Begrenztes Wachstum
Ein Getränk, das mit 20 °C in einen Kühlschrank in Köln gestellt wird, kühlt zuerst schnell ab. Später verändert sich die Temperatur kaum noch. Unter die Temperatur des Kühlschranks sinkt sie nie. Warum wird die Änderung immer langsamer, und welche Funktion beschreibt das? Am Ende der Seite können wir diese Frage beantworten.
Das Modell des begrenzten Wachstums
Beim unbegrenzten Wachstum $f(t) = B \cdot e^{kt}$ wächst eine Größe immer schneller und ohne Grenze. In der Realität gibt es aber oft eine Obergrenze: einen vollen Akku, ein volles Becken, eine Raumtemperatur, einen Sättigungswert. Dafür verwendet man das begrenzte Wachstum.
Die Bedeutung der Größen lässt sich am Term ablesen:
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Für $t \to \infty$ gilt $e^{-kt} \to 0$, also $f(t) \to S$. Die Gerade $y = S$ ist die waagerechte Asymptote. $S$ ist die Schranke (Sättigungswert).
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Für $t = 0$ gilt $e^0 = 1$, also $f(0) = S - (S - B) = B$. $B$ ist der Anfangswert.
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$k$ legt fest, wie schnell sich $f$ der Schranke nähert. Je größer $k$ ist, desto schneller geht es.
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Gilt $B < S$, so wächst $f$. Gilt $B > S$, so fällt $f$ auf $S$ (Abkühlung). Die Form bleibt dieselbe.
Verändern Sie $s$, $b$ und $k$ und beobachten Sie, was mit der Asymptote, dem Startpunkt und der Steilheit passiert.
Eine Größe wächst nach dem Modell $f(t) = 50 - 40 \cdot e^{-0,2t}$ mit $t$ in Stunden. a) Berechnen Sie den Anfangswert $f(0)$. b) Geben Sie die Schranke $S$ an, der…
Eine Größe wächst nach dem Modell $f(t) = 50 - 40 \cdot e^{-0,2t}$ mit $t$ in Stunden.
- a) Berechnen Sie den Anfangswert $f(0)$.
- b) Geben Sie die Schranke $S$ an, der sich $f(t)$ für $t \to \infty$ nähert.
Gegeben ist $f(t) = 8 - 6 \cdot e^{-0,5t}$. a) Berechnen Sie $f(2)$ auf zwei Nachkommastellen genau. b) Bestimmen Sie die Wachstumskonstante $k$ und den Startwert $B$…
Gegeben ist $f(t) = 8 - 6 \cdot e^{-0,5t}$.
- a) Berechnen Sie $f(2)$ auf zwei Nachkommastellen genau.
- b) Bestimmen Sie die Wachstumskonstante $k$ und den Startwert $B$ der Form $f(t) = S - (S-B)\cdot e^{-kt}$.
Ableitung und Änderungsrate
Wie schnell sich die Größe ändert, sagt die Ableitung $f'(t)$ als momentane Änderungsrate. Mit der Kettenregel für $e^{-kt}$ (lineare innere Funktion) gilt $(e^{-kt})' = -k\cdot e^{-kt}$. Damit erhalten wir:
$$f'(t) = -(S-B)\cdot(-k)\cdot e^{-kt} = k\,(S-B)\cdot e^{-kt}$$Für $S > B$ und $k > 0$ ist $f'(t) > 0$, denn $e^{-kt} > 0$ gilt immer. Also ist $f$ streng monoton wachsend. Außerdem wird $e^{-kt}$ mit wachsendem $t$ kleiner. Die Änderungsrate nimmt ab und geht gegen $0$.
Das erklärt die Eingangsfrage: Je näher der Wert an der Schranke liegt, desto kleiner ist der Restabstand $S - f(t)$ und desto langsamer ändert sich die Größe. Beim Kühlschrank ist die Abkühlung am Anfang am stärksten, weil dort der Temperaturunterschied am größten ist.
Die Funktion $f(t) = 20 - 15 \cdot e^{-0,1t}$ beschreibt einen begrenzten Wachstumsprozess. a) Berechnen Sie die Ableitung $f'(t)$. b) Begründen Sie, dass $f$ streng…
Die Funktion $f(t) = 20 - 15 \cdot e^{-0,1t}$ beschreibt einen begrenzten Wachstumsprozess.
- a) Berechnen Sie die Ableitung $f'(t)$.
- b) Begründen Sie, dass $f$ streng monoton wachsend ist.
Der Bestand an Wissen eines Lernenden wird modelliert durch $f(t) = 100 - 80 \cdot e^{-0,15t}$ ($t$ in Wochen, $f$ in Prozent). a) Berechnen Sie die momentane…
Der Bestand an Wissen eines Lernenden wird modelliert durch $f(t) = 100 - 80 \cdot e^{-0,15t}$ ($t$ in Wochen, $f$ in Prozent).
- a) Berechnen Sie die momentane Änderungsrate zu Beginn und nach 10 Wochen.
- b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Änderungsrate auf $1$ Prozentpunkt pro Woche gesunken ist.
- c) Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Parameter und Zeitpunkte bestimmen
In Aufgaben sind meist $S$ und $B$ aus dem Text ablesbar, und $k$ wird aus einem weiteren Messwert bestimmt. Wird ein Zeitpunkt gesucht, löst man eine Gleichung mit $e^{-kt}$: erst die e-Funktion isolieren, dann den natürlichen Logarithmus $\ln$ als Umkehroperation anwenden (WTR).
Die Temperatur eines Getränks in einem Kühlschrank in Hamburg wird beschrieben durch $T(t) = 5 + 15 \cdot e^{-0,05t}$ ($t$ in Minuten, $T$ in °C). a) Geben Sie die…
Die Temperatur eines Getränks in einem Kühlschrank in Hamburg wird beschrieben durch $T(t) = 5 + 15 \cdot e^{-0,05t}$ ($t$ in Minuten, $T$ in °C).
- a) Geben Sie die Anfangstemperatur und die Temperatur des Kühlschranks an.
- b) Berechnen Sie die Temperatur nach 30 Minuten.
- c) Bestimmen Sie, nach wie vielen Minuten die Temperatur $8\,°C$ erreicht.
Ein Wasserbecken in Leipzig fasst höchstens $200\,\text{m}^3$. Zu Beginn enthält es $20\,\text{m}^3$. Der Füllstand wird modelliert durch $V(t) = S - (S-B)\cdot e^{-kt}$…
Ein Wasserbecken in Leipzig fasst höchstens $200\,\text{m}^3$. Zu Beginn enthält es $20\,\text{m}^3$. Der Füllstand wird modelliert durch $V(t) = S - (S-B)\cdot e^{-kt}$ ($t$ in Stunden). Nach 4 Stunden enthält das Becken $100\,\text{m}^3$.
- a) Geben Sie $S$ und $B$ an.
- b) Bestimmen Sie $k$.
- c) Berechnen Sie, wann das Becken zu $90\,\%$ gefüllt ist.
Modellvergleich und Modellgrenzen
Aus $S - f(t) = (S-B)\cdot e^{-kt}$ folgt eine schöne Eigenschaft: Der Restabstand zur Schranke halbiert sich in gleichen Zeitabständen. Aus $e^{-kt} = \tfrac12$ ergibt sich
$$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{k},$$und das gilt unabhängig vom Anfangswert $B$.
Bei einer Abkühlung wie $T(t) = 20 + 70\cdot e^{-kt}$ ist $T$ die Temperatur des Kaffees und $20\,°C$ die Raumtemperatur. Der Restabstand $T - 20$ ist die Differenz zur Raumtemperatur.
Beim Modellvergleich werden zwei Modelle für dieselben Daten betrachtet, zum Beispiel begrenzt und linear. Man vergleicht Funktionswerte, Steigungen (Ableitungen) und das Verhalten für große $t$. Ein lineares Modell wächst unbegrenzt und wird für große $t$ unrealistisch, wenn es eine natürliche Grenze gibt.
Zurück zum Anfang: Der Kühlschrank-Fall folgt $T(t) = T_K + (T_0 - T_K)\cdot e^{-kt}$. Die Abkühlung wird langsamer, weil die Änderungsrate proportional zum verbleibenden Temperaturunterschied ist, und die Temperatur des Kühlschranks ist die Schranke $S$.
Für begrenztes Wachstum gilt $f(t) = S - (S-B)\cdot e^{-kt}$ mit $S > B > 0$ und $k > 0$. a) Zeigen Sie, dass $f'(t) = k\,(S - f(t))$ gilt. b) Erläutern Sie mit Hilfe…
Für begrenztes Wachstum gilt $f(t) = S - (S-B)\cdot e^{-kt}$ mit $S > B > 0$ und $k > 0$.
- a) Zeigen Sie, dass $f'(t) = k\,(S - f(t))$ gilt.
- b) Erläutern Sie mit Hilfe von a), warum die Änderungsrate mit wachsendem $t$ abnimmt.
- c) Zeigen Sie, dass die Halbwertszeit des „Restes“ $S - f(t)$ unabhängig von $B$ ist, und geben Sie sie in Abhängigkeit von $k$ an.
Ein Kaffee wird in einer Kantine in Köln mit $90\,°C$ serviert. Die Raumtemperatur beträgt $20\,°C$. Nach 10 Minuten hat der Kaffee $60\,°C$. Die Temperatur wird…
Ein Kaffee wird in einer Kantine in Köln mit $90\,°C$ serviert. Die Raumtemperatur beträgt $20\,°C$. Nach 10 Minuten hat der Kaffee $60\,°C$. Die Temperatur wird modelliert durch $T(t) = 20 + 70\cdot e^{-kt}$.
- a) Bestimmen Sie $k$.
- b) Berechnen Sie, wann der Kaffee $40\,°C$ erreicht.
- c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Abkühlungsrate betragsmäßig kleiner als $0,5\,°C$ pro Minute ist.
- d) Beurteilen Sie die Grenzen des Modells.
Zwei Modelle für die Anzahl $N$ verkaufter Einheiten (in Tausend) einer App in den ersten Monaten $t$ werden verglichen: Modell A (begrenzt):…
Zwei Modelle für die Anzahl $N$ verkaufter Einheiten (in Tausend) einer App in den ersten Monaten $t$ werden verglichen:
Modell A (begrenzt): $A(t) = 100 - 100\cdot e^{-0,1t}$.
Modell B (linear): $B(t) = 8t$.
- a) Zeigen Sie, dass $t = 0$ eine Lösung der Gleichung $A(t) = B(t)$ ist, und bestimmen Sie die weitere Lösung im Bereich $0 < t \le 20$ näherungsweise (z. B. mit Tabelle oder Rechner).
- b) Vergleichen Sie die Steigungen beider Modelle bei $t = 0$ und begründen Sie, welches Modell für große $t$ unrealistisch ist.
- c) Bestimmen Sie $t$, sodass Modell A $95\,\%$ der Schranke erreicht.