Trigonometrische Funktionen

Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Wertemenge der trigonometrischen Funktion $f(x) = -4\cos(x) + 2$.

Berechnen Sie die Periode der Funktion $g(t) = \sin\left(\frac{\pi}{3}t\right)$.

Untersuchen Sie die Symmetrie (gerade, ungerade oder keine) der folgenden trigonometrischen Funktionen:

• $f(x) = x^2 \sin(x)$

• $g(x) = \cos(x) + x^4$

Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion $h(x) = 2\sin(x) - 1$ im Intervall $[0; 2\pi]$.

Werten Sie die Funktion $f(x) = \tan(x)$ an den folgenden exakten Werten im Bogenmaß aus:

• $x = \frac{3\pi}{4}$

• $x = \frac{5\pi}{3}$

Bestimmen Sie die Definitionsmenge der Funktion $f(x) = \frac{1}{2\cos(x) - 1}$ im Intervall $[0;2\pi]$.

Um alle senkrechten Asymptoten der Funktion $f(x) = \tan\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$ im abgeschlossenen Intervall $[0;\pi]$ zu bestimmen, schlagen zwei Schüler zwei verschiedene Strategien vor:

• Methode A (rechnerisch): Man stellt die Bedingung für die Nichtdefiniertheit des Tangens auf, indem man das Argument mit den allgemeinen verbotenen Werten $2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi$ mit $k \in \mathbb{Z}$ gleichsetzt, nach $x$ auflöst und die ganzzahligen Werte von $k$ auswählt, die Lösungen im Intervall $[0;\pi]$ liefern.

• Methode B (geometrisch durch Transformationen): Man nimmt die Standard-Asymptoten des Tangens $x = -\frac{\pi}{2}$ und $x = \frac{\pi}{2}$, wendet darauf zuerst die horizontale Verschiebung (nach rechts) und dann die horizontale Stauchung (Faktor $1/2$) an und addiert von dort aus die neue Periode.

1. a) Wenden Sie beide Methoden an, geben Sie die Zwischenschritte an und überprüfen Sie, dass beide in $[0;\pi]$ zu denselben Asymptoten führen.
2. b) Vergleichen Sie beide Wege: Welchen halten Sie für zuverlässiger und weniger anfällig dafür, Lösungen zu übersehen, wenn das geforderte Intervall viel größer wäre, zum Beispiel $[0;10\pi]$? Begründen Sie Ihre Wahl.

Gegeben ist die Funktion $y = 5 - 3\sin(2x)$. Bestimmen Sie ihre Amplitude und ihre Verschiebung in y-Richtung gegenüber der Sinusfunktion.

Geben Sie den Funktionsterm einer Funktion der Form $f(x) = A\cos(Bx)$ an, wenn ihre Amplitude $5$ und ihre Periode $4\pi$ beträgt.

Geben Sie den Funktionsterm einer trigonometrischen Funktion der Form $f(x) = A\cos(Bx) + D$ (mit $A > 0$ und $B > 0$) an, die gleichzeitig die folgenden drei Bedingungen erfüllt:

1. Ihre Wertemenge ist das Intervall $[-1; 7]$.

2. Ihre kleinste Periode beträgt $4$ Einheiten.

3. Bei $x = 0$ nimmt die Funktion eines ihrer absoluten Maxima an.

Begründen Sie Schritt für Schritt, wie Sie den Wert jedes der Parameter $A$, $B$ und $D$ aus den gegebenen geometrischen Eigenschaften herleiten.

Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion $f(x) = A\sin(Bx) + C$, wenn gilt:

• Ihr Maximalwert ist $4$ und ihr Minimalwert ist $-2$.

• Ihre Periode ist $\pi$.

• Sie verläuft durch den Punkt $(0|1)$ und ist dort streng monoton steigend.

Bestimmen Sie die Werte der Parameter $a$, $b$ und $c$ (mit $a > 0$ und $b > 0$) der Funktion $f(x) = a\sin(bx) + c$, wenn gilt:

• Der Maximalwert der Funktion ist $10$.

• Der Minimalwert der Funktion ist $2$.

• Die Periode der Funktion ist $\frac{\pi}{2}$.

Berechnen Sie ohne Taschenrechner den exakten Wert im Bogenmaß der folgenden Terme mit Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen:

• $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

• $\arccos(0)$

• $\arctan(\sqrt{3})$

Eine Beobachtungskamera steht $50\text{ m}$ von der Startrampe einer Rakete entfernt. Die Rakete steigt senkrecht auf.

• Drücken Sie den Elevationswinkel $\theta$ der Kamera als Umkehrfunktion einer trigonometrischen Funktion der Höhe $h$ der Rakete aus.

• Berechnen Sie den exakten Elevationswinkel (im Bogenmaß und in Grad), wenn sich die Rakete in einer Höhe von $50\sqrt{3}\text{ m}$ befindet.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = 2\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + \pi$:

• Bestimmen Sie ihre Definitionsmenge.

• Bestimmen Sie ihre Wertemenge.

Lösen Sie die Gleichung mit Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen rechnerisch: $\arcsin(x) = \arccos(x)$.

In einer Klassenarbeit soll die verkettete Funktion $g(x) = \arccos(\cos x)$ vereinfacht und ihr exakter Wert für $x = \frac{7\pi}{4}$ berechnet werden. Marta schreibt in ihrer Arbeit:

„Da der Arkuskosinus die Umkehrfunktion des Kosinus ist, heben sich beide Funktionen direkt auf, also gilt $\arccos(\cos x) = x$ für jede reelle Zahl $x$. Folglich ist $\arccos\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right) = \frac{7\pi}{4}$.“

1. a) Erklären Sie sorgfältig, warum Martas allgemeine Überlegung falsch ist. Beziehen Sie sich in Ihrer Erklärung ausdrücklich darauf, dass die Kosinusfunktion auf $\mathbb{R}$ nicht injektiv ist, und darauf, wie die Wertemenge der Arkuskosinusfunktion formal definiert ist.
2. b) Bestimmen Sie den exakten Zahlenwert von $\arccos\left(\cos\left(\frac{7\pi}{4}\right)\right)$ und begründen Sie das Ergebnis mithilfe des Einheitskreises oder der Symmetrieeigenschaften der trigonometrischen Funktionen.
3. c) Leiten Sie eine vereinfachte Formel für $g(x) = \arccos(\cos x)$ her, die speziell dann gilt, wenn $x$ im Intervall $[\pi; 2\pi]$ liegt.

Die Höhe $h$ (in Metern), in der sich eine Gondel eines Riesenrads über dem Boden befindet, ist in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten) durch den abgebildeten Graphen gegeben.

Bestimmen Sie anhand des Graphen den Funktionsterm in der Form $h(t) = A\cos(Bt) + C$. Begründen Sie die Werte der Parameter $A$, $B$ und $C$.

Die Wassertiefe $d$ (in Metern) an der Hafeneinfahrt schwankt mit den Gezeiten und kann durch die Funktion $d(t) = 12 + 4\sin\left(\frac{\pi}{6}t\right)$ modelliert werden, wobei $t$ die seit Mitternacht vergangene Zeit in Stunden ist ($t=0$).

• Wie groß sind die maximale und die minimale Wassertiefe im Hafen?

• Zu welchen Uhrzeiten wird die maximale Wassertiefe zum ersten und zum zweiten Mal erreicht?

Die Spannung $V$ (in Volt) eines Wechselstromkreises ist in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Sekunden) durch $V(t) = 311\sin(100\pi t)$ gegeben.

• Berechnen Sie die Frequenz des Stroms (Anzahl der vollständigen Perioden pro Sekunde).

• Bestimmen Sie den ersten Zeitpunkt $t > 0$, zu dem die Spannung ihren Maximalwert von $311$ V erreicht.

Die Position eines an einer Feder hängenden Gewichts, das senkrecht schwingt, wird durch die Funktion $y(t) = -5\cos(4\pi t)$ modelliert, wobei $y$ die Auslenkung in cm aus der Ruhelage ($y=0$) und $t$ die Zeit in Sekunden ist.

• Wie groß sind Amplitude und Periode der Bewegung?

• Zu welchem Zeitpunkt $t > 0$ geht das Gewicht zum ersten Mal durch die Ruhelage?

An einem Frühlingstag in Córdoba wird die Außentemperatur $T$ (in $^{\circ}\text{C}$) im Verlauf eines ganzen Tages durch das folgende Modell gut angenähert:

wobei $t$ die seit Mitternacht vergangene Zeit in Stunden ist ($t = 0$).

1. a) Schätzen Sie ohne Rechnung mit der Formel intuitiv ab, zu welcher Uhrzeit Sie die Tiefst- und die Höchsttemperatur erwarten würden und welche Temperatur Sie gegen $12:00$ mittags und gegen $18:00$ erwarten würden.
2. b) Berechnen Sie nun mit dem Funktionsterm die exakten Werte der Höchsttemperatur, der Tiefsttemperatur sowie der Temperatur um $12:00$ ($t = 12$) und um $18:00$ ($t = 18$).
3. c) Vergleichen Sie Ihre vorherigen Schätzungen mit den Ergebnissen des Modells: Stimmen Ihre Erwartungen mit dem Schaubild eines gespiegelten und verschobenen Kosinus überein? Begründen Sie, dass das physikalische Ergebnis zum mathematischen Term passt.

In einer Stadt lässt sich die Anzahl der Sonnenstunden im Lauf des Jahres durch eine Funktion der Form $L(t) = A\cos\left(\frac{2\pi}{365}(t - C)\right) + D$ annähern, wobei $t$ der Tag des Jahres ist ($t=1$ ist der 1. Januar).

Der Tag mit den meisten Sonnenstunden ist der 21. Juni ($t=172$) mit $15$ Stunden, der Tag mit den wenigsten Sonnenstunden ist der 21. Dezember ($t=355$) mit $9$ Stunden:

• Bestimmen Sie die Werte der Parameter $A$, $C$ und $D$.

• Schätzen Sie die Anzahl der Sonnenstunden am 21. März ($t=80$).

Der monatliche Absatz $S$ (in Tausend Stück) eines Saisonprodukts wird durch die Funktion $S(t) = 120 + 20t + 50\cos\left(\frac{\pi}{6}t\right)$ modelliert, wobei $t$ die Zeit in Monaten ist ($t=0$ entspricht Januar).

• Berechnen Sie den Absatz im Januar ($t=0$) und im Juli ($t=6$).

• Zeigen Sie rechnerisch, ob der Absatz im Juli größer oder kleiner ist als im Januar, und berechnen Sie die exakte Differenz.

Im Hafen von Santander verursachen die Gezeiten eine periodische Schwankung des Wasserstands. An einem bestimmten Tag mit Springflut werden die folgenden offiziellen Daten zu Hochwasser und Niedrigwasser erfasst:

• Ein Niedrigwasser (minimaler Wasserstand) tritt um 03:00 Uhr mit einem Pegel von $0,8\text{ m}$ auf.

• Das nächste Hochwasser (maximaler Wasserstand) tritt um 09:12 Uhr ($t = 9,2\text{ h}$) auf und erreicht $4,6\text{ m}$.

• Der Gezeitenzyklus ist halbtägig und hat eine vollständige Periode von $12,4\text{ Stunden}$.

1. a) Konstruieren Sie begründet eine Funktion der Form $h(t) = A\cos(B(t - C)) + D$ (mit $A > 0$), die die Wasserhöhe in Metern in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Stunden seit Mitternacht, $t=0$) modelliert. Begründen Sie rechnerisch die Herleitung der vier Parameter $A$, $B$, $C$ und $D$.
2. b) Ein Frachtschiff benötigt einen Mindesttiefgang des Wassers von $3,65\text{ m}$, um ohne Aufzusetzen in die Hafeneinfahrt einlaufen zu können. Stellen Sie die zugehörige trigonometrische Ungleichung auf und bestimmen Sie rechnerisch das Zeitfenster am Vormittag (zwischen 03:00 und 15:00 Uhr), in dem die Einfahrt in den Hafen für dieses Schiff sicher ist.

Projektaufgabe zum Thema. „Der tägliche Energiepuls“. Sie untersuchen den Zusammenhang zwischen Klima und Verbrauch in Ihrem Bundesland, um Maßnahmen zur Energieeffizienz in Ihrem Umfeld vorzuschlagen.

1. Datenerhebung: Rufen Sie die Webseiten der Bundesnetzagentur (SMARD) und des Deutschen Wetterdienstes auf. Erfassen Sie in einer Tabellenkalkulation die stündlichen Daten ($24$ Stunden eines Tages) zu Stromnachfrage und Temperatur Ihres Kreises.

2. Modellierung in GeoGebra:

3. Modellieren Sie die Temperaturschwankung durch eine trigonometrische Funktion $f(t) = A\cos(B(t-C)) + D$.

4. Passen Sie die Nachfragekurve durch ein Polynom $P(t)$ an und berechnen Sie seine Ableitung $P'(t)$, um die Stunden mit dem schnellsten Verbrauchsanstieg zu bestimmen.

5. Modellieren Sie die Leistung der Klimatisierung in Abhängigkeit von der Außentemperatur mit einer gebrochenrationalen Funktion und einer Wurzelfunktion.

6. Stellen Sie die Sättigungsreaktion des Netzes bei einer Temperaturspitze mit einem Exponential- und einem Logarithmusmodell dar.

7. Begründeter Vorschlag: Erstellen Sie einen kurzen Bericht (höchstens $2$ Seiten) mit den übereinandergelegten Schaubildern, in dem Sie begründen, welcher Funktionstyp jedes Phänomen am besten beschreibt, und Sparhinweise auf Grundlage der festgestellten Asymptoten und Extremstellen geben.

Bewertet werden:

• Sorgfalt beim Import realer Daten und beim Anpassen der Funktionsparameter in GeoGebra.

• Richtige Verwendung der Ableitung von Polynomen und der wesentlichen Eigenschaften jeder Funktion (Periodizität, Asymptoten, Krümmung).

• Kritische Fähigkeit, das beste Modell auszuwählen und die Vorschläge mathematisch zu begründen.

Gegeben sind die Funktionen $f(x) = \sin(2x)$ und $g(x) = \sin(x)$. Berechnen Sie rechnerisch die exakten Koordinaten aller Schnittpunkte beider Kurven im Intervall $[0; 2\pi]$. (Tipp: Verwenden Sie die Formel für den Sinus des doppelten Winkels.)

Bestimmen Sie die Definitionsmenge der auf das Intervall $[0; 2\pi]$ eingeschränkten Funktion $f(x) = \sqrt{\cos(x)} + \ln(\sin(x))$.

Schreiben Sie die Funktion $f(x) = \sqrt{3}\sin(x) + \cos(x)$ in der Form $f(x) = A\sin(x + \alpha)$. Geben Sie anhand dieses neuen Terms die Amplitude und die Phasenverschiebung der Funktion an.

Ein Rechteck wird einem Halbkreis mit Radius $R = 10\text{ cm}$ einbeschrieben, sodass seine Grundseite auf dem Durchmesser des Halbkreises liegt, wie die Abbildung zeigt.

Sei $\theta$ der Winkel, den der Radius zu einer oberen Ecke des Rechtecks mit dem Durchmesser bildet.

• Drücken Sie den Flächeninhalt des Rechtecks in Abhängigkeit vom Winkel $\theta$ aus. (Tipp: Verwenden Sie die Formel für den Sinus des doppelten Winkels.)

• Für welchen Wert von $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ist der Flächeninhalt des Rechtecks maximal, und wie groß ist dieser Maximalwert?