Analytische Geometrie ohne Hilfsmittel
Im Prüfungsteil A des Zentralabiturs gibt es keinen Taschenrechner und keine Formelsammlung. Eine Aufgabe zur analytischen Geometrie besteht meist aus zwei bis drei kurzen Teilaufgaben, die sich mit sauberem Rechnen und wenigen Standardverfahren lösen lassen. Die Zahlen sind „schön“: Längen sind oft ganzzahlig, etwa $\sqrt{9}=3$. Hier trainierst du diese Verfahren. Am Ende klären wir, wie man ohne Rechner aus einem Punkt und einer Ebene den Abstand und den Spiegelpunkt bekommt.
Vektoren, Länge und Orthogonalität
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung. Der Verbindungsvektor von $A$ nach $B$ ist „Spitze minus Fuß“:
$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a=\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\end{pmatrix}$$Warum? Das Skalarprodukt ist $|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\varphi$. Bei $\varphi=90^\circ$ ist $\cos\varphi=0$.
Gegeben sind die Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ und $\vec b=\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$. a) Zeigen Sie, dass $\vec a$ und $\vec b$…
Gegeben sind die Vektoren $\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$ und $\vec b=\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}$.
- a) Zeigen Sie, dass $\vec a$ und $\vec b$ orthogonal zueinander sind.
- b) Berechnen Sie die Länge von $\vec a$.
Gegeben sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(2|2|1)$ und $C(2|-1|-2)$. a) Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ bei $A$ einen rechten Winkel hat. b) Berechnen Sie den…
Gegeben sind die Punkte $A(0|0|0)$, $B(2|2|1)$ und $C(2|-1|-2)$.
- a) Zeigen Sie, dass das Dreieck $ABC$ bei $A$ einen rechten Winkel hat.
- b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.
Geraden im Raum
Eine Gerade durch $A$ und $B$ hat die Parameterform
$$g:\ \vec x=\vec a+t\cdot\overrightarrow{AB},\quad t\in\mathbb{R}.$$$\vec a$ ist der Stützvektor, $\overrightarrow{AB}$ der Richtungsvektor. Jeder Wert von $t$ liefert einen Punkt der Geraden.
Punktprobe: Setze den Punkt für $\vec x$ ein und löse die drei Koordinatengleichungen nach $t$. Der Punkt liegt auf $g$, wenn alle drei Gleichungen dasselbe $t$ liefern.
Lage zweier Geraden: Prüfe zuerst, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.
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Ja: parallel oder identisch. Liegt ein Punkt der einen Geraden auf der anderen, sind sie identisch, sonst echt parallel.
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Nein: Gleichsetzen. Gibt es genau eine Lösung, schneiden sie sich, sonst sind sie windschief.
Gegeben sind die Punkte $A(1|2|3)$, $B(3|-2|5)$ und $C(5|-6|7)$. a) Bestimmen Sie den Vektor $\overrightarrow{AB}$. b) Geben Sie eine Gleichung der Geraden $g$ durch $A$…
Gegeben sind die Punkte $A(1|2|3)$, $B(3|-2|5)$ und $C(5|-6|7)$.
- a) Bestimmen Sie den Vektor $\overrightarrow{AB}$.
- b) Geben Sie eine Gleichung der Geraden $g$ durch $A$ und $B$ an und zeigen Sie, dass $C$ auf $g$ liegt.
Gegeben sind die Geraden $g: \vec x=t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ und…
Gegeben sind die Geraden $g: \vec x=t\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ und $h_a: \vec x=\begin{pmatrix}1\\2\\a\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\2\end{pmatrix}$ mit $s,t\in\mathbb{R}$ und einer reellen Zahl $a$.
- a) Zeigen Sie, dass $g$ und $h_a$ für jede Wahl von $a$ parallel oder identisch sind.
- b) Bestimmen Sie $a$ so, dass $g$ und $h_a$ identisch sind.
- c) Begründen Sie, dass für alle anderen Werte von $a$ die Geraden $g$ und $h_a$ keinen gemeinsamen Punkt haben.
Ebenen: Koordinatengleichung und Normalenvektor
Eine Ebene lässt sich durch eine Koordinatengleichung beschreiben:
$$E:\ ax+by+cz=d.$$Der Vektor $\vec n=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ ist ein Normalenvektor: Er steht senkrecht auf der Ebene, also auf jedem Verbindungsvektor zweier Punkte in $E$.
Punktprobe: Koordinaten einsetzen. Stimmt die Gleichung, liegt der Punkt in $E$.
Gegeben ist die Ebene $E: 2x+y-2z=6$. a) Prüfen Sie, ob der Punkt $P(3|2|1)$ in $E$ liegt. b) Geben Sie einen Normalenvektor von $E$ an und berechnen Sie dessen Länge.
Gegeben ist die Ebene $E: 2x+y-2z=6$.
- a) Prüfen Sie, ob der Punkt $P(3|2|1)$ in $E$ liegt.
- b) Geben Sie einen Normalenvektor von $E$ an und berechnen Sie dessen Länge.
Die Ebene $E$ schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten $A(2|0|0)$, $B(0|3|0)$ und $C(0|0|6)$. a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von $E$. b) Zeigen Sie,…
Die Ebene $E$ schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten $A(2|0|0)$, $B(0|3|0)$ und $C(0|0|6)$.
- a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von $E$.
- b) Zeigen Sie, dass der Punkt $D(1|1|1)$ in $E$ liegt.
Gegeben ist die Ebene $E: 2x-y+z=3$. Die Ebene $F$ hat die Gleichung $x+a\cdot y+3z=d$ mit reellen Zahlen $a$ und $d$. a) Bestimmen Sie $a$ so, dass $F$ senkrecht zu $E$…
Gegeben ist die Ebene $E: 2x-y+z=3$. Die Ebene $F$ hat die Gleichung $x+a\cdot y+3z=d$ mit reellen Zahlen $a$ und $d$.
- a) Bestimmen Sie $a$ so, dass $F$ senkrecht zu $E$ steht.
- b) Für den in a) bestimmten Wert von $a$ soll der Punkt $P(1|0|1)$ in $F$ liegen. Bestimmen Sie $d$.
- c) Begründen Sie, dass sich $E$ und $F$ schneiden.
Gerade und Ebene: Schnitt, Abstand, Spiegelung
Schnittpunkt von $g$ und $E$: Setze die Koordinaten der Geraden (abhängig von $t$) in die Ebenengleichung ein, löse nach $t$ auf und setze $t$ in $g$ ein.
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Genau ein $t$: ein Schnittpunkt.
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Falsche Aussage (z. B. $0=3$): $g$ parallel zu $E$, kein Schnittpunkt.
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Wahre Aussage ($0=0$): $g$ liegt in $E$.
Senkrecht ist $g$ zu $E$, wenn der Richtungsvektor ein Vielfaches des Normalenvektors ist.
Abstand eines Punktes $P$ von einer Ebene $E$ und Spiegelpunkt:
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Lotgerade $l$ durch $P$ mit Richtungsvektor $\vec n$ aufstellen.
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$l$ mit $E$ schneiden: Lotfußpunkt $L$.
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Abstand $d=|\overrightarrow{PL}|$.
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Spiegelpunkt: $\overrightarrow{OP'}=\overrightarrow{OP}+2\cdot\overrightarrow{PL}$, also $L$ ist der Mittelpunkt von $P$ und $P'$.
Gegeben sind die Gerade $g: \vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ mit $t\in\mathbb{R}$ und die Ebene $E: x+y+z=5$. a)…
Gegeben sind die Gerade $g: \vec x=\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$ mit $t\in\mathbb{R}$ und die Ebene $E: x+y+z=5$.
- a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von $g$ und $E$.
- b) Begründen Sie, dass $g$ nicht senkrecht zu $E$ verläuft.
Gegeben sind die Ebene $E: x+2y+2z=1$ und der Punkt $P(2|1|3)$. a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden $l$, die durch $P$ verläuft und senkrecht zu $E$ ist, sowie…
Gegeben sind die Ebene $E: x+2y+2z=1$ und der Punkt $P(2|1|3)$.
- a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden $l$, die durch $P$ verläuft und senkrecht zu $E$ ist, sowie die Koordinaten des Schnittpunkts $L$ von $l$ und $E$.
- b) Berechnen Sie den Abstand des Punktes $P$ von der Ebene $E$.
- c) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes $P'$, der durch Spiegelung von $P$ an $E$ entsteht.
Auf einen Blick
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Verbindungsvektor: $\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a$. Länge: $|\vec a|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$.
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Orthogonal: $\vec a\cdot\vec b=0$.
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Gerade: $\vec x=\vec a+t\vec u$. Punktprobe: dasselbe $t$ in allen drei Zeilen.
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Ebene: $ax+by+cz=d$ mit Normalenvektor $(a|b|c)$. Punktprobe durch Einsetzen.
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Schnitt Gerade–Ebene: Gerade in die Ebenengleichung einsetzen, $t$ bestimmen.
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Abstand und Spiegelung: Lotgerade, Lotfußpunkt, Abstand $|\overrightarrow{PL}|$, $P'=P+2\overrightarrow{PL}$.