Einfluss von n und p auf die Binomialverteilung

Lage, Maximum und Symmetrie

Für $X \sim B(n;p)$ gilt $\mu = E(X) = n \cdot p$. Dieser Wert ist der „Schwerpunkt“ des Histogramms. Das Maximum der Wahrscheinlichkeiten liegt bei der ganzen Zahl $k$ in der Nähe von $n \cdot p$.

Die Form hängt von $p$ ab:

• $p = 0{,}5$: Das Histogramm ist symmetrisch zu $k = \mu = \frac{n}{2}$.

• $p < 0{,}5$: Das Maximum liegt links der Mitte, der lange Ausläufer zeigt nach rechts. Das Histogramm ist rechtsschief (linkssteil).

• $p > 0{,}5$: Das Maximum liegt rechts der Mitte, der lange Ausläufer zeigt nach links. Das Histogramm ist linksschief (rechtssteil).

Für $p$ und $1-p$ vertauschen Treffer und Nieten ihre Rollen. Aus $k$ Treffern bei $p$ werden $n-k$ Treffer bei $1-p$. Deshalb sind die Histogramme von $B(n;p)$ und $B(n;1-p)$ spiegelbildlich zur Achse $k = \frac{n}{2}$.

Die Streuung hängt von n und p ab

Die Standardabweichung $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}$ misst die Breite des Histogramms.

Einfluss von $p$: Bei festem $n$ ist $p(1-p)$ am größten für $p = 0{,}5$. Dann ist $p(1-p) = 0{,}25$, für alle anderen $p$ ist es kleiner. Der Term $p(1-p)$ ist eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt bei $p = 0{,}5$. Für $p$ nahe 0 oder 1 sind die Histogramme schmal und hoch, bei $p = 0{,}5$ sind sie am breitesten und am flachsten.

Einfluss von $n$: Mit wachsendem $n$ wächst $\sigma$ wie $\sqrt{n}$. Vervierfacht man $n$, so verdoppelt sich $\sigma$. Das Histogramm wird breiter und verschiebt sich nach rechts (denn $\mu = np$ wächst). Weil die Summe der Wahrscheinlichkeiten immer 1 ist, werden die Balken dabei niedriger.

Histogramme zuordnen und Wahrscheinlichkeiten ablesen

Aufgaben im Abitur verlangen oft, ein Histogramm einer Verteilung $B(n;p)$ zuzuordnen. Man geht so vor:

1. $\mu = np$ berechnen und mit dem Maximum vergleichen.

2. $\sigma$ berechnen und mit der Breite vergleichen.

3. Aus $p$ die Form (symmetrisch, rechts- oder linksschief) ableiten.

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten wie $P(X \le k)$ bestimmt man mit dem Taschenrechner (WTR, binomiale Verteilungsfunktion). Für $P(a \le X \le b)$ rechnet man $P(X \le b) - P(X \le a-1)$.

Die Wahrscheinlichkeit im Bereich $\mu \pm \sigma$ ist ein guter Anhaltspunkt für die Breite. Für $p = 0{,}5$ und großes $n$ liegt sie bei etwa $68\,\%$. Bei kleinem $n$ oder schiefen Histogrammen weicht sie davon ab.

Relative Häufigkeiten und wachsender Stichprobenumfang

Oft interessiert nicht die Anzahl $X$ der Treffer, sondern der Anteil $\frac{X}{n}$. Für die relative Häufigkeit gilt:

Der Erwartungswert der relativen Häufigkeit bleibt also bei $p$. Die Streuung nimmt mit $\frac{1}{\sqrt{n}}$ ab. Bei größerer Stichprobe liegt der Anteil daher meist näher an $p$. Das ist die Grundlage von Umfragen und Qualitätskontrollen.

Die relative Streuung $\frac{\sigma}{\mu} = \sqrt{\frac{1-p}{np}}$ sinkt ebenfalls mit wachsendem $n$. Absolut wird die Streuung größer, im Verhältnis zum Erwartungswert aber kleiner.

Zurück zum Anfang: Bei 10 Losen mit $p = 0{,}2$ ist das Histogramm rechtsschief mit Maximum bei $k = 2$ und $\sigma \approx 1{,}26$. Bei 40 Losen liegt das Maximum bei $k = 8$, das Histogramm ist breiter ($\sigma \approx 2{,}53$) und die Balken sind niedriger. Bei $p = 0{,}8$ ergibt sich jeweils das Spiegelbild.

Auf einen Blick

• Für $X \sim B(n;p)$ gilt $\mu = np$. Das Maximum liegt in der Nähe von $np$.

• $p = 0{,}5$: symmetrisch. $p < 0{,}5$: rechtsschief. $p > 0{,}5$: linksschief. $B(n;p)$ und $B(n;1-p)$ sind spiegelbildlich ($k \leftrightarrow n-k$).

• $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$ ist bei festem $n$ für $p = 0{,}5$ am größten. Mit wachsendem $n$ wächst $\sigma$ wie $\sqrt{n}$, das Histogramm wird breiter und flacher.

• Für den Anteil $\frac{X}{n}$ gilt $E = p$ und $\frac{\sigma}{n} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$. Die Streuung des Anteils nimmt mit $\frac{1}{\sqrt{n}}$ ab.

• Histogramme ordnet man über $\mu$, $\sigma$ und die Form zu. Wahrscheinlichkeiten bestimmt man mit dem WTR.