Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeitsverteilung und Kenngrößen

Eine Glücksspiel-App erzeugt ganze Zahlen von $1$ bis $4$, alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Sei $X$ die erzeugte Zahl.

1. a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ in Form einer Tabelle an.
2. b) Berechnen Sie den Erwartungswert $\mu$.
3. c) Berechnen Sie die Standardabweichung $\sigma$ und runden Sie auf Hundertstel.

Zwei Münzen werden geworfen und die Anzahl $X$ der erzielten Köpfe wird gezählt.

1. a) Geben Sie die Ergebnismenge des Zufallsexperiments an und leiten Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$ her.
2. b) Berechnen Sie den Erwartungswert $\mu$ und interpretieren Sie ihn.
3. c) Berechnen Sie $P[X \ge 1]$.

Eine diskrete Zufallsgröße $X$ nimmt die Werte $1$, $2$, $3$ und $4$ an, mit folgender unvollständiger Wahrscheinlichkeitsverteilung:

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$p_i$	$0,15$	$k$	$0,35$	$0,25$

1. a) Berechnen Sie den Wert von $k$.
2. b) Bestimmen Sie $P[X \ge 3]$.
3. c) Bestimmen Sie $P[X < 2]$.

Geben Sie mit Begründung an, welche der folgenden Tabellen die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer diskreten Zufallsgröße sein können:

• Tabelle 1: Werte $1$, $2$, $3$ mit Wahrscheinlichkeiten $0,3$; $0,4$; $0,2$.

• Tabelle 2: Werte $1$, $2$, $3$, $4$ mit Wahrscheinlichkeiten $0,5$; $0,3$; $0,3$; $-0,1$.

• Tabelle 3: Werte $1$, $2$, $3$, $4$ mit Wahrscheinlichkeiten $0,25$; $0,25$; $0,25$; $0,25$.

Nennen Sie in jedem Fall die Bedingung(en), die erfüllt oder verletzt wird bzw. werden.

Die Verteilungsfunktion einer diskreten Zufallsgröße $X$ ist gegeben durch:

$F(0) = 0,2 \qquad F(1) = 0,5 \qquad F(2) = 0,8 \qquad F(3) = 1$

1. a) Berechnen Sie $P[X \le 2]$.
2. b) Berechnen Sie $P[X = 2]$.
3. c) Berechnen Sie $P[X > 1]$.

Die Abbildung zeigt die Verteilungsfunktion $F(x)$ einer diskreten Zufallsgröße $X$, die die Werte $0$, $1$, $2$ und $3$ annimmt.

1. a) Leiten Sie aus dem Graphen die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $X$ (die Werte $p_i = P[X = x_i]$) ab und geben Sie sie als Tabelle an.
2. b) Berechnen Sie $P[1 \le X < 3]$ mithilfe der Verteilungsfunktion.
3. c) Bestimmen Sie den Erwartungswert von $X$.

Ein Expresskurierdienst, der in Dortmund tätig ist, untersucht die Anzahl der gescheiterten Zustellversuche $X$, bevor ein Paket persönlich übergeben werden kann. Das geschätzte Wahrscheinlichkeitsmodell für jede Sendung lautet:

$P[X = 0] = 0,60$; $P[X = 1] = 0,25$; $P[X = 2] = 0,10$; $P[X = 3] = 0,05$, wobei nie ein vierter gescheiterter Versuch auftritt.

1. a) Geben Sie die kumulative Verteilungsfunktion $F(x) = P[X \le x]$ für jede reelle Zahl $x \in \mathbb{R}$ an, wobei Sie die Intervalle deutlich kennzeichnen und die Sprunghöhe an jedem möglichen Wert der Zufallsgröße bestimmen.
2. b) Jeder gescheiterte Zustellversuch verursacht Betriebskosten von $3$ € für Kraftstoff und die Arbeitszeit des Zustellers; hinzu kommen fixe Bearbeitungskosten von $2$ € je zugestelltem Paket. Stellen Sie die Gesamtkosten pro Paket $C$ als lineare Transformation von $X$ ($C = aX + b$) dar und berechnen Sie den Erwartungswert $E[C]$ der Kosten und deren Standardabweichung $\sigma_C$.
3. c) Das Unternehmen liefert an einem Tag $1.000$ Pakete aus. Welches Gesamtbudget plant es für diese Kosten ein? Erklären Sie, welches wahrscheinlichkeitstheoretische Prinzip sicherstellt, dass sich die tatsächlichen durchschnittlichen Kosten dieses Tages dem Wert $E[C]$ eng annähern.

Die kumulative Verteilungsfunktion der täglichen Anzahl technischer Störungen $X$ auf einer S-Bahn-Linie ist gegeben durch:

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } x < 0 \\ 0,40 & \text{für } 0 \le x < 1 \\ 0,75 & \text{für } 1 \le x < 2 \\ 0,95 & \text{für } 2 \le x < 3 \\ 1 & \text{für } x \ge 3 \end{cases}$$

1. a) Rekonstruieren Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $X$ (mit Angabe von $P[X = x_i]$ für jeden möglichen Wert) anhand der Sprünge von $F(x)$ und zeigen Sie, dass sie die beiden notwendigen Bedingungen für eine gültige Wahrscheinlichkeitsfunktion erfüllt.
2. b) Es ist bekannt, dass an einem bestimmten Tag mindestens eine Störung aufgetreten ist ($X \ge 1$). Berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass an diesem Tag genau $2$ Störungen registriert wurden.
3. c) Das Wartungsunternehmen verlangt eine tägliche Pauschale von $100$ €, die bis zu einer Störung abdeckt (bei $0$ oder $1$ Störung fällt kein Aufpreis an); ab der zweiten Störung (also für die zweite und die dritte) entstehen dagegen für jede zusätzliche Kosten von $150$ €. Modellieren Sie die Zufallsgröße $G$ (tägliche Kosten in Euro), bestimmen Sie ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion, berechnen Sie die zu erwartenden mittleren Kosten $E[G]$ und begründen Sie, warum sich $G$ nicht für alle Werte von $X$ als globale lineare Transformation der Form $aX + b$ ausdrücken lässt.

In einem Beutel eines Brettspiels befinden sich $20$ Punktkarten: $6$ Karten mit einer $1$, $4$ Karten mit einer $2$ und $10$ Karten mit einer $3$. Es wird zufällig eine Karte gezogen und ihre Punktzahl $X$ notiert.

1. a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $X$ als Tabelle an.
2. b) Berechnen Sie den Erwartungswert $\mu$ und deuten Sie ihn: Welche durchschnittliche Punktzahl pro Karte ist langfristig zu erwarten?
3. c) Berechnen Sie die Standardabweichung $\sigma$ und runden Sie auf Hundertstel.

Ausgehend von vereinfachten Daten des Statistischen Bundesamts (Destatis) zur Ausstattung der Haushalte in Deutschland wird die Anzahl $X$ der Pkw, die eine Familie besitzt, durch die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung modelliert:

$P[X = 0] = 0,20$, $P[X = 1] = 0,55$, $P[X = 2] = 0,20$ und $P[X = 3] = 0,05$.

1. a) Schätzen Sie begründet ab, bevor Sie rechnen: Zwischen welchen zwei ganzen Zahlen muss der Erwartungswert $\mu$ zwingend liegen, und welcher von beiden liegt er Ihrer Meinung nach näher? Begründen Sie dies, indem Sie untersuchen, wo sich die größte Wahrscheinlichkeit konzentriert.
2. b) Berechnen Sie den Erwartungswert $\mu$ und die Standardabweichung $\sigma$ exakt und vergleichen Sie den erhaltenen Erwartungswert mit Ihrer Abschätzung.
3. c) Ein Sprecher der Nachbarschaft behauptet: „Da der Mittelwert keine ganze Zahl an Autos ist, hat er keine reale Bedeutung zur Beschreibung einer echten Familie.“ Widerlegen Sie diese Aussage, indem Sie genau erklären, was der Erwartungswert langfristig bedeutet.

Eine diskrete Zufallsgröße $X$ nimmt die Werte $1$, $2$, $3$ und $4$ mit Wahrscheinlichkeiten an, die proportional zum Wert selbst sind: $P[X = x] = k \cdot x$.

1. a) Berechnen Sie den Wert der Konstanten $k$.
2. b) Bestimmen Sie den Erwartungswert $\mu$.
3. c) Zeigen Sie, dass die Varianz genau $1$ beträgt, und leiten Sie die Standardabweichung ab.

Amina untersucht die Zufallsgröße $X$ = „Anzahl der wöchentlichen Defekte eines Kopierers“ mit dieser Wahrscheinlichkeitsverteilung:

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$p_i$	$0,1$	$0,3$	$0,4$	$0,2$

Sie hat den Erwartungswert $\mu = 1,7$ berechnet und anschließend geschrieben:

„$\sigma^2 = \sum p_i \cdot x_i^2 - \mu = 3,7 - 1,7 = 2 \implies \sigma = \sqrt{2} \approx 1,41$“

1. a) Überprüfen Sie ihre Berechnung von $\sum p_i \cdot x_i^2$ und zeigen Sie, dass sie korrekt ist.
2. b) Finden Sie den Fehler in der Formel, die sie für die Varianz angewendet hat, und korrigieren Sie ihn.
3. c) Berechnen Sie die korrekte Standardabweichung.

Eine diskrete Zufallsgröße $X$ nimmt die Werte $0$, $1$, $2$ und $4$ an, und ihre Verteilungsfunktion erfüllt:

$F(0) = 0,1 \qquad F(1) = 0,5 \qquad F(2) = a \qquad F(4) = 1$

1. a) Der Erwartungswert der Verteilung ist $\mu = 2,2$. Stellen Sie die Gleichung auf, mit der $a$ bestimmt werden kann, und berechnen Sie den Wert.
2. b) Geben Sie die vollständige Wahrscheinlichkeitsfunktion von $X$ an.
3. c) Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung von $X$ und runden Sie auf Hundertstel.

Ein Glücksrad auf einem Jahrmarkt hat $8$ gleich große Sektoren mit den in der Abbildung zu sehenden Preisen: ein Sektor mit $10\ \text{€}$, zwei mit $5\ \text{€}$, drei mit $2\ \text{€}$ und zwei ohne Preis.

1. a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsgröße $X$ = „erzielter Preis bei einem Dreh“ an.
2. b) Berechnen Sie den durchschnittlichen Preis pro Dreh, $\mu$.
3. c) Ein Dreh kostet $3\ \text{€}$. Definieren Sie die Zufallsgröße $G$ = „Nettogewinn des Spielers“ (Preis minus Einsatz), berechnen Sie ihren Erwartungswert und entscheiden Sie begründet, ob es ratsam ist zu spielen.

Der Förderverein eines Gymnasiums veranstaltet eine Wohltätigkeitstombola: Er verkauft $200$ Lose zu je $2\ \text{€}$ mit einem Preis von $100\ \text{€}$, vier Preisen von $25\ \text{€}$ und zehn Preisen von $5\ \text{€}$.

1. a) Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsgröße $G$ = „Nettogewinn beim Kauf eines Loses“ an (Wert des Preises minus die $2\ \text{€}$, die das Los kostet).
2. b) Berechnen Sie den Erwartungswert von $G$.
3. c) Deuten Sie das Vorzeichen des Ergebnisses: Wenn der Erwartungswert negativ ist, wohin fließt dieses Geld? Widerspricht das dem wohltätigen Zweck der Tombola?

Zur Finanzierung der Abschlussfahrt der Jahrgangsstufe 13 entwerfen die Schüler ein Wohltätigkeits-Glücksrad. Die Zufallsgröße $X$ stellt den Nettogewinn in Euro einer Person nach einem Dreh dar und nimmt nur die Werte $-3$ € (bei Verlust des Einsatzes), $+1$ € (kleiner Preis) und $+k$ € (Hauptpreis, mit $k > 1$) an. Es wurde festgelegt, dass die Wahrscheinlichkeit zu verlieren $P[X = -3] = 0,40$ beträgt und die Wahrscheinlichkeit, einen Euro zu gewinnen, $P[X = 1] = 0,45$.

1. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit $P[X = k]$, den Hauptpreis zu erzielen, und begründen Sie, welche Eigenschaft von Wahrscheinlichkeitsverteilungen Sie verwenden.
2. b) Stellen Sie die Gleichung für den Erwartungswert auf und berechnen Sie den exakten Wert von $k$, für den das Spiel fair ist ($E[X] = 0$).
3. c) Wenn das Organisationsteam für die Fahrt einen mittleren erwarteten Erlös von $0,45$ € pro verkauftem Dreh sicherstellen möchte (d. h., der mittlere Nettogewinn des Spielers soll $E[X] = -0,45$ € betragen), welcher ganzzahlige Wert muss dem Preis $k$ zugewiesen werden?

An einer Bude auf dem Jahrmarkt wird mit zwei Würfeln gespielt: Man gewinnt $12\ \text{€}$, wenn ein Pasch fällt (beide Würfel gleich), $6\ \text{€}$, wenn die Augensumme $7$ beträgt, und sonst nichts.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit jedes Gewinns und die Wahrscheinlichkeit, nichts zu gewinnen. (Beachten Sie, dass „Pasch würfeln“ und „Augensumme $7$“ unvereinbare Ereignisse sind; warum?)
2. b) Bestimmen Sie den Erwartungswert des Gewinns pro Spiel und leiten Sie daraus ab, wie hoch der Einsatz sein müsste, damit das Spiel fair ist.
3. c) Wenn die Bude $4\ \text{€}$ pro Spiel verlangt, wem nützt das Spiel? Wie viel darf ein Spieler, der $100$ Spiele spielt, im Mittel an Gewinn oder Verlust erwarten?

Bei einem Schul-Schnellschachturnier in Berlin wird die pro Partie erzielte Punktzahl durch eine diskrete Zufallsgröße $X$ mit dem Erwartungswert $\mu_X = 4$ Punkte und der Standardabweichung $\sigma_X = 1,2$ Punkte modelliert. Für die finale Qualifikationsphase wendet die Organisation einen Korrekturschlüssel an, der durch die lineare Transformation $Y = 20 - 3X$ definiert ist.

Markus behauptet in seiner Abgabe: „Der neue Erwartungswert beträgt $\mu_Y = 20 - 3 \cdot 4 = 8$ Punkte und die neue Standardabweichung $\sigma_Y = -3 \cdot 1,2 = -3,6$ Punkte; die Punktzahlen streuen also weniger, weil das Vorzeichen der Skala umgekehrt wurde.“

1. a) Erkennen Sie den Denkfehler, den Markus bei der Berechnung der Standardabweichung gemacht hat, und erklären Sie ihn ausführlich.
2. b) Korrigieren Sie die Rechnung, indem Sie die richtigen Werte von $\mu_Y$ und $\sigma_Y$ bestimmen.
3. c) Begründen Sie mit eigenen Worten, warum eine Standardabweichung niemals negativ sein kann, und stützen Sie sich dabei auf ihre Definition als Streuungsmaß.

Die Wartezeit $X$ (in Minuten) auf den Schulbus an einer Haltestelle ist zwischen $0$ und $10$ Minuten gleichverteilt, d. h., ihre Dichtefunktion ist konstant: $f(x) = k$ für $x \in [0; 10]$ und $f(x) = 0$ außerhalb.

1. a) Berechnen Sie den Wert von $k$, wenn der Flächeninhalt unter der Dichtefunktion $1$ betragen muss.
2. b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, zwischen $2$ und $5$ Minuten zu warten.
3. c) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, mehr als $8$ Minuten zu warten, und erklären Sie, warum $P[X = 8] = 0$ gilt, obwohl es nicht unmöglich ist, genau $8$ Minuten zu warten.

Sei $X$ eine diskrete Zufallsgröße mit Erwartungswert $\mu$ und Standardabweichung $\sigma$, und sei $Y = a \cdot X + b$ eine neue Zufallsgröße, die durch eine lineare Transformation von $X$ entsteht.

1. a) Zeigen Sie anhand der Definition des Erwartungswerts, dass $\mu_Y = a \cdot \mu + b$.
2. b) Zeigen Sie, dass $\sigma_Y = |a| \cdot \sigma$. Warum beeinflusst die Konstante $b$ die Streuung nicht?
3. c) Anwendung: In einer Klausur haben die Noten den Erwartungswert $6,2$ und die Standardabweichung $1,4$. Der Lehrer beschließt, jede Note $X$ in $Y = 0,9 \cdot X + 1$ umzuwandeln. Berechnen Sie den neuen Erwartungswert und die neue Standardabweichung.

Um die Streuung der Punktzahlen in einem Auswahltest zu analysieren, wird eine diskrete Zufallsgröße $X$ definiert, die nur vier hohe Werte annimmt: $200$, $204$, $208$ und $212$, mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten $0,15$, $0,35$, $0,30$ bzw. $0,20$. Zur Berechnung der Standardabweichung $\sigma_X$ werden zwei Methoden diskutiert:

• Methode A (direkte Berechnung): $\mu_X = \sum x_i p_i$ berechnen, dann $\sum x_i^2 p_i$ (mit Größen über $40.000$) und $\sigma_X = \sqrt{\sum x_i^2 p_i - \mu_X^2}$ anwenden.

• Methode B (lineare Substitution): Eine reduzierte Zufallsgröße $Y = \frac{X - 200}{4}$ definieren, den Erwartungswert $\mu_Y$ und die Standardabweichung $\sigma_Y$ dieser vereinfachten Zufallsgröße berechnen (deren Werte lediglich $0, 1, 2, 3$ sind) und daraus $\mu_X$ und $\sigma_X$ zurückgewinnen.

1. a) Wenden Sie Methode B an: Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $Y$ an, berechnen Sie $\mu_Y$ und $\sigma_Y$ und bestimmen Sie daraus $\mu_X$ und $\sigma_X$ mithilfe der Eigenschaften linearer Transformationen.
2. b) Wenden Sie Methode A zur Kontrolle des Ergebnisses an und vergleichen Sie beide Verfahren: Welches Risiko von Rundungsfehlern bzw. Genauigkeitsverlust birgt Methode A im Vergleich zu Methode B, wenn man mit einem Taschenrechner begrenzter Genauigkeit arbeitet?
3. c) Begründen Sie theoretisch, warum die Subtraktion $-200$ den Erwartungswert verschiebt, die Streuung aber überhaupt nicht verändert, während die Division durch $4$ sowohl den Erwartungswert als auch die Standardabweichung skaliert.

Die Zeit (in Minuten), die ein Server nach einem Neustart zum Hochfahren benötigt, ist eine stetige Zufallsgröße $X$ mit der Dichtefunktion $f(x) = k \cdot x$ für $x \in [0; 4]$ und $f(x) = 0$ sonst, dargestellt in der Abbildung.

1. a) Berechnen Sie den Wert von $k$, wenn bekannt ist, dass der gesamte Flächeninhalt unter der Dichtefunktion $1$ betragen muss.
2. b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Server weniger als $2$ Minuten zum Hochfahren braucht.
3. c) Berechnen Sie den Median von $X$ (den Wert $m$ mit $P[X \le m] = \frac{1}{2}$) und den Erwartungswert $\mu$. Welcher der beiden Werte ist größer? Worauf führen Sie das zurück?