Totale Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes

Laut Berichten zum Fahrgastaufkommen auf einer deutschen Bahnstrecke fahren $50\,\%$ der Fahrgäste im Fernverkehr (ICE), $30\,\%$ im Regionalexpress und die übrigen $20\,\%$ in der S-Bahn. Die Pünktlichkeitsdaten zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit einer Verspätung von mehr als $15$ Minuten im Fernverkehr $2\,\%$, im Regionalexpress $6\,\%$ und in der S-Bahn $10\,\%$ beträgt.

1. a) Begründen Sie, dass die Zugarten eine vollständige Zerlegung der Ergebnismenge bilden, und definieren Sie die beteiligten Ereignisse eindeutig.
2. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person auf dieser Strecke mit mehr als $15$ Minuten Verspätung ihr Ziel erreicht.
3. c) Eine zufällig ausgewählte Person hatte eine Verspätung von mehr als $15$ Minuten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie im Fernverkehr gefahren ist. Kommentieren Sie das Ergebnis: Warum ist diese Wahrscheinlichkeit verhältnismäßig niedrig, obwohl die Hälfte der verkauften Tickets auf diesen Dienst entfällt?

An einer Schule können die Schülerinnen und Schüler der Q2 zwischen zwei Plattformen wählen, um ihre Arbeiten in der Cloud zu erstellen: $65\%$ nutzen Google Workspace und der Rest nutzt Microsoft 365. Es ist bekannt, dass $20\%$ der Google-Nutzer Werkzeuge der künstlichen Intelligenz verwenden, um Entwürfe zu schreiben, während es bei Microsoft $15\%$ sind.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler künstliche Intelligenz für seine Entwürfe nutzt.

Ein Paketdienst nutzt in einer Stadt drei Routen zur Paketzustellung: Route Nord ($50\%$), Route Süd ($30\%$) und Route Mitte ($20\%$). Verspätungen bei der Zustellung treten auf der Route Nord in $2\%$ der Fälle auf, auf der Route Süd in $4\%$ und auf der Route Mitte in $10\%$.

Bestimmen Sie den Gesamtanteil der Pakete, die in dieser Stadt verspätet zugestellt werden.

In einem Leistungszentrum für E-Sport trainieren die Spieler auf drei verschiedenen Plattformen: PC, Konsole und mobile Geräte. $50\ \%$ der Spieler nutzen den PC, $30\ \%$ die Konsole und der Rest mobile Geräte. Es wurde beobachtet, dass die Leistung durch visuelle Ermüdung bei $8\ \%$ der PC-Spieler, bei $5\ \%$ der Konsolenspieler und bei $12\ \%$ der Spieler mit mobilen Geräten abnimmt.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Spieler visuelle Ermüdung zeigt.

1. b) Wir wählen einen Spieler aus und sehen, dass er unter visueller Ermüdung leidet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er üblicherweise mit einem mobilen Gerät trainiert?

Eine Supermarktkette verkauft Joghurt von zwei verschiedenen Lieferanten. $40\%$ der Joghurts stammen von Lieferant A und $60\%$ von Lieferant B. Die Qualitätskontrolle zeigt, dass $5\%$ der Joghurts von Lieferant A Verpackungsfehler aufweisen, während dieser Fehler bei Lieferant B nur in $2\%$ der Fälle auftritt.

Wir kaufen einen Joghurt und stellen fest, dass er einen Verpackungsfehler hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von Lieferant A stammt?

Bei einem eSports-Turnier erreicht ein Spieler das Finale. Er kann zwischen zwei Strategien wählen: offensiv (wählt er in $70\%$ der Fälle) oder defensiv ($30\%$). Spielt er offensiv, gewinnt er die Partie mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,6$, spielt er defensiv, beträgt seine Siegwahrscheinlichkeit $0,4$.

Der Spieler hat die Partie gewonnen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er die defensive Strategie verwendet hat.

Ein Musik-Streaming-Dienst teilt seine Nutzer in drei Kategorien ein: „Free" (mit Werbung), „Premium" und „Family". $60\ \%$ sind Free-Nutzer, $30\ \%$ Premium-Nutzer und $10\ \%$ Family-Nutzer. Es ist bekannt, dass $80\ \%$ der Free-Nutzer mehr als 2 Stunden täglich hören, während dieser Anteil bei den Premium-Nutzern $90\ \%$ und bei den Family-Nutzern $95\ \%$ beträgt.

1. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Nutzer höchstens 2 Stunden täglich Musik hört?

1. b) Wir wählen einen Nutzer aus, der mehr als 2 Stunden täglich Musik hört. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zum Tarif „Premium" gehört?

Ein Autohaus für Elektroautos verkauft drei Modelle: Kompaktwagen ($40\,\%$), Limousine ($35\,\%$) und SUV ($25\,\%$). Man hat beobachtet, dass im ersten Monat ein Software-Update nötig ist: bei $3\,\%$ der Kompaktwagen, bei $2\,\%$ der Limousinen und bei $5\,\%$ der SUV. Die Abbildung zeigt das Baumdiagramm der Situation.

Ein Kunde ruft an, weil sein Auto im ersten Monat ein Software-Update benötigt hat. Welches Modell hat er mit der größten Wahrscheinlichkeit gekauft? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Ein IT-Sicherheitsunternehmen analysiert den E-Mail-Verkehr eines Technologie-Start-ups. $70\ \%$ der eingehenden E-Mails sind intern, $20\ \%$ stammen von bekannten Kunden und die restlichen $10\ \%$ sind externe E-Mails unbekannter Herkunft. Der Sicherheitsfilter markiert $1\ \%$ der internen E-Mails, $4\ \%$ der Kunden-E-Mails und $25\ \%$ der unbekannten E-Mails als „verdächtig".

1. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte E-Mail vom System als verdächtig markiert wird.

1. b) Wenn ein Mitarbeiter eine Benachrichtigung über eine verdächtige E-Mail erhält, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die E-Mail tatsächlich unbekannter Herkunft ist?

Ein IT-Sicherheitsunternehmen setzt drei Systeme mit künstlicher Intelligenz ($S_1$, $S_2$ und $S_3$) ein, um unberechtigte Zugriffsversuche in einem Firmennetzwerk zu erkennen. Das System $S_1$ bearbeitet $45 \%$ der Warnmeldungen, das System $S_2$ $35 \%$ und das System $S_3$ den Rest.

Aus früheren Prüfungen ist bekannt, dass unter den von den einzelnen Systemen ausgegebenen Warnmeldungen $2 \%$ der Meldungen von $S_1$, $5 \%$ der Meldungen von $S_2$ und $8 \%$ der Meldungen von $S_3$ Fehlalarme sind (ein legitimer Zugriff wird als Angriff gemeldet). Die übrigen Meldungen jedes Systems entsprechen echten Angriffen. Außerdem beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein System einen echten Angriff übersieht (falsch negativ), in allen Fällen $1 \%$; diese Angabe benötigen Sie für diese Aufgabe nicht.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt erscheint im Kontrollpanel eine Warnmeldung, die einen Angriff anzeigt.

1. a) Stellen Sie die Situation in einem Baumdiagramm dar und tragen Sie die Wahrscheinlichkeiten an allen Pfaden ein.

1. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgegebene Warnmeldung tatsächlich ein Fehlalarm ist.

1. c) Es wird bestätigt, dass die Warnmeldung ein Fehlalarm war. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie vom System $S_3$ erzeugt wurde?

Eine automatisierte Montagelinie produziert Renndrohnen. Die Fabrik verwendet zwei Motortypen: den Motor Alpha, der in $60 \%$ der Drohnen eingebaut wird, und den Motor Beta, der in die übrigen eingebaut wird. Aufgrund der hohen erforderlichen Präzision weisen einige Motoren Kalibrierfehler auf.

Es ist bekannt, dass $5 \%$ der Motoren Alpha defekt sind. Nach einem Qualitätstest am Ende der Linie zeigt sich, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Drohne mit defektem Motor zu finden, insgesamt $4,4 \%$ beträgt.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Motor defekt ist, wenn bekannt ist, dass er vom Typ Beta ist.
2. b) Es wird zufällig eine Drohne ausgewählt, und der Qualitätstest zeigt, dass der Motor einwandfrei funktioniert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Drohne einen Motor Alpha hat?

Es wird eine Studie über eine neue Fitness-App durchgeführt. Man schätzt, dass $1\%$ der Jugendlichen einer Stadt sie nutzen. Die App hat eine „Tageschallenge“, die in $95\%$ der Fälle erfolgreich abgeschlossen wird, wenn der Nutzer regelmäßig dabei bleibt. Ist er nicht regelmäßig dabei ($99\%$ der Bevölkerung nutzen die App nicht), beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine ähnliche Challenge zufällig zu schaffen, nur $0,05$.

Wir wählen zufällig eine jugendliche Person aus und sehen, dass sie die Challenge erfolgreich abgeschlossen hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie ein regelmäßiger Nutzer der App ist?

Ein Pharmalabor entwickelt einen Schnelltest zum Nachweis eines Vitaminmangels, der $5\ \%$ der jungen Bevölkerung betrifft. Klinische Studien zeigen, dass der Test bei $96\ \%$ der Personen, die den Mangel tatsächlich haben, positiv ausfällt. Er liefert jedoch auch bei $2\ \%$ der gesunden Personen ein „falsch positives" Ergebnis.

1. a) Wie viel Prozent der Gesamtbevölkerung werden im Test positiv ausfallen?

1. b) Wenn ein Jugendlicher den Test macht und das Ergebnis positiv ist, wie groß ist die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, dass er an diesem Vitaminmangel leidet? Kommentieren Sie, ob Ihnen das Ergebnis im Verhältnis zur Zuverlässigkeit des Tests hoch oder niedrig erscheint.

In einem Leistungszentrum für Sport werden die Athleten auf Doping kontrolliert. $1 \%$ der Athleten nehmen eine verbotene Substanz ein. Der verwendete Test hat eine Zuverlässigkeit von $98 \%$ (Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis, wenn die Substanz eingenommen wurde). Der Test liefert jedoch auch $3 \%$ „falsch Positive" (positives Ergebnis bei Athleten, die nichts eingenommen haben).

1. a) Wenn ein Athlet bei der Kontrolle positiv getestet wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Substanz tatsächlich eingenommen hat?
2. b) Das Komitee beschließt, bei demselben Athleten einen zweiten, unabhängigen Test durchzuführen, falls der erste positiv ausfällt. Wenn auch dieser zweite Test (mit derselben Zuverlässigkeit) positiv ausfällt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass der Athlet schuldig ist? Begründen Sie, ob das Vertrauen in das Urteil deutlich gestiegen ist.