Stochastik ohne Hilfsmittel
Im Prüfungsteil A des Zentralabiturs hast du weder Taschenrechner noch Tabellen. Die Zahlen sind deshalb so gewählt, dass du mit Brüchen und einfachen Dezimalzahlen im Kopf oder auf dem Papier auskommst. Eine typische Frage: Auf dem Weihnachtsmarkt in Münster fällt ein Schnelltest positiv aus – wie wahrscheinlich ist die Person wirklich krank? Am Ende dieser Seite kannst du das ganz ohne Rechner beantworten.
Urne, Baumdiagramm und Pfadregeln
Beim Ziehen ohne Zurücklegen ändert sich nach jedem Zug der Inhalt der Urne. Die Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen der zweiten Stufe hängen also vom ersten Zug ab.
Der Grund: Von „zuerst rot“ geht nur ein Teil der Fälle weiter zu „dann rot“. Du nimmst also einen Anteil von einem Anteil.
In einer Urne befinden sich 5 rote und 3 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass…
In einer Urne befinden sich 5 rote und 3 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen gezogen.
- a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide Kugeln rot sind.
- b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden Kugeln verschiedene Farben haben.
Ereignisse, Vierfeldertafel und Unabhängigkeit
Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ gilt der Additionssatz:
Zum Nachweis rechnest du beide Seiten getrennt aus und vergleichst sie. Eine Vierfeldertafel ordnet alle Werte übersichtlich:
| $B$ | $\overline{B}$ | Summe | |
|---|---|---|---|
| $A$ | $P(A\cap B)$ | $P(A\cap\overline{B})$ | $P(A)$ |
| $\overline{A}$ | $P(\overline{A}\cap B)$ | $P(\overline{A}\cap\overline{B})$ | $P(\overline{A})$ |
| Summe | $P(B)$ | $P(\overline{B})$ | 1 |
Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ gilt $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ und $P(A\cap B)=0{,}2$. a) Berechnen Sie $P(A\cup B)$. b) Zeigen Sie, dass $A$ und $B$ stochastisch…
Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ gilt $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ und $P(A\cap B)=0{,}2$.
- a) Berechnen Sie $P(A\cup B)$.
- b) Zeigen Sie, dass $A$ und $B$ stochastisch unabhängig sind.
Die Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig. Es gilt $P(A)=0{,}5$ und $P(A\cup B)=0{,}8$. a) Bestimmen Sie $P(B)$. b) Berechnen Sie $P(A\cap\overline{B})$.
Die Ereignisse $A$ und $B$ sind stochastisch unabhängig. Es gilt $P(A)=0{,}5$ und $P(A\cup B)=0{,}8$.
- a) Bestimmen Sie $P(B)$.
- b) Berechnen Sie $P(A\cap\overline{B})$.
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Tests
Die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist, heißt $P_B(A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$. Umgestellt ergibt sich die 1. Pfadregel: $P(A\cap B)=P(B)\cdot P_B(A)$.
Bei einem Test mit Wahrscheinlichkeiten für „krank“ und „positiv“ fragt man oft rückwärts: Die Person ist positiv – wie wahrscheinlich ist sie krank? Das löst du mit einem Baumdiagramm oder einer Vierfeldertafel. Der Trick: Rechne mit einer anschaulichen Gesamtzahl, z. B. 1000 Personen.
Wir lösen damit den Einstieg: Bei 10 % Kranken, 0,8 und 0,1 ergibt sich $P(\text{positiv})=0{,}1\cdot0{,}8+0{,}9\cdot0{,}1=0{,}17$ und $P_{\text{positiv}}(\text{krank})=\frac{0{,}08}{0{,}17}=\frac{8}{17}$.
Von den Besuchern eines Weihnachtsmarkts sind 10 % krank. Ein Schnelltest fällt bei Kranken mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 positiv aus, bei Gesunden mit der…
Von den Besuchern eines Weihnachtsmarkts sind 10 % krank. Ein Schnelltest fällt bei Kranken mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 positiv aus, bei Gesunden mit der Wahrscheinlichkeit 0,1 positiv aus.
- a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test bei einer zufällig ausgewählten Person positiv ausfällt.
- b) Die Person hat ein positives Testergebnis. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie krank ist.
Zufallsgröße, Erwartungswert und Varianz
Eine Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis eine Zahl zu, etwa den Gewinn bei einem Glücksrad. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung listet alle Werte $x_i$ mit $P(X=x_i)$ auf. Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ist 1.
Der Erwartungswert ist der Wert, um den sich der Durchschnitt bei sehr vielen Wiederholungen einpendelt. Ein Spiel mit Einsatz $e$ ist fair, wenn $E(X)=e$ gilt, der mittlere Gewinn also null ist.
Bei einem Glücksrad auf der Kirmes tritt „0 €“ mit der Wahrscheinlichkeit $\frac12$, „2 €“ mit der Wahrscheinlichkeit $\frac13$ und „6 €“ mit der Wahrscheinlichkeit…
Bei einem Glücksrad auf der Kirmes tritt „0 €“ mit der Wahrscheinlichkeit $\frac12$, „2 €“ mit der Wahrscheinlichkeit $\frac13$ und „6 €“ mit der Wahrscheinlichkeit $\frac16$ auf. Die Zufallsgröße $X$ beschreibt den ausgezahlten Betrag in Euro bei einmaligem Drehen.
- a) Berechnen Sie den Erwartungswert von $X$.
- b) Geben Sie an, bei welchem Einsatz das Spiel fair ist.
Die Zufallsgröße $X$ hat die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: | $x_i$ | 0 | 1 | 2 | 3 | |---|---|---|---|---| | $P(X=x_i)$ | 0,1 | 0,4 | $a$ | 0,2 | a) Bestimmen…
Die Zufallsgröße $X$ hat die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:
| $x_i$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| $P(X=x_i)$ | 0,1 | 0,4 | $a$ | 0,2 |
- a) Bestimmen Sie $a$.
- b) Berechnen Sie den Erwartungswert von $X$.
Binomialverteilung ohne Rechner
Ein Zufallsexperiment ist eine Bernoulli-Kette der Länge $n$, wenn es $n$ gleiche, unabhängige Versuche mit nur zwei Ausgängen (Treffer/Niete) gibt und die Trefferwahrscheinlichkeit $p$ konstant ist. Die Anzahl $X$ der Treffer ist dann binomialverteilt, $X\sim B(n;p)$.
Der Binomialkoeffizient $\binom nk$ steht im Formelblatt oder lässt sich für kleine Zahlen leicht ausrechnen: $\binom31=3$, $\binom32=3$, $\binom{n}{1}=n$, $\binom n0=1$.
Ein Würfel wird dreimal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie oft dabei die Augenzahl „6“ auftritt. a) Begründen Sie, dass $X$ binomialverteilt ist, und geben Sie…
Ein Würfel wird dreimal geworfen. Die Zufallsgröße $X$ gibt an, wie oft dabei die Augenzahl „6“ auftritt.
- a) Begründen Sie, dass $X$ binomialverteilt ist, und geben Sie die Parameter $n$ und $p$ an.
- b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eine „6“ auftritt.
- c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eine „6“ auftritt.
a) Eine faire Münze wird $n$-mal geworfen. Bestimmen Sie die kleinste Zahl $n$, für die mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens einmal „Zahl“ fällt.…
- a) Eine faire Münze wird $n$-mal geworfen. Bestimmen Sie die kleinste Zahl $n$, für die mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 % mindestens einmal „Zahl“ fällt.
- b) Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=8$ und $p=0{,}25$. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von $X$.
Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=20$ und dem Erwartungswert $\mu=5$. a) Bestimmen Sie die Trefferwahrscheinlichkeit $p$. b) Die Zufallsgröße $Y$ ist…
Die Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=20$ und dem Erwartungswert $\mu=5$.
- a) Bestimmen Sie die Trefferwahrscheinlichkeit $p$.
- b) Die Zufallsgröße $Y$ ist binomialverteilt mit $n=20$ und $p=0{,}75$. Begründen Sie, dass $P(Y=15)=P(X=5)$ gilt.
- c) Beschreiben Sie, wie sich das Histogramm von $Y$ aus dem Histogramm von $X$ ergibt.