Bedingte Wahrscheinlichkeit

Auf einer Convention für Gaming-Fans wird unter den Besuchern eine Konsole der neuesten Generation verlost. Es nehmen 120 Personen aus Berlin, 80 aus Köln und 50 aus Düsseldorf teil. Außerdem ist bekannt, dass 60 % aller Teilnehmer unter 18 Jahre alt sind. Es wird zufällig ein Gewinner gezogen. Berechnen Sie:

1. a) Die Ergebnismenge bezüglich der Herkunft der Teilnehmer.

1. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinner aus Berlin kommt.

1. c) Die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinner volljährig ist.

Nach Daten des Kraftfahrt-Bundesamts zum Erwerb des Führerscheins Klasse B in einem Kreis besteht $40\%$ der Bewerber die praktische Prüfung beim ersten Versuch (Ereignis $A$). Außerdem absolviert $30\%$ der Bewerber vorher einen Intensivkurs im Fahrsimulator (Ereignis $S$), und es ist bekannt, dass $20\%$ aller Bewerber den Simulatorkurs absolvieren und zusätzlich beim ersten Mal bestehen.

1. a) Modellieren Sie die Situation, indem Sie die Ereignisse mit der passenden Wahrscheinlichkeitsnotation definieren, und geben Sie die Werte von $P(A)$, $P(S)$ und $P(A \cap S)$ an.
2. b) Es wird zufällig ein Bewerber ausgewählt, der den Simulatorkurs absolviert hat. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er die praktische Prüfung beim ersten Versuch besteht.
3. c) Verändert der Simulatorkurs angesichts der Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Mal zu bestehen, oder sind die Ereignisse stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie $P(A|S)$ mit $P(A)$ vergleichen.

Eine Urne enthält 5 weiße und 3 schwarze Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen (die erste wird vor dem Ziehen der zweiten zurückgelegt). Stellen Sie die Situation in einem Baumdiagramm dar und berechnen Sie:

1. a) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind.
2. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste schwarz und die zweite weiß ist.
3. c) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln dieselbe Farbe haben.

Eine Musik-App hat zwei Wiedergabelisten. Liste $A$ enthält 8 Popsongs und 4 Rocksongs. Liste $B$ enthält 5 Popsongs und 7 Rocksongs. Man wirft einen fairen Würfel: Fällt eine Zahl kleiner als 3, spielt die App zufällig einen Song aus Liste $A$ ab, andernfalls aus Liste $B$.

1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der abgespielte Song ein Rocksong ist.

2. Der abgespielte Song war ein Popsong. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er aus Liste $A$ stammt?

Aus einem spanischen Kartenspiel mit 40 Karten werden nacheinander ohne Zurücklegen zwei Karten gezogen. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

1. Die zweite Karte ist ein König, wenn die erste ein Ass war.

2. Die zweite Karte ist ein König, wenn die erste ebenfalls ein König war.

3. Beide Karten sind Bildkarten (Bube, Reiter oder König).

4. Die zweite Karte war ein Oro (Münzen). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es die erste ebenfalls war?

Seien $A$ und $B$ zwei stochastisch unabhängige Ereignisse eines Zufallsexperiments mit $P(A) = 0,4$ und $P(B) = 0,5$. Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(A \cup B)$
3. c) $P(A|B)$
4. d) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$

Bei einer Qualitätskontrolle in einem Werk für elektronische Bauteile ist bekannt, dass das Ereignis $F$ (das Bauteil hat einen Lötfehler) die Wahrscheinlichkeit $P(F) = 0,08$ hat und das Ereignis $C$ (das Bauteil hat einen Gehäusefehler) die Wahrscheinlichkeit $P(C) = 0,12$. Wenn beide Ereignisse stochastisch unabhängig sind, berechnen Sie:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil beide Fehler hat.

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens einen Fehler hat.

3. Die Wahrscheinlichkeit, dass es keinen Fehler hat.

4. Das Bauteil hat einen Gehäusefehler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es keinen Lötfehler hat?

Ein Sicherheitssystem für einen kritischen Server besteht aus zwei parallel geschalteten Komponenten $C_1$ und $C_2$, d. h., das System funktioniert, wenn mindestens eine der Komponenten funktioniert. Die Wahrscheinlichkeit, dass Komponente $C_1$ in einem Jahr ausfällt, beträgt $0,05$ und die, dass $C_2$ ausfällt, $0,08$. Die Ausfälle der Komponenten sind stochastisch unabhängige Ereignisse.

Berechnen Sie:

1. a) Die Wahrscheinlichkeit, dass das System ein Jahr lang einwandfrei funktioniert.
2. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Komponente $C_1$ ausgefallen ist, wenn bekannt ist, dass das System einwandfrei funktioniert hat?

In einer Gruppe von 100 Personen wird eine Studie zum Haustierbesitz durchgeführt. Die Ergebnisse sind in der folgenden Vierfeldertafel festgehalten:

1. a) Vervollständigen Sie die Vierfeldertafel.
2. b) Eine Person wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie Hund und Katze hat?
3. c) Die ausgewählte Person hat einen Hund. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie auch eine Katze hat?

Ein Sportleistungszentrum analysiert die Leistung seiner 120 Athleten. Man stellt fest, dass 65 von ihnen eine spezielle Diät einhalten, 70 hochintensives Training absolvieren und 40 beide Bedingungen erfüllen.

1. Ordnen Sie die Daten in einer Vierfeldertafel.

2. Ein Athlet wird zufällig ausgewählt und absolviert kein hochintensives Training. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die spezielle Diät einhält?

3. Der ausgewählte Athlet hält die Diät nicht ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch kein hochintensives Training absolviert?

Auf einer Streaming-Plattform sehen $60\%$ der Nutzer Science-Fiction-Serien (Ereignis $S$) und $45\%$ sehen Dokumentationen (Ereignis $D$). Bekannt ist, dass $20\%$ der Nutzer beide Genres mögen. Es wird zufällig ein Nutzer ausgewählt, von dem man weiß, dass er Science-Fiction-Serien sieht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er auch Dokumentationen sieht. Sind die Ereignisse „Science-Fiction-Serien sehen“ und „Dokumentationen sehen“ stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ein Logistikunternehmen liefert Pakete in drei Bezirken aus: Nord ($40\%$), Mitte ($35\%$) und Süd ($25\%$). Der Anteil verspäteter Lieferungen beträgt $5\%$ im Norden, $8\%$ in der Mitte und $12\%$ im Süden.

1. Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es pünktlich geliefert wurde?

2. Ein Paket wurde verspätet geliefert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es für den Bezirk Süd bestimmt war?

Ein Test zur Erkennung einer Sicherheitslücke bei Servern fällt bei $98\%$ der tatsächlich infizierten Server positiv aus. Er liefert jedoch in $2\%$ der Fälle einen „falsch positiven“ Befund (positiv bei gesunden Servern). In einem Firmennetzwerk sind schätzungsweise $1\%$ der Server infiziert.

1. Ein Server fällt im Test positiv aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er tatsächlich infiziert ist?

2. Interpretieren Sie anhand des vorherigen Ergebnisses, ob der Test für den Masseneinsatz in diesem Netzwerk zuverlässig ist.

Ein Paketdienst nutzt drei verschiedene Routen ($R_1, R_2, R_3$), um Pakete in einer Großstadt auszuliefern. $30\%$ der Sendungen werden Route $R_1$ zugewiesen, $45\%$ Route $R_2$ und der Rest Route $R_3$. Aus Erfahrung ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Paket auf der jeweiligen Route verspätet ankommt, $4\%$, $6\%$ bzw. $2\%$ betragen.

Wenn wir zufällig ein Paket auswählen und feststellen, dass es verspätet angekommen ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es NICHT über Route $R_2$ gelaufen ist?

In einem E-Sport-Turnier muss ein Spieler zwei Phasen überstehen. Die Wahrscheinlichkeit, die erste Phase zu überstehen, beträgt $0,7$. Wenn er die erste übersteht, beträgt die Wahrscheinlichkeit, die zweite zu überstehen, $0,5$. Wenn er die erste jedoch nicht übersteht, hat er eine Chance über die Hoffnungsrunde, bei der die Wahrscheinlichkeit, direkt ins Finale zu kommen (und die zweite Phase zu überspringen), nur $0,2$ beträgt.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler das Finale erreicht (entweder durch Bestehen beider Phasen oder über die Hoffnungsrunde).
2. b) Wenn der Spieler das Finale erreicht hat, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er es über die Hoffnungsrunde geschafft hat?

Wir haben zwei Urnen mit farbigen Kugeln. Urne $U_1$ enthält 4 weiße und 6 schwarze Kugeln. Urne $U_2$ enthält 5 weiße und 3 schwarze Kugeln. Aus Urne $U_1$ wird zufällig eine Kugel gezogen und, ohne ihre Farbe anzusehen, in Urne $U_2$ gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus Urne $U_2$ gezogen.

Berechnen Sie:

1. a) Die Wahrscheinlichkeit, dass die aus der zweiten Urne gezogene Kugel weiß ist.
2. b) Wenn die aus der zweiten Urne gezogene Kugel weiß ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die von der ersten in die zweite Urne umgelegte Kugel schwarz war?

Es wurde ein Diagnosetest zur Erkennung einer Schwachstelle in einer Verwaltungssoftware durchgeführt. $5\%$ der analysierten Anwendungen enthalten diese Schwachstelle. Der Test ist in $98\%$ der Fälle positiv, in denen die Schwachstelle vorhanden ist, liefert aber auch $2\%$ falsch positive Ergebnisse (positiv, obwohl die Anwendung sicher ist).

1. a) Wenn der Test positiv ausfällt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anwendung tatsächlich die Schwachstelle hat?
2. b) Wenn der Test negativ ausfällt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anwendung tatsächlich sicher ist?
3. c) Interpretieren Sie die Ergebnisse: Ist der Test zuverlässiger, um die Schwachstelle zu bestätigen oder um sie auszuschließen?

Ein IT-Sicherheitsbericht über kleine und mittlere Unternehmen in Spanien bewertet die Wirksamkeit einer Firewall gegen Angriffe von außen. Drei Tatsachen sind bekannt:

• Bei $8\%$ der Unternehmen kommt es monatlich zu einem ernsthaften Eindringversuch (Ereignis $I$).

• Wenn bei einem Unternehmen ein Eindringversuch stattfindet, löst die Firewall mit der Wahrscheinlichkeit $P(A|I) = 0,90$ einen Alarm aus.

• Wenn das Unternehmen keinen Eindringversuch erlebt, besteht eine Wahrscheinlichkeit von $3\%$ für einen Fehlalarm aufgrund von Systemfehlern, also $P(A|\overline{I}) = 0,03$.

Die Geschäftsleitung möchte die Wahrscheinlichkeit kennen, dass es sich bei einem ausgelösten Alarm tatsächlich um einen Fehlalarm handelt ($P(\overline{I}|A)$), sowie die Wahrscheinlichkeit, dass das System still bleibt und kein Eindringversuch vorliegt ($P(\overline{A} \cap \overline{I})$).

1. a) Lösen Sie das Problem mit zwei verschiedenen Methoden:

• Methode 1: Baumdiagramm und Berechnung mit den Formeln für die bedingte Wahrscheinlichkeit und dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit.

• Methode 2: Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten, bezogen auf eine hypothetische Gesamtheit von $10.000$ Unternehmen.

1. b) Analysieren und vergleichen Sie beide Methoden: Welche der beiden verringert das Risiko, bei der Interpretation der Ergebnisse $P(A|\overline{I})$ mit $P(\overline{I}|A)$ zu verwechseln, wirksamer? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie darlegen, wie jede Technik die neue, eingeschränkte Ergebnismenge darstellt.

Zwei faire sechsseitige Würfel werden gleichzeitig geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:

1. a) Die Augensumme ist gleich 7.
2. b) Auf dem ersten Würfel ist eine gerade Zahl gefallen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 7 beträgt?
3. c) Sind die Ereignisse „Summe gleich 7“ und $G$: „erster Würfel gerade“ stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie $P(S=7|G)$ mit $P(S=7)$ vergleichen.

Seien $A$ und $B$ zwei Ereignisse mit $P(A) = 0,4$, $P(B|A) = 0,25$ und $P(A' \cap B') = 0,45$.

1. Berechnen Sie $P(A \cap B)$.

2. Berechnen Sie $P(B)$.

3. Berechnen Sie $P(A|B)$.

4. Bestimmen Sie, ob die Ereignisse $A$ und $B$ vereinbar und ob sie stochastisch unabhängig sind. Begründen Sie Ihre Schlussfolgerungen.

In einem Biotechnologielabor wird die Resistenz eines Bakteriums gegen zwei Antibiotika, $A$ und $B$, untersucht. Bekannt ist, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Bakterium gegen das Antibiotikum $A$ resistent ist, $P(A) = 0,65$ beträgt und die Wahrscheinlichkeit, dass es gegen das Antibiotikum $B$ resistent ist, $P(B) = 0,48$. Außerdem wurde ermittelt, dass die Wahrscheinlichkeit, gegen keines der beiden resistent zu sein, $12\%$ beträgt.

Berechnen Sie mit Begründung:

1. a) Die Wahrscheinlichkeit, dass das Bakterium gegen $A$ resistent ist, unter der Bedingung, dass es gegen $B$ resistent ist.
2. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass es nur gegen eines der beiden Antibiotika resistent ist.
3. c) Sind die Ereignisse „gegen $A$ resistent sein“ und „gegen $B$ resistent sein“ stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort durch Rechnung.