Analysis mit Hilfsmitteln (Prüfungsteil B)
Dein Kaffee steht auf dem Tisch und wird kalt. Nach wie vielen Minuten ist er nur noch lauwarm? Genau solche Fragen stellt der Prüfungsteil B des Zentralabiturs. Es gibt einen Sachkontext, eine Funktion und mehrere Teilaufgaben, die du mit WTR oder CAS und Formelsammlung bearbeitest.
Du musst dafür nichts völlig Neues lernen. Du brauchst eine feste Vorgehensweise und musst die Operatoren richtig lesen. Am Ende der Seite kannst du die Ausgangsfrage beantworten.
So gehst du Teil-B-Aufgaben an
Die Operatoren sagen dir, was erwartet wird:
-
Berechnen / Bestimmen: Du gibst einen Ansatz an, rechnest und notierst das Ergebnis mit Einheit. Der WTR oder CAS darf dabei Gleichungen lösen oder Ableitungen bilden.
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Zeigen Sie, dass …: Das Ergebnis steht schon da. Dein Rechenweg muss nachvollziehbar sein. Es genügt nicht, das Ergebnis nur zu bestätigen.
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Weisen Sie nach …: Du begründest mit einem Kriterium, zum Beispiel $f'(x_0)=0$ und $f''(x0)<0$ für einen Hochpunkt.
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Deuten Sie … / Beurteilen Sie …: Du antwortest in einem ganzen Satz im Sachzusammenhang, mit Einheit.
Wachstum und Abkühlung modellieren
Drei Modelltypen kommen immer wieder vor.
| Modell | Funktion | Verhalten |
|---|---|---|
| unbegrenztes Wachstum | $N(t)=N_0\cdot b^t$ mit $b>1$ | wächst über alle Grenzen |
| exponentieller Zerfall | $N(t)=N_0\cdot b^t$ mit $0| nähert sich 0 |
|
| begrenztes Wachstum / Abkühlung | $f(t)=S-(S-B)\cdot\mathrm{e}^{-kt}$ | nähert sich der Schranke $S$ |
Dabei ist $B$ der Anfangswert $f(0)$ und $S$ die Schranke. $S$ ist die waagerechte Asymptote. Beim Abkühlen ist $S$ die Raumtemperatur. Auch die Form $T(t)=S+(B-S)\cdot\mathrm{e}^{-kt}$ beschreibt dasselbe Modell. Aus $b^t=\mathrm{e}^{t\cdot\ln b}$ folgt, dass $N_0\cdot b^t$ und $N_0\cdot\mathrm{e}^{kt}$ mit $k=\ln b$ dasselbe Modell sind.
Die Kurve fällt immer langsamer, denn $T'(t)$ geht gegen 0. Die Temperatur erreicht die Raumtemperatur nie ganz, kommt ihr aber beliebig nahe.
Eine Tasse Kaffee mit einer Temperatur von 80 °C steht in einem Raum in Düsseldorf, in dem die Temperatur konstant 20 °C beträgt. Die Temperatur des Kaffees in Grad…
Eine Tasse Kaffee mit einer Temperatur von 80 °C steht in einem Raum in Düsseldorf, in dem die Temperatur konstant 20 °C beträgt. Die Temperatur des Kaffees in Grad Celsius wird in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten nach dem Einschenken) durch die Funktion $T$ mit
$$T(t)=20+60\cdot\mathrm{e}^{-0{,}05t},\quad t\ge 0,$$modelliert.
- a) Zeigen Sie, dass $T(0)=80$ gilt, und beschreiben Sie das Verhalten von $T(t)$ für $t\to\infty$ im Sachzusammenhang.
- b) Berechnen Sie die Temperatur des Kaffees 10 Minuten nach dem Einschenken.
- c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Kaffee eine Temperatur von 40 °C erreicht.
- d) Bestimmen Sie $T'(t)$ und berechnen Sie die momentane Änderungsrate der Temperatur zu Beginn. Deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.
Ein Influencer aus Dortmund hat zu Beginn der Beobachtung 500 Follower. Die Anzahl der Follower wird in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Wochen) durch die Funktion $N$…
Ein Influencer aus Dortmund hat zu Beginn der Beobachtung 500 Follower. Die Anzahl der Follower wird in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Wochen) durch die Funktion $N$ mit
$$N(t)=500\cdot 1{,}2^{\,t}$$modelliert.
- a) Geben Sie den Wachstumsfaktor an und bestimmen Sie die wöchentliche prozentuale Zunahme.
- b) Berechnen Sie die Anzahl der Follower nach 5 Wochen.
- c) Bestimmen Sie, nach wie vielen Wochen sich die Anzahl der Follower gegenüber dem Beginn verdoppelt hat.
- d) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem 2.000 Follower erreicht werden.
- e) Beurteilen Sie die Eignung des Modells für einen langen Zeitraum.
Der Ladezustand des Akkus eines Smartphones (in Prozent) wird beim Laden in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten nach Beginn des Ladevorgangs) durch die Funktion…
Der Ladezustand des Akkus eines Smartphones (in Prozent) wird beim Laden in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten nach Beginn des Ladevorgangs) durch die Funktion $L$ mit
$$L(t)=100-95\cdot\mathrm{e}^{-0{,}04t},\quad t\ge 0,$$modelliert.
- a) Geben Sie den Ladezustand zu Beginn des Ladevorgangs an.
- b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Akku zur Hälfte geladen ist.
- c) Bestimmen Sie $L'(t)$ und berechnen Sie die Änderungsrate des Ladezustands zu Beginn. Begründen Sie, dass $L'(t)$ für alle $t\ge 0$ positiv ist, und deuten Sie dies im Sachzusammenhang.
- d) Begründen Sie, dass der Ladezustand nach diesem Modell den Wert 100 % nie erreicht, und beurteilen Sie die Qualität des Modells in diesem Punkt.
Funktionen untersuchen: ganzrationale Funktionen und Produkte mit e-Funktion
Die Standardfragen sind immer dieselben:
| Frage | Vorgehen |
|---|---|
| Nullstellen | $f(x)=0$ lösen, bei Produkten mit dem Satz vom Nullprodukt |
| Extrempunkte | $f'(x)=0$; Nachweis mit $f''(x_0)\neq0$ (Hochpunkt bei $f''<0$, Tiefpunkt bei $f''>0$) |
| Wendepunkte | $f''(x)=0$ und $f'''(x)\neq0$ (oder Vorzeichenwechsel von $f''$) |
| Tangente im Punkt $P$ | $y=f'(x_P)\cdot(x-x_P)+f(x_P)$ |
| Verhalten für $x\to\pm\infty$ | dominierenden Term betrachten; bei $\mathrm{e}^{-x}$ gilt $x\cdot\mathrm{e}^{-x}\to0$ |
Bei Produkten wie $f(x)=(x+1)\cdot\mathrm{e}^{-x}$ brauchst du die Produktregel. Die Ableitung klammerst du danach aus. Das Ausklammern von $\mathrm{e}^{-x}$ ist der entscheidende Schritt, denn $\mathrm{e}^{-x}>0$ für alle $x$. Nullstellen der Ableitung liefert dann nur der andere Faktor.
Das Höhenprofil eines Radwegs bei Münster wird für $0\le x\le 4$ durch die Funktion $h$ mit $$h(x)=x^3-6x^2+9x$$ beschrieben. Dabei ist $x$ die Entfernung vom Startpunkt…
Das Höhenprofil eines Radwegs bei Münster wird für $0\le x\le 4$ durch die Funktion $h$ mit
$$h(x)=x^3-6x^2+9x$$beschrieben. Dabei ist $x$ die Entfernung vom Startpunkt in km und $h(x)$ die Höhe über einer Bezugshöhe in Vielfachen von 10 m.
- a) Bestimmen Sie die Nullstellen von $h$.
- b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts und des Tiefpunkts des Graphen von $h$ und weisen Sie die Art der Extrempunkte nach.
- c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts und eine Gleichung der Tangente an den Graphen von $h$ im Wendepunkt.
- d) Zeigen Sie, dass der Radweg im betrachteten Bereich seine größte Höhe an zwei Stellen erreicht.
Der Querschnitt eines Lärmschutzwalls am Rhein wird für $-4\le x\le 2$ durch den Graphen der Funktion $f$ mit $$f(x)=(2-x)\cdot\mathrm{e}^{x}$$ beschrieben (1…
Der Querschnitt eines Lärmschutzwalls am Rhein wird für $-4\le x\le 2$ durch den Graphen der Funktion $f$ mit
$$f(x)=(2-x)\cdot\mathrm{e}^{x}$$beschrieben (1 Längeneinheit entspricht 10 m).
- a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit den Koordinatenachsen.
- b) Zeigen Sie, dass $f'(x)=(1-x)\cdot\mathrm{e}^{x}$ und $f''(x)=-x\cdot\mathrm{e}^{x}$ gilt.
- c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von $f$ und weisen Sie nach, dass es sich um einen Hochpunkt handelt.
- d) Bestimmen Sie die Koordinaten des Wendepunkts und eine Gleichung der Tangente im Wendepunkt.
- e) Berechnen Sie die Höhe des Walls am linken Rand $x=-4$ und vergleichen Sie diese mit der größten Höhe des Walls.
Die Konzentration eines Medikaments im Blut eines Patienten wird nach der Einnahme durch die Funktion $c$ mit $$c(t)=8t\cdot\mathrm{e}^{-0{,}5t},\quad t\ge 0,$$…
Die Konzentration eines Medikaments im Blut eines Patienten wird nach der Einnahme durch die Funktion $c$ mit
$$c(t)=8t\cdot\mathrm{e}^{-0{,}5t},\quad t\ge 0,$$modelliert. Dabei ist $t$ die Zeit in Stunden nach der Einnahme und $c(t)$ die Konzentration in mg/l.
- a) Zeigen Sie, dass $c'(t)=8\cdot(1-0{,}5t)\cdot\mathrm{e}^{-0{,}5t}$ gilt.
- b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Konzentration maximal ist, und die maximale Konzentration. Weisen Sie nach, dass es sich um ein Maximum handelt.
- c) Deuten Sie den Wert $c'(0)$ im Sachzusammenhang.
- d) Das Medikament ist nur wirksam, solange die Konzentration mindestens 1 mg/l beträgt. Bestimmen Sie den Zeitpunkt, ab dem das Medikament nicht mehr wirksam ist.
Parameter bestimmen, Extremwertprobleme, Modelle beurteilen
Parameter aus Bedingungen
Oft ist in der Funktion eine Konstante unbekannt, zum Beispiel $k$. Eine Messung liefert dir eine Gleichung für $k$: Setze den Messwert ein und löse nach $k$ auf.
Extremwertprobleme
Wenn ein Flächeninhalt, eine Konzentration oder eine Temperaturänderung maximal werden soll, gehst du so vor:
-
Die Zielfunktion aufstellen, zum Beispiel $A(u)=u\cdot\mathrm{e}^{-u}$. Alle Größen müssen von einer Variablen abhängen.
-
Die Definitionsmenge aus dem Kontext notieren (hier $u>0$).
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$A'(u)=0$ lösen. Dabei $\mathrm{e}^{-u}$ ausklammern.
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Das Maximum nachweisen (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechsel). Danach den Funktionswert berechnen und mit Einheit antworten.
Modelle beurteilen
Ein Modell ist nur eine Näherung. Beim Beurteilen vergleichst du es mit Messdaten oder prüfst, ob das langfristige Verhalten realistisch ist. Verwende dabei diese Argumente:
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Unbegrenztes Wachstum $N_0\cdot b^t$ wächst über alle Grenzen. Das passt nur für kurze Zeit, denn Ressourcen und Platz sind begrenzt.
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Begrenztes Wachstum hat eine Schranke $S$. Das passt besser, wenn es eine natürliche Obergrenze gibt.
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Vergleiche Modellwerte mit gemessenen Werten. Die Abweichungen sagen dir, welches Modell besser passt.
Eine Tasse Tee mit einer Anfangstemperatur von 90 °C kühlt in einem Raum mit konstant 21 °C ab. Die Temperatur des Tees in Grad Celsius wird nach $t$ Minuten durch…
Eine Tasse Tee mit einer Anfangstemperatur von 90 °C kühlt in einem Raum mit konstant 21 °C ab. Die Temperatur des Tees in Grad Celsius wird nach $t$ Minuten durch
$$T(t)=21+69\cdot\mathrm{e}^{-k t},\quad t\ge 0,$$mit einer positiven Konstanten $k$ modelliert. Zehn Minuten nach Beginn der Beobachtung wird eine Temperatur von 70 °C gemessen.
- a) Bestimmen Sie $k$ auf drei Nachkommastellen genau.
- b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem der Tee eine Temperatur von 40 °C erreicht.
- c) Zeigen Sie, dass $T'(t)=-k\cdot\bigl(T(t)-21\bigr)$ gilt, und deuten Sie diese Beziehung im Sachzusammenhang.
- d) Berechnen Sie die momentane Änderungsrate der Temperatur zu Beginn der Beobachtung.
- e) Eine Person trinkt den Tee erst, wenn er höchstens 55 °C warm ist. Bestimmen Sie den frühesten Zeitpunkt dafür und beurteilen Sie, ob das Modell auch für sehr große $t$ eine sinnvolle Aussage über die Temperatur des Tees liefert.
Für $u>0$ betrachtet man das Rechteck mit den Eckpunkten $O(0|0)$, $P(u|0)$, $Q(u|\mathrm{e}^{-u})$ und $R(0|\mathrm{e}^{-u})$. Der Punkt $Q$ liegt auf dem Graphen der…
Für $u>0$ betrachtet man das Rechteck mit den Eckpunkten $O(0|0)$, $P(u|0)$, $Q(u|\mathrm{e}^{-u})$ und $R(0|\mathrm{e}^{-u})$. Der Punkt $Q$ liegt auf dem Graphen der Funktion $f$ mit $f(x)=\mathrm{e}^{-x}$. Der Flächeninhalt des Rechtecks wird mit $A(u)$ bezeichnet (Längeneinheit: 1 m).
- a) Zeigen Sie, dass $A(u)=u\cdot\mathrm{e}^{-u}$ gilt.
- b) Bestimmen Sie den Wert von $u$, für den der Flächeninhalt des Rechtecks maximal ist, und berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt. Weisen Sie nach, dass es sich um ein Maximum handelt.
- c) Begründen Sie, dass es keinen Wert $u$ mit $A(u)=0{,}5$ gibt.
- d) Bestimmen Sie näherungsweise mithilfe des GTR/CAS alle Werte von $u$, für die das Rechteck einen Flächeninhalt von $0{,}3\,\mathrm{m}^2$ besitzt.
- e) Begründen Sie, dass es für jeden Flächeninhalt $a$ mit $0
In einem Labor der Universität Münster wird das Wachstum einer Bakterienkultur untersucht. Für die Anzahl der Bakterien (in Tausend) nach $t$ Stunden werden zwei Modelle…
In einem Labor der Universität Münster wird das Wachstum einer Bakterienkultur untersucht. Für die Anzahl der Bakterien (in Tausend) nach $t$ Stunden werden zwei Modelle vorgeschlagen:
Modell A: $f(t)=200\cdot\mathrm{e}^{0{,}3t}$
Modell B: $g(t)=2.000-1.800\cdot\mathrm{e}^{-0{,}3t}$
Die folgende Tabelle zeigt die gemessenen Werte:
| $t$ in h | 0 | 2 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| Anzahl in Tausend | 200 | 1.010 | 1.460 | 1.700 |
- a) Zeigen Sie, dass beide Modelle zu Beginn den Wert 200 liefern, und bestimmen Sie für Modell A die Verdopplungszeit.
- b) Bestimmen Sie für Modell A den Zeitpunkt, zu dem die Anzahl der Bakterien 2.000 Tausend überschreitet.
- c) Entscheiden Sie anhand der Messwerte rechnerisch, welches der beiden Modelle die Daten besser beschreibt.
- d) Zeigen Sie, dass für Modell B die Beziehung $g'(t)=0{,}3\cdot\bigl(2.000-g(t)\bigr)$ gilt, und deuten Sie diese im Sachzusammenhang.
- e) Beschreiben Sie das langfristige Verhalten beider Modelle und beurteilen Sie, welche Annahme über die Nährlösung dem besseren Modell zugrunde liegt.