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Q2 Grundkurs · Mathematik (Grundkurs)
Wachstumsmodelle, e-Funktionen und Binomialverteilung im Abitur · Begrenztes Wachstum und Funktionsuntersuchung

Funktionsuntersuchung von e-Funktionen

Ein Hustensaft wird eingenommen, die Wirkstoffkonzentration im Blut steigt zunächst an und sinkt dann wieder. Wann ist sie am höchsten? Wann nimmt sie am schnellsten ab? Wird sie jemals null? Solche Fragen beantwortet man mit einer Funktionsuntersuchung. Hier lernst du, sie für e-Funktionen und für Produkte mit $e^x$ durchzuführen. Am Ende der Seite beantworten wir die Frage zum Medikament.

Verhalten, Asymptoten und Nullstellen

Die natürliche Exponentialfunktion $f(x)=e^x$ hat den Definitionsbereich $\mathbb{D}=\mathbb{R}$ und den Wertebereich $\mathbb{W}=]0;\infty[$. Es gilt:

Verschiebung, Streckung und Spiegelung verändern das Verhalten in nachvollziehbarer Weise. Bei $f(x)=e^x-2$ wird der Graph um 2 nach unten verschoben. Die Asymptote verschiebt sich mit, es ist $y=-2$.

Graph von f(x) = eˣ − 2 mit waagerechter Asymptote y = −2 und der Nullstelle bei ln 2 N(ln 2 | 0) Asymptote y = −2 f(x) = eˣ − 2
Üben★☆☆
Gegeben ist $f(x) = e^{x} - 2$. a) Bestimmen Sie das Verhalten von $f$ für $x \to -\infty$ und $x \to \infty$. b) Geben Sie die Gleichung der waagerechten Asymptote an.…

Gegeben ist $f(x) = e^{x} - 2$.

  1. a) Bestimmen Sie das Verhalten von $f$ für $x \to -\infty$ und $x \to \infty$.
  2. b) Geben Sie die Gleichung der waagerechten Asymptote an.
  3. c) Berechnen Sie die Nullstelle von $f$.
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Ableiten und Extrempunkte

Für Produkte mit $e^x$ brauchen wir die Produktregel $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$. Weil $(e^x)'=e^x$ gilt, taucht der Faktor $e^x$ in der Ableitung immer wieder auf. Deshalb klammern wir ihn aus:

$$f(x)=x\cdot e^x\ \Rightarrow\ f'(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x=(1+x)\cdot e^x$$

Das Ausklammern lohnt sich, denn so kann man den Satz vom Nullprodukt anwenden. Da $e^x>0$ ist, kann nur der andere Faktor null werden.

Für $e^{-x}$ gilt $(e^{-x})'=-e^{-x}$, allgemein $(e^{ax+b})'=a\cdot e^{ax+b}$. Die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $P(x_0|f(x_0))$ hat die Gleichung $y=f'(x_0)\cdot(x-x_0)+f(x_0)$. Die Ableitung $f'(x_0)$ ist die Steigung. Der y-Achsenabschnitt ergibt sich aus $y=f'(x_0)\cdot(0-x_0)+f(x_0)$.

Üben★☆☆
Gegeben ist $f(x) = x \cdot e^{x}$. a) Bestimmen Sie $f'(x)$ mit der Produktregel. b) Bestimmen Sie die Stelle, an der $f'(x) = 0$ gilt.

Gegeben ist $f(x) = x \cdot e^{x}$.

  1. a) Bestimmen Sie $f'(x)$ mit der Produktregel.
  2. b) Bestimmen Sie die Stelle, an der $f'(x) = 0$ gilt.
Lösen
Üben★☆☆
Gegeben ist $f(x) = e^{-x^2}$. a) Zeigen Sie, dass $f$ achsensymmetrisch zur y-Achse ist. b) Bestimmen Sie $f'(x)$ und die Stelle des Extrempunkts. c) Entscheiden Sie,…

Gegeben ist $f(x) = e^{-x^2}$.

  1. a) Zeigen Sie, dass $f$ achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
  2. b) Bestimmen Sie $f'(x)$ und die Stelle des Extrempunkts.
  3. c) Entscheiden Sie, ob dort ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.
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Üben★★☆
Gegeben ist $f(x) = (x-1)\cdot e^{x}$. a) Berechnen Sie $f'(x)$ und $f''(x)$. b) Bestimmen Sie Art und Lage des Extrempunkts. c) Bestimmen Sie die Wendestelle. d)…

Gegeben ist $f(x) = (x-1)\cdot e^{x}$.

  1. a) Berechnen Sie $f'(x)$ und $f''(x)$.
  2. b) Bestimmen Sie Art und Lage des Extrempunkts.
  3. c) Bestimmen Sie die Wendestelle.
  4. d) Bestimmen Sie $\lim_{x\to-\infty} f(x)$.
Lösen

Monotonie, Wendepunkte und Grenzwerte

Das Vorzeichen von $f'$ gibt die Monotonie an: $f'>0$ heißt streng monoton wachsend, $f'<0$ streng monoton fallend. Bei $f'(x)=(\text{Polynom})\cdot e^{\dots}$ entscheidet nur das Polynom über das Vorzeichen, weil die e-Funktion immer positiv ist. Eine Wendestelle ist eine Nullstelle von $f''$ mit Vorzeichenwechsel.

Grenzwerte von Produkten: Für $x\to\infty$ strebt $e^x$ schneller gegen unendlich als jede Potenz $x^n$. Entsprechend gilt $x^n\cdot e^{-x}\to0$ für $x\to\infty$. Der Faktor $e^{-x}$ „gewinnt“. Für $x\to-\infty$ gilt dagegen $x\cdot e^x\to0$, weil $e^x$ gegen 0 geht, schneller als $|x|$ wächst.

Graph von f(x) = x² · e^(−x) mit Tiefpunkt im Ursprung, Hochpunkt bei x = 2 und zwei Wendepunkten T(0|0) H(2|0,54) W₁ W₂ y → 0
Üben★★☆
Gegeben ist $f(x) = (x^2 - 3)\cdot e^{-x}$. a) Bestimmen Sie die Nullstellen. b) Berechnen Sie $f'(x)$ und bestimmen Sie die Extremstellen. c) Geben Sie die…

Gegeben ist $f(x) = (x^2 - 3)\cdot e^{-x}$.

  1. a) Bestimmen Sie die Nullstellen.
  2. b) Berechnen Sie $f'(x)$ und bestimmen Sie die Extremstellen.
  3. c) Geben Sie die Monotonieintervalle an.
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Üben★★☆
Gegeben ist $f(x) = 4 - 3\cdot e^{-0,5x}$ für $x \ge 0$. a) Untersuchen Sie $f$ auf Monotonie. b) Geben Sie die Asymptote an. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente…

Gegeben ist $f(x) = 4 - 3\cdot e^{-0,5x}$ für $x \ge 0$.

  1. a) Untersuchen Sie $f$ auf Monotonie.
  2. b) Geben Sie die Asymptote an.
  3. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt $P(0|f(0))$.
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Üben★★★
Gegeben ist $f(x) = x^2\cdot e^{-x}$. a) Untersuchen Sie $f$ auf Extrem- und Wendepunkte (Wendestellen mit Begründung). b) Begründen Sie, dass…

Gegeben ist $f(x) = x^2\cdot e^{-x}$.

  1. a) Untersuchen Sie $f$ auf Extrem- und Wendepunkte (Wendestellen mit Begründung).
  2. b) Begründen Sie, dass $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$ gilt.
  3. c) Skizzieren Sie den Graphen anhand der Ergebnisse (Beschreibung der wesentlichen Merkmale genügt).
  4. d) Zeigen Sie, dass $F(x) = -(x^2 + 2x + 2)\cdot e^{-x}$ eine Stammfunktion von $f$ ist.
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Symmetrie und Brüche mit $e^x$

Achsensymmetrie zur y-Achse liegt vor, wenn $f(-x)=f(x)$ gilt. Bei $f(x)=x^2\cdot e^{-x}+e^{x}\cdot e^{-x}$ wäre das nicht der Fall. Allgemein zeigt man $f(-x)=f(x)$, indem man $-x$ einsetzt und vereinfacht. Bei $f(x)=e^{-x^2}$ ist $f(-x)=e^{-(-x)^2}=e^{-x^2}=f(x)$, weil $x^2$ gerade ist.

Punktsymmetrie zu $P(a|b)$ liegt vor, wenn $f(a-x)+f(a+x)=2b$ gilt. Für $a=0$ und $b=\tfrac12$ heißt das $f(-x)+f(x)=1$.

Bei Brüchen wie $f(x)=\dfrac{e^x}{e^x+1}$ hilft es, Zähler und Nenner mit $e^x$ oder $e^{-x}$ zu erweitern oder zu kürzen.

Üben★★★
Gegeben ist $f(x) = \dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$. a) Zeigen Sie, dass $f'(x) = \dfrac{e^{x}}{(e^{x}+1)^2}$ gilt. b) Begründen Sie, dass $f$ streng monoton wachsend ist. c)…

Gegeben ist $f(x) = \dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$.

  1. a) Zeigen Sie, dass $f'(x) = \dfrac{e^{x}}{(e^{x}+1)^2}$ gilt.
  2. b) Begründen Sie, dass $f$ streng monoton wachsend ist.
  3. c) Bestimmen Sie beide waagerechten Asymptoten.
  4. d) Zeigen Sie, dass der Graph punktsymmetrisch zu $P\left(0\middle|\tfrac12\right)$ ist.
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Funktionen im Sachkontext deuten

In Anwendungsaufgaben steht die Funktion für eine Größe, etwa die Konzentration eines Medikaments. Die Ableitung $f'$ ist dann die momentane Änderungsrate. Eine Wendestelle von $f$ ist eine Extremstelle von $f'$, hier also die Stelle der stärksten Zunahme oder Abnahme.

Vorgehen bei Kontextaufgaben: Größe und Einheiten benennen, mit $f$, $f'$ oder $f''$ rechnen, Ergebnis mit Einheit und im Satz deuten. Auch Modellgrenzen gehören dazu.

Üben★★★
Die Funktion $f(x) = (x+1)\cdot e^{-x}$ beschreibt für $x\ge 0$ die Konzentration eines Medikaments (in mg/l) im Blut nach $x$ Stunden. a) Bestimmen Sie den Zeitpunkt…

Die Funktion $f(x) = (x+1)\cdot e^{-x}$ beschreibt für $x\ge 0$ die Konzentration eines Medikaments (in mg/l) im Blut nach $x$ Stunden.

  1. a) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der größten Abnahmegeschwindigkeit (Wendestelle) und begründen Sie, dass es sich um die stärkste Abnahme handelt.
  2. b) Berechnen Sie die Konzentration zu diesem Zeitpunkt.
  3. c) Beurteilen Sie, ob die Konzentration jemals den Wert $0$ erreicht.
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Los geht's! 9 Aufgaben in diesem Abschnitt
★☆☆ Gegeben ist $f(x) = e^{x} - 2$. a) Bestimmen Sie das Verhalten von $f$ für…★☆☆ Gegeben ist $f(x) = x \cdot e^{x}$. a) Bestimmen Sie $f'(x)$ mit der Produktregel. b)…★☆☆ Gegeben ist $f(x) = e^{-x^2}$. a) Zeigen Sie, dass $f$ achsensymmetrisch zur y-Achse ist.…

Auf einen Blick

  • $e^x>0$ für alle $x$. Bei Produkten mit $e^x$ entscheidet allein der andere Faktor über Nullstellen und Vorzeichen.

  • Asymptoten: $e^{-x}\to0$ für $x\to\infty$, $e^{x}\to0$ für $x\to-\infty$. Verschiebungen verschieben die Asymptote mit.

  • Produktregel $(u\cdot v)'=u'v+uv'$. Für $e^{ax+b}$ gilt $(e^{ax+b})'=a\,e^{ax+b}$. Danach $e^x$ ausklammern.

  • Extrempunkte: $f'=0$ und $f''\neq0$ (oder Vorzeichenwechsel von $f'$). Wendestellen: $f''=0$ mit Vorzeichenwechsel.

  • $x^n\cdot e^{-x}\to0$ für $x\to\infty$, denn $e^x$ wächst schneller als jede Potenz.

  • Symmetrie: $f(-x)=f(x)$ bedeutet Achsensymmetrie zur y-Achse. Punktsymmetrie zu $P(0|b)$ gilt, wenn $f(x)+f(-x)=2b$.

  • Im Sachkontext ist $f'$ die Änderungsrate. Am Wendepunkt ist die Änderungsrate extremal.

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