Parameterbestimmung bei e-Funktionen
Ein Streamingdienst in Berlin hat zu Beginn 2.000 Nutzer, ein halbes Jahr später 3.000. Wann erreicht er 10.000 Nutzer? Das Modell $N(t) = N_0 \cdot e^{kt}$ kennst du, aber $N_0$ und $k$ stehen noch nicht fest. Genau das ist die Aufgabe: Aus Angaben im Kontext bestimmen wir die Parameter. Das Vorgehen ist immer gleich: Jede Bedingung wird zu einer Gleichung, und die Gleichungen werden gelöst.
Bedingungen in Gleichungen übersetzen
Eine Funktion wie $f(x) = a \cdot e^{kx}$ hat Parameter ($a$, $k$), die man erst festlegen muss. Jede Information über den Graphen liefert eine Gleichung. Du brauchst so viele unabhängige Gleichungen, wie es unbekannte Parameter gibt.
Warum funktioniert das? Ein Punkt auf dem Graphen bedeutet, dass die Funktionsgleichung für dieses $x$ den passenden $y$-Wert liefert. Mehr ist es nicht.
Die Funktion $f(x) = a\cdot e^{x}$ verläuft durch den Punkt $P(0|3)$. Bestimmen Sie $a$.
Die Funktion $f(x) = a\cdot e^{x}$ verläuft durch den Punkt $P(0|3)$. Bestimmen Sie $a$.
Die Funktion $f(x) = 2\cdot e^{kx}$ verläuft durch den Punkt $Q(1|2e^{3})$. Bestimmen Sie $k$.
Die Funktion $f(x) = 2\cdot e^{kx}$ verläuft durch den Punkt $Q(1|2e^{3})$. Bestimmen Sie $k$.
Der Graph von $f(x) = a - b\cdot e^{-x}$ schneidet die y-Achse bei $2$ und hat die Asymptote $y = 5$. a) Bestimmen Sie $a$ und $b$. b) Prüfen Sie, ob $f$ eine Nullstelle…
Der Graph von $f(x) = a - b\cdot e^{-x}$ schneidet die y-Achse bei $2$ und hat die Asymptote $y = 5$.
- a) Bestimmen Sie $a$ und $b$.
- b) Prüfen Sie, ob $f$ eine Nullstelle besitzt.
- c) Berechnen Sie gegebenenfalls die Nullstelle von $f$.
Wachstumsmodelle aus zwei Messwerten
Bei $N(t) = N_0\cdot e^{kt}$ liest man $N_0$ direkt am Anfangswert ab. Den Wachstumsparameter $k$ bestimmt man aus einem zweiten Wert. Dabei muss man $e^{kt} = c$ nach $k$ auflösen. Dafür gibt es die Umkehroperation: $e^{z} = c \iff z = \ln c$.
Die Anzahl der Nutzer einer Plattform in Berlin wächst nach $N(t) = N_0\cdot e^{kt}$ ($t$ in Monaten). Zu Beginn sind es 2.000 Nutzer, nach 6 Monaten 3.000. a) Bestimmen…
Die Anzahl der Nutzer einer Plattform in Berlin wächst nach $N(t) = N_0\cdot e^{kt}$ ($t$ in Monaten). Zu Beginn sind es 2.000 Nutzer, nach 6 Monaten 3.000.
- a) Bestimmen Sie $N_0$ und $k$.
- b) Berechnen Sie, wann 10.000 Nutzer erreicht werden.
Parameter und Extremstellen
Manchmal enthält die Funktion einen Parameter, der stehen bleibt, etwa $f_a(x) = e^{x} - ax$ mit $a>0$. Dann rechnest du mit $a$ wie mit einer Zahl und gibst Ergebnisse in Abhängigkeit von $a$ an. Wichtig sind drei Dinge.
Gegeben ist $f_a(x) = e^{x} - a x$ mit $a > 0$. Bestimmen Sie $f_a'(x)$ und die Stelle, an der $f_a'(x)=0$ gilt, in Abhängigkeit von $a$.
Gegeben ist $f_a(x) = e^{x} - a x$ mit $a > 0$. Bestimmen Sie $f_a'(x)$ und die Stelle, an der $f_a'(x)=0$ gilt, in Abhängigkeit von $a$.
Gegeben ist $f_a(x) = x\cdot e^{-ax}$ mit $a>0$. a) Bestimmen Sie die Extremstelle in Abhängigkeit von $a$ und weisen Sie nach, dass es ein Hochpunkt ist. b) Bestimmen…
Gegeben ist $f_a(x) = x\cdot e^{-ax}$ mit $a>0$.
- a) Bestimmen Sie die Extremstelle in Abhängigkeit von $a$ und weisen Sie nach, dass es ein Hochpunkt ist.
- b) Bestimmen Sie $a$, sodass der Hochpunkt bei $x = 2$ liegt.
- c) Berechnen Sie für dieses $a$ die y-Koordinate des Hochpunkts.
Ein Medikament wird im Körper abgebaut. Die Konzentration (in mg/l) nach $t$ Stunden wird beschrieben durch $c(t) = a\cdot t\cdot e^{-bt}$ mit $a,b>0$. Nach 2 Stunden…
Ein Medikament wird im Körper abgebaut. Die Konzentration (in mg/l) nach $t$ Stunden wird beschrieben durch $c(t) = a\cdot t\cdot e^{-bt}$ mit $a,b>0$. Nach 2 Stunden wird das Maximum von $8$ mg/l erreicht.
- a) Bestimmen Sie $b$.
- b) Bestimmen Sie $a$.
- c) Berechnen Sie, wann die Konzentration erstmals unter $1$ mg/l sinkt, nachdem sie das Maximum erreicht hat (Näherung genügt).
Scharen: Ortskurve und Existenz von Nullstellen
Eine Funktion mit Parameter $t$ oder $k$ nennt man Funktionenschar: Für jeden Wert des Parameters erhält man eine andere Funktion. Typische Fragen sind: Wo liegen die Tiefpunkte aller Funktionen der Schar? Für welche Parameter gibt es Nullstellen?
Gegeben ist die Schar $f_t(x) = (x - t)\cdot e^{x}$ mit $t\in\mathbb{R}$. a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $t$ die Extrem- und die Wendestelle. b) Zeigen Sie, dass…
Gegeben ist die Schar $f_t(x) = (x - t)\cdot e^{x}$ mit $t\in\mathbb{R}$.
- a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $t$ die Extrem- und die Wendestelle.
- b) Zeigen Sie, dass alle Tiefpunkte auf einer Kurve liegen, und geben Sie deren Gleichung an.
- c) Bestimmen Sie $t$, sodass der Tiefpunkt auf der x-Achse liegt, oder begründen Sie, dass das nicht möglich ist.
Gegeben ist $f_k(x) = k\cdot e^{x} - x$ mit $k>0$. a) Zeigen Sie, dass $f_k$ genau einen Extrempunkt hat, und bestimmen Sie dessen Koordinaten in Abhängigkeit von $k$.…
Gegeben ist $f_k(x) = k\cdot e^{x} - x$ mit $k>0$.
- a) Zeigen Sie, dass $f_k$ genau einen Extrempunkt hat, und bestimmen Sie dessen Koordinaten in Abhängigkeit von $k$.
- b) Bestimmen Sie die Werte von $k$, für die $f_k$ keine Nullstelle besitzt.
- c) Bestimmen Sie $k$, sodass der Tiefpunkt die y-Koordinate $2$ hat.