Analysis ohne Hilfsmittel
Im Prüfungsteil A des Zentralabiturs liegen weder Taschenrechner noch Formelsammlung auf dem Tisch. In der Analysis erwartet Sie meist eine Aufgabe mit zwei bis drei Teilaufgaben, zum Beispiel: „Zeigen Sie, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x=-1$ eine waagerechte Tangente besitzt." Das lässt sich mit wenigen sauberen Rechenschritten lösen, wenn man die Routinen sicher beherrscht. Hier trainieren Sie genau diese Routinen. Am Ende steht die Frage, woran man in Teil A erkennt, welcher Weg zum Ziel führt.
Was Teil A verlangt
Teil A ist hilfsmittelfrei. Die Rechnungen sind so gewählt, dass Zahlen glatt aufgehen und Ableitungen kurz bleiben. Dafür wird oft begründet, nicht nur gerechnet. Die Operatoren sagen Ihnen, was erwartet wird:
| Operator | Bedeutung |
|---|---|
| bestimmen, berechnen | Ergebnis mit nachvollziehbarem Rechenweg angeben |
| zeigen, nachweisen | Behauptung durch eine Rechnung oder Argumentation herleiten; das Ergebnis steht schon in der Aufgabe |
| begründen | mit einer Regel, einem Satz oder einer Eigenschaft argumentieren |
| untersuchen | Eigenschaften systematisch prüfen und Ergebnisse festhalten |
Bei „Zeigen Sie, dass …" gilt: Das Ergebnis dürfen Sie nicht einfach hinschreiben. Der Weg dorthin muss zu sehen sein.
Der Werkzeugkasten für Analysis in Teil A ist überschaubar:
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Ableitungsregeln: Potenz-, Faktor-, Summen-, Produktregel und die Kettenregel für $\mathrm{e}^{ax+b}$
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Satz vom Nullprodukt und $\mathrm{e}^{x}>0$ für alle $x$
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Bedingungen für Nullstellen, waagerechte Tangenten, Extrem- und Wendepunkte
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Grenzverhalten, Asymptoten und Monotonie
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Stammfunktion überprüfen und Integral berechnen
Ableiten ohne Hilfsmittel
Die Grundregeln:
Die Regel für $\mathrm{e}^{ax+b}$ merkt man sich so: Die e-Funktion bleibt unverändert, der Faktor vor dem $x$ im Exponenten (die Ableitung der inneren Funktion) kommt als Faktor davor.
Bei Produkten mit e-Funktionen ist Ausklammern der entscheidende Schritt. Es sieht nicht nur ordentlicher aus. Weil $\mathrm{e}^{x}>0$ für alle $x$ gilt, ist das Vorzeichen von $f'$ dann allein durch die Klammer bestimmt, und ein Nullprodukt liefert sofort die Nullstellen der Ableitung.
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x\cdot \mathrm{e}^{x}$. a) Bilden Sie die erste Ableitung von $f$ und geben Sie diese in der Form…
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x\cdot \mathrm{e}^{x}$.
- a) Bilden Sie die erste Ableitung von $f$ und geben Sie diese in der Form $f'(x)=\mathrm{e}^{x}\cdot(\dots)$ an.
- b) Zeigen Sie, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x=-1$ eine waagerechte Tangente besitzt.
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit $g(x)=\mathrm{e}^{2x-4}$. a) Bestimmen Sie $g'(x)$. b) Zeigen Sie, dass der Graph von $g$ die Gerade $y=1$ an…
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $g$ mit $g(x)=\mathrm{e}^{2x-4}$.
- a) Bestimmen Sie $g'(x)$.
- b) Zeigen Sie, dass der Graph von $g$ die Gerade $y=1$ an der Stelle $x=2$ schneidet, und geben Sie die Steigung des Graphen von $g$ an dieser Stelle an.
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=(x^2-3)\cdot \mathrm{e}^{x}$. a) Zeigen Sie, dass $f'(x)=(x^2+2x-3)\cdot \mathrm{e}^{x}$ gilt. b)…
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=(x^2-3)\cdot \mathrm{e}^{x}$.
- a) Zeigen Sie, dass $f'(x)=(x^2+2x-3)\cdot \mathrm{e}^{x}$ gilt.
- b) Bestimmen Sie die Stellen, an denen der Graph von $f$ eine waagerechte Tangente besitzt.
Nullstellen, Steigung, Wendepunkt und Tangente
Bei ganzrationalen Funktionen laufen die Standardaufgaben immer nach dem gleichen Muster:
| Gesucht | Ansatz |
|---|---|
| Nullstellen | $f(x)=0$, ausklammern oder Satz vom Nullprodukt |
| Steigung an der Stelle $x_0$ | $f'(x_0)$ berechnen |
| Wendepunkt | $f''(x)=0$ und $f'''(x)\neq0$ (oder Vorzeichenwechsel von $f''$), dann $y=f(x_W)$ |
| Tangente in $P(x_0\,|\,f(x_0))$ | $y=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)$ |
Die Tangentengleichung folgt aus der Punkt-Steigungs-Form: Die Tangente geht durch den Punkt $(x_0\,|\,f(x_0))$ und hat die Steigung $f'(x_0)$.
Im Graphen sehen Sie: Im Wendepunkt wechselt die Krümmung, die Tangente schneidet den Graphen dort.
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-4x$. a) Bestimmen Sie die Nullstellen von $f$. b) Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von $f$ an…
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-4x$.
- a) Bestimmen Sie die Nullstellen von $f$.
- b) Bestimmen Sie die Steigung des Graphen von $f$ an der Stelle $x=1$.
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x^2$. a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $f$. b) Bestimmen Sie eine…
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=x^3-3x^2$.
- a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen von $f$.
- b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $f$ im Wendepunkt.
Grenzverhalten, Asymptote und Monotonie
Bei e-Funktionen nutzt man zwei Grundtatsachen:
Daraus lassen sich Grenzwerte und waagerechte Asymptoten ablesen. Bei $f(x)=2-\mathrm{e}^{-x}$ verschwindet der e-Term für $x\to\infty$, es bleibt der Wert 2.
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=2-\mathrm{e}^{-x}$. a) Untersuchen Sie das Verhalten von $f$ für $x\to\infty$ und für $x\to-\infty$.…
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=2-\mathrm{e}^{-x}$.
- a) Untersuchen Sie das Verhalten von $f$ für $x\to\infty$ und für $x\to-\infty$. Geben Sie eine Gleichung der waagerechten Asymptote des Graphen von $f$ an.
- b) Begründen Sie, dass $f$ streng monoton wachsend ist.
Parameter bestimmen und Extrempunkte begründen
Manche Funktionen enthalten einen Parameter, zum Beispiel $f(x)=(x+a)\cdot\mathrm{e}^{-x}$. Eine Bedingung aus der Aufgabe („waagerechte Tangente bei $x=2$") liefert dann eine Gleichung für $a$. Der Ablauf: ableiten, Bedingung einsetzen, nach dem Parameter auflösen. Danach prüft man, ob die Eigenschaft wirklich vorliegt.
Für einen Hochpunkt reicht $f'(x_0)=0$ nicht aus. Sie brauchen zusätzlich einen Vorzeichenwechsel von $f'$ von $+$ nach $-$ (oder $f''(x0)<0$).
Auch Parameter im Exponenten kommen vor. Bei $f(x)=a\cdot\mathrm{e}^{kx}$ gilt allgemein $f'(x)=a\cdot k\cdot\mathrm{e}^{kx}=k\cdot f(x)$. Die Ableitung ist also ein festes Vielfaches der Funktion selbst. Damit gelingen zwei Begründungen:
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Parameter aus Bedingungen: Aus $f(0)=a=3$ und $f'(0)=k\cdot f(0)=3k=6$ folgt $a=3$ und $k=2$.
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Keine Extrempunkte: Eine Extremstelle bräuchte $f'(x)=0$, also $a\cdot k\cdot\mathrm{e}^{kx}=0$. Wegen $\mathrm{e}^{kx}>0$, $a\neq0$ und $k\neq0$ ist die linke Seite nie null. Damit gibt es keine Extrempunkte.
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=(x+a)\cdot \mathrm{e}^{-x}$ mit einer reellen Zahl $a$. a) Bestimmen Sie $a$ so, dass der Graph von $f$…
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=(x+a)\cdot \mathrm{e}^{-x}$ mit einer reellen Zahl $a$.
- a) Bestimmen Sie $a$ so, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x=2$ eine waagerechte Tangente besitzt.
- b) Es sei nun $a=-1$. Begründen Sie mithilfe des Vorzeichens von $f'$, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x=2$ einen Hochpunkt besitzt, und geben Sie dessen $y$-Koordinate an.
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=a\cdot \mathrm{e}^{kx}$ mit reellen Zahlen $a\neq 0$ und $k$. Es gilt $f(0)=3$ und $f'(0)=6$. a)…
Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x)=a\cdot \mathrm{e}^{kx}$ mit reellen Zahlen $a\neq 0$ und $k$. Es gilt $f(0)=3$ und $f'(0)=6$.
- a) Bestimmen Sie $a$ und $k$.
- b) Begründen Sie, dass für jede Funktion der Form $f(x)=a\cdot \mathrm{e}^{kx}$ die Beziehung $f'(x)=k\cdot f(x)$ gilt.
- c) Begründen Sie, dass der Graph einer Funktion der Form $f(x)=a\cdot \mathrm{e}^{kx}$ mit $a\neq 0$ und $k\neq 0$ keine Extrempunkte besitzt.
Stammfunktion überprüfen und Integral berechnen
In Teil A wird oft eine Stammfunktion vorgegeben, die man nicht herleiten muss. Man zeigt nur: $F'=f$. Das ist reines Ableiten.
Manchmal soll man ein Vorzeichen ohne Rechnung begründen. Ein Integral ist ein Flächenbilanz-Wert: Liegt der Graph im Intervall unterhalb der $x$-Achse, ist das Integral negativ. Für $f(x)=x\cdot\mathrm{e}^{-x}$ gilt auf $[-1;0[$: $x<0$ und $\mathrm{e}^{-x}>0$, also $f(x)<0$. Daher ist $\int_{-1}^{0}f(x)\,\mathrm{d}x<0$.
Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F$ mit $f(x)=x\cdot \mathrm{e}^{-x}$ und $F(x)=-(x+1)\cdot \mathrm{e}^{-x}$. a) Zeigen Sie, dass $F$…
Gegeben sind die in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f$ und $F$ mit $f(x)=x\cdot \mathrm{e}^{-x}$ und $F(x)=-(x+1)\cdot \mathrm{e}^{-x}$.
- a) Zeigen Sie, dass $F$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
- b) Berechnen Sie den Wert des Integrals $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,\mathrm{d}x$.
- c) Geben Sie ohne weitere Rechnung begründet das Vorzeichen von $\displaystyle\int_{-1}^{0} f(x)\,\mathrm{d}x$ an.
Zurück zum Anfang: Die waagerechte Tangente bei $x=-1$ für $f(x)=x\cdot\mathrm{e}^{x}$ zeigen Sie in drei Schritten. Sie bilden $f'(x)=\mathrm{e}^{x}\cdot(x+1)$, setzen $x=-1$ ein und erhalten $f'(-1)=\mathrm{e}^{-1}\cdot0=0$. Wer die Produktregel sicher beherrscht und ausklammert, braucht für diese Teilaufgabe nur wenige Zeilen.
Auf einen Blick
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Teil A ist hilfsmittelfrei. Beachten Sie die Operatoren: „zeigen" heißt, den Rechenweg zum vorgegebenen Ergebnis aufschreiben, „begründen" heißt mit Regel oder Satz argumentieren.
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Ableiten: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$; $(\mathrm{e}^{x})'=\mathrm{e}^{x}$; $\left(\mathrm{e}^{ax+b}\right)'=a\cdot\mathrm{e}^{ax+b}$; Produktregel $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$. Danach $\mathrm{e}^{x}$ ausklammern.
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Nullprodukt: Wegen $\mathrm{e}^{x}>0$ entscheidet nur der andere Faktor über Nullstellen und Vorzeichen von $f'$.
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Wendepunkt: $f''(x)=0$ mit $f'''(x)\neq0$, dann $y=f(x_W)$. Tangente: $y=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)$.
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Grenzverhalten: $\mathrm{e}^{x}\to0$ für $x\to-\infty$ und $\mathrm{e}^{-x}\to0$ für $x\to\infty$ liefern waagerechte Asymptoten. $f'>0$ überall bedeutet streng monoton wachsend.
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Extrempunkte: $f'(x_0)=0$ plus Vorzeichenwechsel von $f'$ ($+\to-$ Hochpunkt, $-\to+$ Tiefpunkt). Parameter: Bedingung einsetzen, nach dem Parameter auflösen. Bei $f(x)=a\cdot\mathrm{e}^{kx}$ gilt $f'=k\cdot f$.
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Stammfunktion: $F'=f$ nachrechnen; $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$.