Ableitungen elementarer Funktionen
Die Temperatur in Köln steigt am Morgen und fällt am Abend; die Nutzerzahl einer App wächst im Lauf der Zeit immer schneller. Wie schnell sich etwas in einem bestimmten Moment ändert, sagt die Ableitung. Damit du nicht jedes Mal den Differenzenquotienten bilden musst, brauchst du eine feste Tabelle der Ableitungen der Grundfunktionen. Im Grundkurs sind das $x^n$, $\sqrt{x}$, $\frac{1}{x}$, $\mathrm{e}^x$, $\sin x$ und $\cos x$. Am Ende kannst du Ableitungen wie die der Funktion $x \cdot \mathrm{e}^{-2x}$ ohne Hilfsmittel bilden.
Potenzfunktionen, Wurzel und Kehrwert
Du kennst bereits die Potenzregel, die Faktorregel und die Summenregel aus der Einführungsphase.
Die Potenzregel gilt auch für negative und gebrochene Exponenten. Mit $\frac{1}{x} = x^{-1}$ und $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ ergibt sich:
Die Vorzeichenregel mit negativen Exponenten lässt sich so überprüfen: $(x^{-2})' = -2x^{-3}$.
Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden ganzrationalen Funktion: $f(x) = 4x^5 - \frac{3}{2}x^4 + 7x^2 - \sqrt{2}x + 5$
Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden ganzrationalen Funktion:
$f(x) = 4x^5 - \frac{3}{2}x^4 + 7x^2 - \sqrt{2}x + 5$
Die e-Funktion
Die Funktionen $f(x) = a^x$ sind für $a>1$ streng monoton wachsend und steigen immer stärker. Es gibt genau eine Basis, bei der die Steigung des Graphen an jeder Stelle gleich dem Funktionswert ist: die eulersche Zahl $\mathrm{e} \approx 2{,}718$ (Ableitung $f' = f$ nur für $\mathrm{e}^x$).
Ist der Exponent linear, $k \cdot x + b$, kommt der Faktor $k$ vor die Funktion (Kettenregel für eine lineare innere Funktion).
Außerdem gilt immer $\mathrm{e}^x > 0$. Das brauchst du später, wenn du Nullstellen von Ableitungen suchst: Ein Faktor $\mathrm{e}^{\dots}$ kann nie null werden.
Die Temperatur $T$ (in Grad Celsius) eines Industriemotors in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten) nach dem Abschalten folgt dem newtonschen Abkühlungsgesetz,…
Die Temperatur $T$ (in Grad Celsius) eines Industriemotors in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten) nach dem Abschalten folgt dem newtonschen Abkühlungsgesetz, gegeben durch $T(t) = 25 + 85 e^{-0,05t}$. Berechnen und deuten Sie den Wert von $T'(10)$, d. h. die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur nach 10 Minuten sinkt.
Sinus und Kosinus
Zeichnest du die Sinuskurve und trägst die Tangentensteigungen ab, entsteht die Kosinuskurve: Bei $x=0$ hat der Sinus die Steigung $1$, bei $x=\frac{\pi}{2}$ (Hochpunkt) ist die Steigung $0$.
Berechnen Sie die Ableitung der folgenden trigonometrischen Funktion: $f(x) = 5\sin x - 3\cos x + \tan x$
Berechnen Sie die Ableitung der folgenden trigonometrischen Funktion:
$f(x) = 5\sin x - 3\cos x + \tan x$
Die Produktregel mit elementaren Funktionen
Die Ableitung eines Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen.
Mit der Ableitung kannst du auch den Verlauf einer Funktion untersuchen: Wo $f'(x)>0$ ist, ist $f$ streng monoton wachsend, wo $f'(x)<0$ ist, fallend. Bei $f(x) = x\,\mathrm{e}^{-2x}$ ist $f'(x) = \mathrm{e}^{-2x}(1-2x)$. Für $x<\frac12$ gilt $f'(x)>0$, für $x>\frac12$ gilt $f'(x)<0$: Bei $x=\frac12$ liegt ein Hochpunkt. Für $x \to \infty$ gilt $f(x) \to 0$, die x-Achse ist waagerechte Asymptote.
Die Ableitung liefert auch die Tangente: Die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x_0$ hat die Steigung $m = f'(x_0)$ und geht durch $P(x_0\,|\,f(x_0))$.
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die durch $f(x) = x e^{-2x} + \cos(\pi x)$ definierte Kurve an der Stelle $x = 0$.
Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die durch $f(x) = x e^{-2x} + \cos(\pi x)$ definierte Kurve an der Stelle $x = 0$.
Die Position einer an eine gedämpfte Feder gekoppelten Masse ist durch die Funktion $x(t) = 5 e^{-0,4t} \cos(3t)$ gegeben, wobei $x$ in Zentimetern und $t$ in Sekunden…
Die Position einer an eine gedämpfte Feder gekoppelten Masse ist durch die Funktion $x(t) = 5 e^{-0,4t} \cos(3t)$ gegeben, wobei $x$ in Zentimetern und $t$ in Sekunden gemessen wird. Bestimmen Sie die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ des Oszillators, indem Sie die Ortsfunktion ableiten.
Ausblick: Weitere Ableitungen
Die folgenden Regeln gehören nicht zum Stoff des Grundkurses. Sie sind nur ein Ausblick, auch wenn manche Aufgaben dieses Apartados sie verlangen:
$$(\ln x)' = \frac{1}{x} \qquad (a^x)' = a^x \cdot \ln a \qquad (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$$ $$(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2} \qquad (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$Dazu kommen die Quotientenregel $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ und die allgemeine Kettenregel $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Beispiel: $\left(\mathrm{e}^{x^2}\right)' = 2x\,\mathrm{e}^{x^2}$. Auch Sinus und Kosinus mit linearem Argument gehören dazu: $(\sin(kx+b))' = k\cos(kx+b)$ und $(\cos(kx+b))' = -k\sin(kx+b)$. Im Grundkurs genügt die Kettenregel für $\mathrm{e}^{kx+b}$.
Beim Ableiten von Logarithmustermen hilft es oft, vorher zu vereinfachen. Dazu dienen die Logarithmengesetze:
$$\ln(u \cdot v) = \ln u + \ln v \qquad \ln\left(\frac{u}{v}\right) = \ln u - \ln v \qquad \ln(u^n) = n \cdot \ln u \qquad \ln\left(\mathrm{e}^k\right) = k$$Bestimmen Sie mit der Produktregel die Ableitung der Funktion: $g(x) = x^3 \ln x$
Bestimmen Sie mit der Produktregel die Ableitung der Funktion:
$g(x) = x^3 \ln x$