Stochastik mit Hilfsmitteln
Im Zentralabitur Mathematik (Grundkurs) gehört zu Prüfungsteil B eine Stochastik-Aufgabe mit 15 BE. Du darfst WTR oder CAS/MMS und die Formelsammlung benutzen. Typisch ist ein Kontext wie eine Fahrscheinkontrolle in Köln, ein Schnelltest oder eine Tombola, mit mehreren Teilaufgaben, die verschiedene Werkzeuge verlangen. Die Frage dieser Seite: Wie erkennst du schnell, welches Werkzeug zu welcher Teilaufgabe passt, und wie rechnest du sicher mit dem WTR?
Das passende Werkzeug erkennen
Fast jede Teilaufgabe lässt sich an Signalwörtern einem Werkzeug zuordnen.
| Signal in der Aufgabe | Werkzeug |
|---|---|
| Anteile in Gruppen, „darunter“, „von diesen“, Prozentangaben zu zwei Merkmalen | Vierfeldertafel |
| Hintereinander ablaufende Vorgänge, „an Regentagen“, „mit Zurücklegen“ | Baumdiagramm, Pfadregeln |
| „Unter der Bedingung, dass …“, „die Person ist positiv getestet“ | bedingte Wahrscheinlichkeit $P_B(A)$ |
| Gewinn, Auszahlung, Anzahl, Erwartungswert, „fair“ | Zufallsgröße, Erwartungswert, Varianz |
| $n$ unabhängige Versuche, gleiche Trefferwahrscheinlichkeit, „wie viele von …“ | Binomialverteilung |
| „mindestens“, „höchstens“, „genau“, „zwischen“ | Einzelwahrscheinlichkeit oder kumulierte Wahrscheinlichkeit |
| „Wie viele müssen mindestens …, damit …“ | Ungleichung für $n$ |
Vierfeldertafel und bedingte Wahrscheinlichkeit
Wenn zwei Merkmale gleichzeitig betrachtet werden (zum Beispiel Geschlecht und Essgewohnheit), ordnen wir alles in einer Vierfeldertafel. Jede Zeile und jede Spalte ergibt zusammen die Randsumme.
An einer Schule in Bochum werden 200 zufällig ausgewählte Schülerinnen und Schüler zu ihrem Schulweg befragt. 120 der Befragten sind Mädchen, 80 sind Jungen. Insgesamt…
An einer Schule in Bochum werden 200 zufällig ausgewählte Schülerinnen und Schüler zu ihrem Schulweg befragt. 120 der Befragten sind Mädchen, 80 sind Jungen. Insgesamt 80 Befragte kommen mit dem Fahrrad zur Schule, darunter 50 Mädchen.
- a) Stellen Sie die Daten in einer Vierfeldertafel dar.
- b) Eine der befragten Personen wird zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es ein Mädchen ist, das mit dem Fahrrad kommt.
- c) Die ausgewählte Person kommt mit dem Fahrrad. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es ein Mädchen ist.
- d) Prüfen Sie, ob die Ereignisse „Die Person ist ein Mädchen“ und „Die Person kommt mit dem Fahrrad“ stochastisch unabhängig sind.
Baumdiagramm, totale Wahrscheinlichkeit und Bayes
Das Baumdiagramm ist das Werkzeug für gestufte Vorgänge. Es gelten zwei Regeln:
-
1. Pfadregel: Entlang eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
-
2. Pfadregel: Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, werden ihre Wahrscheinlichkeiten addiert.
Tests: Sensitivität und Spezifität
Bei Testaufgaben sind zwei Wahrscheinlichkeiten gegeben:
-
Sensitivität: $P(\text{positiv} \mid \text{krank})$. Der Test erkennt Kranke richtig.
-
Spezifität: $P(\text{negativ} \mid \text{gesund})$. Der Test erkennt Gesunde richtig.
Gefragt ist meist der positive Vorhersagewert $P_{\text{positiv}}(\text{krank})$. Ihn erhältst du wie im Beispiel: Baum zeichnen, zuerst nach Krankheit, dann nach Testergebnis; dann Pfad „krank und positiv“ durch die Summe der Pfade „positiv“ teilen.
Eine Pendlerin aus Essen fährt täglich mit der S-Bahn zur Arbeit. An 30 % der Tage regnet es. An Regentagen hat die S-Bahn mit der Wahrscheinlichkeit 0,4 Verspätung, an…
Eine Pendlerin aus Essen fährt täglich mit der S-Bahn zur Arbeit. An 30 % der Tage regnet es. An Regentagen hat die S-Bahn mit der Wahrscheinlichkeit 0,4 Verspätung, an Tagen ohne Regen mit der Wahrscheinlichkeit 0,1.
- a) Stellen Sie die Situation in einem Baumdiagramm dar und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die S-Bahn an einem zufällig gewählten Tag Verspätung hat.
- b) Die S-Bahn hat heute Verspätung. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es heute regnet.
- c) Prüfen Sie, ob die Ereignisse „Es regnet“ und „Die S-Bahn hat Verspätung“ stochastisch unabhängig sind.
- d) Die Verspätungen an verschiedenen Tagen werden als voneinander unabhängig angenommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die S-Bahn an fünf Tagen mindestens einmal Verspätung hat.
- e) Bestimmen Sie die erwartete Anzahl der Tage mit Verspätung in 20 Tagen.
Ein Schnelltest auf eine Infektion hat eine Sensitivität von 90 % und eine Spezifität von 98 %. Zum Zeitpunkt einer Testaktion in einer Stadt sind 5 % der getesteten…
Ein Schnelltest auf eine Infektion hat eine Sensitivität von 90 % und eine Spezifität von 98 %. Zum Zeitpunkt einer Testaktion in einer Stadt sind 5 % der getesteten Personen infiziert. (Alle Angaben sind fiktiv.)
- a) Stellen Sie die Situation in einem Baumdiagramm dar.
- b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test bei einer zufällig ausgewählten Person positiv ausfällt.
- c) Eine Person erhält ein positives Testergebnis. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie tatsächlich infiziert ist, und erläutern Sie, warum dieser Wert deutlich kleiner als die Sensitivität ist.
- d) Eine Person erhält ein negatives Testergebnis. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie tatsächlich nicht infiziert ist.
- e) Bestimmen Sie, welche Spezifität der Test mindestens haben müsste, damit eine Person mit positivem Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % tatsächlich infiziert ist. Die Sensitivität und der Anteil der Infizierten bleiben unverändert.
Zufallsgröße, Erwartungswert und Varianz
Eine Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu, etwa die Auszahlung bei einem Los. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung listet alle Werte $x_i$ mit $P(X = x_i)$ auf. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben.
Summe bei zweimaligem Spielen
Wird das Rad zweimal gedreht, entsteht die Zufallsgröße $Y$ als Summe beider Auszahlungen. Gleiche Summen aus verschiedenen Pfaden werden zusammengefasst. Für das Rad von oben ergibt sich:
| $y$ | 0 | 1 | 2 | 5 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(Y = y)$ | 0,49 | 0,28 | 0,04 | 0,14 | 0,04 | 0,01 |
Zum Beispiel $P(Y = 1) = 2 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}2 = 0{,}28$, weil „0 € dann 1 €“ und „1 € dann 0 €“ beide die Summe 1 liefern. Die Wahrscheinlichkeiten ergeben zusammen 1, ein guter Test. Es gilt $E(Y) = 2 \cdot E(X) = 1{,}4$.
Bei einer Tombola auf dem Weihnachtsmarkt werden 200 Lose verkauft: 1 Los gewinnt 50 €, 4 Lose gewinnen jeweils 10 €, 15 Lose gewinnen jeweils 2 €, die übrigen Lose sind…
Bei einer Tombola auf dem Weihnachtsmarkt werden 200 Lose verkauft: 1 Los gewinnt 50 €, 4 Lose gewinnen jeweils 10 €, 15 Lose gewinnen jeweils 2 €, die übrigen Lose sind Nieten. Ein Los kostet 1 €. Die Zufallsgröße $X$ gibt den ausgezahlten Betrag in Euro für ein zufällig gezogenes Los an.
- a) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ in einer Tabelle dar.
- b) Berechnen Sie den Erwartungswert von $X$ und deuten Sie ihn im Sachzusammenhang.
- c) Berechnen Sie den durchschnittlichen Gewinn des Veranstalters pro verkauftem Los.
- d) Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung von $X$.
Bei einem Glücksrad auf der Kirmes in Düsseldorf erscheint beim einmaligen Drehen „0 €“ mit der Wahrscheinlichkeit 0,5, „2 €“ mit der Wahrscheinlichkeit 0,3 und „5 €“…
Bei einem Glücksrad auf der Kirmes in Düsseldorf erscheint beim einmaligen Drehen „0 €“ mit der Wahrscheinlichkeit 0,5, „2 €“ mit der Wahrscheinlichkeit 0,3 und „5 €“ mit der Wahrscheinlichkeit 0,2. Ein Spieler dreht das Rad zweimal. Die Zufallsgröße $Y$ gibt die Summe der beiden ausgezahlten Beträge in Euro an.
- a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ und stellen Sie sie in einer Tabelle dar.
- b) Berechnen Sie den Erwartungswert von $Y$.
- c) Der Betreiber verlangt für zwei Drehungen einen Einsatz von 3 €. Beurteilen Sie, ob das Spiel für den Betreiber auf lange Sicht vorteilhaft ist.
- d) Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung von $Y$.
Binomialverteilung mit dem WTR
Die Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Treffer in einer Bernoulli-Kette der Länge $n$ mit Trefferwahrscheinlichkeit $p$. Die Begründung in der Prüfung („Begründen Sie, dass …“) hat vier Teile:
-
Bei jedem Versuch gibt es nur zwei Ausgänge: Treffer oder Niete.
-
Die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ ist bei jedem Versuch gleich.
-
Die Versuche sind unabhängig voneinander.
-
Wird ohne Zurücklegen gezogen, ist das nur näherungsweise erfüllt, wenn die Grundgesamtheit sehr groß ist (zum Beispiel große Produktion, viele Fahrgäste).
Den Wert $P(X = k)$ liest du am WTR oder CAS mit der Funktion für die Binomialverteilung (Einzelwahrscheinlichkeit) ab, die kumulierte Wahrscheinlichkeit $P(X \le k)$ mit der Verteilungsfunktion. Gib $n$, $p$ und $k$ gewissenhaft ein.
| Formulierung | Rechnung |
|---|---|
| genau $k$ | $P(X = k)$ |
| höchstens $k$ | $P(X \le k)$ |
| weniger als $k$ | $P(X \le k-1)$ |
| mindestens $k$ | $1 - P(X \le k-1)$ |
| mehr als $k$ | $1 - P(X \le k)$ |
| zwischen $a$ und $b$ (einschließlich) | $P(X \le b) - P(X \le a-1)$ |
Einfluss von $n$ und $p$
Das Histogramm von $B(n;p)$ hat sein Maximum in der Nähe von $\mu = n \cdot p$. Bei kleinem $p$ liegt es links und ist rechtsschief, bei $p = 0{,}5$ ist es symmetrisch, bei großem $p$ ist es linksschief. Wird $n$ größer, wandert das Maximum nach rechts, und die Verteilung wird breiter, weil $\sigma$ wächst.
Bei der Endkontrolle eines Smartphone-Herstellers sind erfahrungsgemäß 3 % der Geräte defekt. Es werden 40 Geräte zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ gibt die…
Bei der Endkontrolle eines Smartphone-Herstellers sind erfahrungsgemäß 3 % der Geräte defekt. Es werden 40 Geräte zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der defekten Geräte an.
- a) Begründen Sie, dass $X$ näherungsweise als binomialverteilt angesehen werden kann, und geben Sie $n$ und $p$ an.
- b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$.
- c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei Geräte defekt sind.
- d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens ein Gerät defekt ist.
Bei Fahrscheinkontrollen in einer Straßenbahn in Köln sind erfahrungsgemäß 4 % der Fahrgäste ohne gültigen Fahrschein. Ein Kontrolleur überprüft 60 zufällig ausgewählte…
Bei Fahrscheinkontrollen in einer Straßenbahn in Köln sind erfahrungsgemäß 4 % der Fahrgäste ohne gültigen Fahrschein. Ein Kontrolleur überprüft 60 zufällig ausgewählte Fahrgäste. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der Fahrgäste ohne gültigen Fahrschein an.
- a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens drei Fahrgäste ohne gültigen Fahrschein angetroffen werden.
- b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$.
- c) Ermitteln Sie, wie viele Fahrgäste mindestens kontrolliert werden müssen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 % mindestens ein Fahrgast ohne gültigen Fahrschein darunter ist.
- d) Nehmen Sie Stellung dazu, ob die Voraussetzungen der Binomialverteilung in diesem Kontext erfüllt sind, wenn viele Fahrgäste in Gruppen reisen.
„Mindestens“-Aufgaben und die Bestimmung von $n$
Häufig fragt eine Aufgabe: Wie viele Versuche braucht man, damit mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit mindestens ein Treffer auftritt? Dann ist $n$ unbekannt.
Alternativ kannst du am WTR oder CAS eine Wertetabelle für $P(X \ge 1)$ in Abhängigkeit von $n$ anlegen und den kleinsten Wert $n$ ablesen, der die Bedingung erfüllt. Gib das Ergebnis immer als ganze Zahl an und mache die Probe.
Kombinierte Aufgaben
In Aufgaben wie der Karnevalsaufgabe wird erst eine Vierfeldertafel gefüllt (bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit), und danach wird das berechnete $p$ in eine Binomialverteilung eingesetzt. Lies dazu jede Teilaufgabe einzeln: Was ist gegeben, was gesucht, welches Werkzeug passt?
Ein Spieler eines Bundesliga-Vereins verwandelt Elfmeter erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 %. Die einzelnen Elfmeter werden als voneinander unabhängig…
Ein Spieler eines Bundesliga-Vereins verwandelt Elfmeter erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 %. Die einzelnen Elfmeter werden als voneinander unabhängig betrachtet. Die Zufallsgröße $X$ gibt die Anzahl der verwandelten Elfmeter bei 10 Elfmetern an.
- a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 8 Elfmeter verwandelt werden.
- b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von $X$.
- c) Bestimmen Sie die kleinste Anzahl $n$ von Elfmetern, für die mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % mindestens ein Elfmeter nicht verwandelt wird.
- d) Die Zufallsgröße $Y$ gibt die Anzahl der nicht verwandelten Elfmeter bei 10 Elfmetern an. Begründen Sie, dass $Y$ binomialverteilt ist und dass das Histogramm von $Y$ das an der Stelle $k=5$ gespiegelte Histogramm von $X$ ist.
- e) In einer Saison verwandelt der Spieler von 10 Elfmetern nur 7. Der Trainer behauptet, die Trefferwahrscheinlichkeit von 80 % sei damit widerlegt. Nehmen Sie Stellung zu dieser Aussage und stützen Sie Ihre Argumentation mit einer passenden Wahrscheinlichkeit.
Bei einer Karnevalsveranstaltung in Köln gelten für zufällig ausgewählte Besucher die Ereignisse $K$: „Die Person ist kostümiert“ und $F$: „Die Person ist eine Frau“. Es…
Bei einer Karnevalsveranstaltung in Köln gelten für zufällig ausgewählte Besucher die Ereignisse $K$: „Die Person ist kostümiert“ und $F$: „Die Person ist eine Frau“. Es gilt $P(K)=0{,}6$, $P(F)=0{,}5$ und $P_F(K)=0{,}7$.
- a) Vervollständigen Sie die zugehörige Vierfeldertafel.
- b) Prüfen Sie, ob $K$ und $F$ stochastisch unabhängig sind.
- c) Berechnen Sie den Anteil der Männer unter den nicht kostümierten Besuchern.
- d) Es werden 8 Besucher zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 5 von ihnen kostümiert sind.
- e) Bestimmen Sie, welchen Wert $P_F(K)$ haben müsste, damit $K$ und $F$ bei gleichbleibenden Werten von $P(K)$ und $P(F)$ stochastisch unabhängig wären.
- f) Unter 100 zufällig ausgewählten Besuchern befindet sich eine bestimmte Anzahl kostümierter Männer. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Anzahl an und berechnen Sie den Erwartungswert.
Auf einen Blick
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Vierfeldertafel: Randsummen nutzen. $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. Unabhängig, wenn $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
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Baumdiagramm: 1. Pfadregel: multiplizieren. 2. Pfadregel: addieren. Bayes: ein Pfad geteilt durch die Summe aller Pfade zur Bedingung.
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Tests: Sensitivität $P(\text{positiv} \mid \text{krank})$, Spezifität $P(\text{negativ} \mid \text{gesund})$. Positiver Vorhersagewert über Bayes.
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Zufallsgröße: $E(X) = \sum x_i \cdot P(X=x_i)$, $V(X) = \sum (x_i-\mu)^2 \cdot P(X=x_i)$, $\sigma = \sqrt{V(X)}$. Fair heißt Gewinnerwartung 0.
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Binomialverteilung: Modell begründen. $E = n p$, $\sigma = \sqrt{n p (1-p)}$. „Mindestens“ über das Gegenereignis, $n$ über $1 - (1-p)^n \ge c$ und Logarithmus, am Ende Probe.