$ durch Spiegelung an $y=x$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht. b)…
Gegeben ist $f(x) = e^{x}$ und ihre Umkehrfunktion $\ln$.
- a) Begründen Sie, dass der Graph von $\ln$ durch Spiegelung an $y=x$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht.
- b) Bestimmen Sie die Tangente an den Graphen von $f$ in $P(0|1)$ und daraus durch Spiegelung die Tangente an den Graphen von $\ln$ in $(1|0)$.
- c) Zeigen Sie, dass $\ln x \le x - 1$ für alle $x>0$ gilt.
Zurück zum Anfang: Für das 9 m² große Beet ist die Seitenlänge $f^{-1}(9) = \sqrt{9} = 3$ m. Die negative Lösung $-3$ entfällt, weil wir $f(x) = x^2$ nur für $x \ge 0$ betrachten.