Aufgaben: Wurzelfunktion als Umkehrfunktion

Gegeben ist $f(x) = x^2$ für $x\ge 0$.

1. a) Geben Sie die Umkehrfunktion $f^{-1}$ an.
2. b) Nennen Sie Definitions- und Wertebereich von $f^{-1}$.

Gegeben ist $g(x) = \sqrt{x}$.

1. a) Berechnen Sie $g(0)$, $g(4)$ und $g(9)$.
2. b) Geben Sie die Koordinaten der entsprechenden Punkte der Umkehrfunktion an.

Bestimmen Sie die maximale Definitionsmenge von $h(x) = \sqrt{x - 5}$ und geben Sie den Wertebereich an.

Gegeben ist $f(x) = x^2 + 1$ für $x\ge 0$.

1. a) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion $f^{-1}$ mit Definitions- und Wertebereich.
2. b) Berechnen Sie $f^{-1}(10)$.
3. c) Begründen Sie, warum die Einschränkung $x\ge0$ notwendig ist.

Gegeben ist $g(x) = \sqrt{2x - 4} + 1$.

1. a) Bestimmen Sie Definitions- und Wertebereich.
2. b) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion $g^{-1}$.
3. c) Geben Sie Definitions- und Wertebereich von $g^{-1}$ an.

Der Graph von $f(x) = \sqrt{x}$ wird an der Geraden $y=x$ gespiegelt.

1. a) Geben Sie die Funktionsgleichung des Spiegelbilds samt Definitionsbereich an.
2. b) Zeigen Sie, dass der Punkt $P(4|2)$ auf dem Graphen von $f$ liegt, und geben Sie den Spiegelpunkt $P'$ an.
3. c) Bestimmen Sie die Schnittpunkte beider Graphen.

Gegeben ist $f(x) = \sqrt{x}$ für $x\ge0$.

1. a) Bestimmen Sie $f'(x)$ für $x>0$ und begründen Sie, dass $f$ streng monoton wachsend ist.
2. b) Bestimmen Sie die Steigung von $f$ im Punkt $P(4|2)$ und mit Hilfe der Umkehrfunktion die Steigung des Spiegelbilds im Punkt $P'(2|4)$.
3. c) Überprüfen Sie das Ergebnis aus b) durch direktes Ableiten der Umkehrfunktion.

Gegeben ist $f(x) = \sqrt{x+1} - 1$.

1. a) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion samt Definitions- und Wertebereich.
2. b) Bestimmen Sie die Schnittpunkte von $f$ und $f^{-1}$ mit der Geraden $y=x$ und begründen Sie, dass sich dort auch die Graphen von $f$ und $f^{-1}$ schneiden.
3. c) Beurteilen Sie, ob $f$ und $f^{-1}$ weitere Schnittpunkte besitzen können.

Gegeben ist $f(x) = e^{x}$ und ihre Umkehrfunktion $\ln$.

1. a) Begründen Sie, dass der Graph von $\ln$ durch Spiegelung an $y=x$ aus dem Graphen von $f$ hervorgeht.
2. b) Bestimmen Sie die Tangente an den Graphen von $f$ in $P(0|1)$ und daraus durch Spiegelung die Tangente an den Graphen von $\ln$ in $(1|0)$.
3. c) Zeigen Sie, dass $\ln x \le x - 1$ für alle $x>0$ gilt.