Zufallsexperimente

Ordnen Sie die folgenden Experimente als deterministisch oder zufällig ein und begründen Sie Ihre Antwort jeweils kurz:

1. a) Ein Smartphone aus einem Meter Höhe fallen lassen und beobachten, ob es zu Boden fällt.
2. b) Eine Playlist im Zufallsmodus öffnen und notieren, welches Lied zuerst gespielt wird.
3. c) Die Zeit berechnen, die ein Auto für $200$ km braucht, wenn es mit einer konstanten Geschwindigkeit von $100$ km/h fährt.
4. d) Die erste Person, die man auf der Straße sieht, fragen, in welchem Monat sie geboren wurde.
5. e) Eine Karte aus einem spanischen Kartenspiel mit $40$ Karten ziehen und ihre Farbe beobachten.

Wir ziehen eine Kugel aus einer Urne, die $5$ Kugeln enthält, die von $1$ bis $5$ nummeriert sind. Geben Sie an, ob die folgenden Ereignisse möglich, sicher oder unmöglich sind:

1. a) $A = \text{"eine Zahl größer als 0 erhalten"}$.
2. b) $B = \text{"die Zahl 7 erhalten"}$.
3. c) $C = \text{"eine gerade Zahl erhalten"}$.
4. d) $D = \text{"eine Zahl kleiner oder gleich 5 erhalten"}$.
5. e) $F = \text{"eine negative Zahl erhalten"}$.

Ein Schüler hat in seinem Federmäppchen drei Kugelschreiber in verschiedenen Farben: Blau (A), Schwarz (N) und Rot (R). Er zieht nacheinander zwei Kugelschreiber, ohne den ersten zurückzulegen.

1. a) Geben Sie die Ergebnismenge $E$ dieses Experiments an.
2. b) Geben Sie an, wie viele Elementarereignisse diese Ergebnismenge enthält.
3. c) Definieren Sie das zusammengesetzte Ereignis $S = \text{"den blauen Kugelschreiber an beliebiger Position ziehen"}$.

Wir betrachten das Zufallsexperiment, einen Tetraederwürfel (4 Seiten) mit den Seiten von $1$ bis $4$ und eine $1$-Euro-Münze zu werfen. Wir notieren die Zahl der unteren Seite des Würfels und ob die Münze Kopf $(C)$ oder Zahl $(X)$ zeigt.

1. a) Stellen Sie mithilfe eines Baumdiagramms alle möglichen Ergebnisse dar.
2. b) Geben Sie die Ergebnismenge $E$ an.
3. c) Bestimmen Sie die Elemente des Ereignisses $A = \text{"eine gerade Zahl beim Würfel und Kopf bei der Münze erhalten"}$.

In einem Kurs der Qualifikationsphase werden die Abonnements bei Streamingplattformen untersucht. Wir bezeichnen mit $A$ das Ereignis „Abonnent bei Netflix sein“ und mit $B$ das Ereignis „Abonnent bei Spotify sein“. Geben Sie mit Worten die Bedeutung der folgenden Ereignisse an, die sich aus Mengenoperationen ergeben:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (oder Gegenereignis von $A$)
4. d) $A - B$
5. e) $\bar{A} \cap \bar{B}$

Betrachten Sie das folgende Venn-Diagramm, das die Verteilung der Schüler darstellt, die in einer städtischen Sporthalle Basketball ($B$) und Fußball ($F$) spielen.

Definieren Sie anhand der Grafik die folgenden Bereiche mithilfe von Ereignisoperationen:

1. a) Schüler, die beide Sportarten betreiben.
2. b) Schüler, die Basketball, aber nicht Fußball spielen.
3. c) Schüler, die mindestens eine der beiden Sportarten betreiben.
4. d) Schüler, die keine der beiden genannten Sportarten betreiben.

Bei einem Zufallsexperiment besteht die Ergebnismenge aus einer Menge positiver ganzer Zahlen $E = \{1, 2, 3, \dots, n\}$. Es werden drei Ereignisse $A$, $B$ und $C$ definiert, über die folgende Informationen bekannt sind:\n1. $A \cap B = \{4, 6\}$\n2. $A - B = \{2, 8\}$\n3. $B - A = \{1, 3, 5\}$\n4. $C$ ist ein mit $A$ unvereinbares Ereignis ($A \cap C = \emptyset$), aber mit $B$ vereinbar, wobei $B \cap C = \{3\}$ gilt.\n5. $\overline{A \cup B \cup C} = \{7, 9, 10\}$\n6. Die Anzahl der Elementarereignisse, die $C$ bilden, ist gleich $3$.\na) Rekonstruieren Sie begründet die Mengen, die die Ereignisse $A$, $B$, $C$ und die vollständige Ergebnismenge $E$ definieren, und bestimmen Sie den Wert der Mächtigkeit $n$.\nb) Drücken Sie das Ereignis „Es tritt genau eines der drei Ereignisse ($A$, $B$ oder $C$) ein“ durch formale Mengenoperationen (Vereinigungen, Durchschnitte oder Komplemente) aus und geben Sie seine Elemente explizit an.

Bei einem neuen strategischen Brettspiel muss ein Spieler einen Tetraederwürfel (Seiten von $1$ bis $4$ nummeriert) werfen und gleichzeitig eine Karte aus einem verkleinerten Stapel ziehen, der nur die vier Asse und die vier Könige eines spanischen Kartenspiels enthält.

Betrachten Sie das Zufallsexperiment, die Zahl des Würfels und den Wert der Karte (Ass oder König) zu notieren:

1. a) Beschreiben Sie die Ergebnismenge $E$ des Experiments.
2. b) Gegeben seien die Ereignisse:

$A$ = „Eine gerade Zahl auf dem Würfel erhalten“.

$B$ = „Ein Ass beliebiger Farbe erhalten“.

$C$ = „Eine Zahl kleiner als $3$ auf dem Würfel erhalten und die Karte ist ein König“.

Bestimmen Sie die Elemente der Ereignisse $A \cup B$, $A \cap B$ und $B \cap C$.

Ein Team von Datenanalysten einer E-Commerce-Plattform mit Sitz in Deutschland ordnet jede Reklamation nach zwei Faktoren ein: dem Eingangskanal (Telefon, Web, mobile App) und der zugewiesenen bearbeitenden Abteilung (Logistik, Abrechnung, Garantie, Kundenservice). Das Zufallsexperiment besteht darin, beide Faktoren für die nächste eingehende Reklamation zu erfassen.\na) Schätzen Sie intuitiv, ohne die detaillierte Liste der Fälle aufzuschreiben, wie viele Elementarergebnisse die Ergebnismenge $E$ enthält und wie viele verschiedene Ereignisse insgesamt (Teilmengen von $E$) bei diesem Experiment theoretisch definiert werden können. Überprüfen Sie Ihre Schätzungen, indem Sie die Mächtigkeit von $E$ mit dem Multiplikationsprinzip und die Mächtigkeit der Potenzmenge $\mathcal{P}(E)$ berechnen. Kommentieren Sie, ob die Größenordnung der Gesamtzahl der Ereignisse Ihrer anfänglichen Intuition entspricht.\nb) Es werden die Ereignisse $A$: „Die Reklamation geht nicht über die mobile App ein“ und $B$: „Die Reklamation wird der Logistik oder der Abrechnung zugewiesen“ definiert. Beschreiben Sie die verbale Bedeutung des Ereignisses $\overline{A \cup B}$ präzise, formen Sie es mithilfe der De Morganschen Gesetze um und bestimmen Sie, wie viele Elementarereignisse es enthält.\nc) Begründen Sie analytisch, ob die Ereignisse $A$ und $\overline{B}$ vereinbar oder unvereinbar sind.

In einer Entwicklungsumgebung für mobile Apps testet ein Programmierer die Sicherheit eines Zugangssystems. Es wird ein Zufallsexperiment definiert, bei dem ein zufälliger vierstelliger Code erzeugt wird, der ausschließlich die Ziffern $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ verwendet. Es werden folgende Ereignisse betrachtet:

• $A$: „Der Code enthält mindestens zwei aufeinanderfolgende gleiche Ziffern“.

• $B$: „Die Quersumme des Codes ist eine Primzahl größer als 15“.

• $C$: „Der Code ist ein Palindrom (er liest sich von links nach rechts genauso wie von rechts nach links)“.

Beschreiben Sie die Ergebnismenge $E$ ausführlich unter Angabe ihrer Mächtigkeit und drücken Sie mithilfe der Mengenalgebra für Ereignisse die folgenden Ereignisse symbolisch aus:

1. a) Der Code ist kein Palindrom oder die Quersumme seiner Ziffern ist keine Primzahl größer als 15.

1. b) Der Code ist ein Palindrom und enthält mindestens zwei aufeinanderfolgende gleiche Ziffern, aber die Quersumme seiner Ziffern ist keine Primzahl größer als 15.

1. c) Zeigen Sie, ob die Ereignisse $A$ und $C$ vereinbar oder unvereinbar sind, und begründen Sie Ihre Antwort anhand eines Beispiels für ein Element der Ergebnismenge.

Wir betrachten das Zufallsexperiment, einen Oktaederwürfel (Seiten von $1$ bis $8$) und einen gewöhnlichen Würfel (Seiten von $1$ bis $6$) zu werfen. Wir definieren die folgenden Ereignisse:

$A$ = „Die Augensumme ist eine Primzahl“.

$B$ = „Das Produkt der Augenzahlen ist ein Vielfaches von $10$“.

1. a) Sind $A$ und $B$ vereinbare oder unvereinbare Ereignisse? Begründen Sie Ihre Antwort und geben Sie, falls vorhanden, mindestens ein Element des Durchschnitts an.
2. b) Berechnen Sie die Anzahl der Elemente des Gegenereignisses von $B$.

Sei $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments. Bestimmen Sie für die gegebenen Ereignisse $A = \{1, 3, 5, 7\}$ und $B = \{2, 3, 5, 8\}$ die folgenden Mengen:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $A \cap \bar{B}$
4. d) Prüfen Sie, ob das erste De Morgansche Gesetz gilt: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$.

Seien $A, B$ und $C$ drei beliebige Ereignisse eines Zufallsexperiments. Beweisen Sie formal unter Verwendung der Rechenregeln der Ereignisalgebra (Distributivgesetz, Komplementarität usw.) die folgende Identität:

Erklären Sie, wie diese Operation in der Mengenlehre heißt, und stellen Sie das resultierende Ereignis in einem schraffierten Venn-Diagramm dar.

Ein Kommunikationssatellit sendet Datenbursts, die aus Binärfolgen der Länge $n=3$ bestehen. Aufgrund kosmischen Rauschens wird jedes Bit mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit verändert. Wir definieren die Ergebnismenge $E$ als die Menge aller möglichen binären Tripel. Seien die Ereignisse:

• $A = \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$

• $B = \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)\}$

Vereinfachen Sie mithilfe der De Morganschen Gesetze den Term des Ereignisses $S = \overline{(\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})}$ so weit wie möglich. Beschreiben Sie nach der Vereinfachung in Worten, welche gemeinsame Eigenschaft die Folgen, die dieses Ereignis $S$ bilden, hinsichtlich der Anzahl der „Einsen“ im Burst haben.