Exponential- und Logarithmusgleichungen

Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen, indem Sie beide Seiten als Potenzen derselben Basis schreiben:

1. a) $2^{x} = 8$

1. b) $3^{x} = \frac{1}{9}$

1. c) $5^{x} = 25$

1. d) $10^{x} = 0,001$

Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen, bei denen die Variable in einem Term im Exponenten steht:

1. a) $3^{x + 1} = 27$

1. b) $2^{3x} = 16$

1. c) $5^{2 - x} = 125$

Zum Lösen der Exponentialgleichung $8^{x-1} = 4^{x+2}$ schlagen zwei Schüler verschiedene Wege vor:

• Paula meint, am direktesten sei es, die Basen als Potenzen von $2$ zu schreiben ($8 = 2^3$ und $4 = 2^2$) und die entstehenden Exponenten gleichzusetzen.

• Sergio schlägt vor, direkt auf beiden Seiten den dekadischen Logarithmus zu bilden: $\log(8^{x-1}) = \log(4^{x+2})$, und die Exponenten mit dem Logarithmusgesetz für Potenzen herunterzuholen.

1. a) Lösen Sie die Gleichung mit dem Verfahren von Paula.
2. b) Begründen Sie, warum beide Verfahren mathematisch gültig sind, und beurteilen Sie, welches in diesem Fall vorteilhafter und weniger fehleranfällig ist.

Lösen Sie die Gleichung $2^{x + 1} + 2^{x} + 2^{x - 1} = 28$, indem Sie die kleinste Potenz ausklammern. Prüfen Sie die Lösung.

Lösen Sie mithilfe der Definition des Logarithmus:

1. a) $\log_{2} x = 5$

1. b) $\log_{3} x = -2$

1. c) $\log x = 4$

1. d) $\ln x = 0$

Lösen Sie, indem Sie die passende Umkehrfunktion anwenden:

1. a) $\ln x = 4$

1. b) $e^{x} = 7$

1. c) $10^{x} = 45$

1. d) $\log x = 2,5$

Lösen Sie die Gleichungen:

1. a) $\log_{2} x + \log_{2} 4 = 5$

1. b) $\log_{5} x - \log_{5} 2 = 2$

Lösen Sie die Logarithmusgleichung $\log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x + 1) = 3$ und prüfen Sie die Gültigkeit jeder möglichen Lösung.

Lösen Sie die Gleichung $\log x + \log(x + 3) = 1$, wobei $\log$ den dekadischen Logarithmus bezeichnet. Warum muss eine der Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung verworfen werden?

Ein Schüler löst die Gleichung $\log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x - 3) = 3$ so:

„$\log_{2}[(x - 1)(x - 3)] = 3 \Rightarrow (x - 1)(x - 3) = 8 \Rightarrow x^{2} - 4x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ und $x = -1$. Also hat die Gleichung zwei Lösungen: $x = 5$ und $x = -1$."

1. a) Erklären Sie, wo der Fehler in seiner Schlussfolgerung liegt, obwohl die Rechnungen richtig sind.

1. b) Schreiben Sie die vollständige und richtige Lösung auf und geben Sie an, welche Probe bei jeder Logarithmusgleichung unbedingt nötig ist.

Lösen Sie die Logarithmusgleichung $\log_{2} x + \log_{4} x = 3$.

1. a) Drücken Sie $\log_{4} x$ mithilfe des Basiswechsels durch $\log_{2} x$ aus.

1. b) Lösen Sie die entstandene Gleichung und prüfen Sie die Lösung.

Lösen Sie die Gleichungen, indem Sie auf beiden Seiten den dekadischen Logarithmus bilden. Geben Sie die exakte Lösung als Quotient von Logarithmen an (der Dezimalwert ist nicht nötig):

1. a) $2^{x} = 15$

1. b) $7^{x} = 100$

Lösen Sie die Gleichung $3^{x - 1} = 2^{x}$, indem Sie auf beiden Seiten den natürlichen Logarithmus bilden. Geben Sie die exakte Lösung mithilfe von Logarithmen an und ihren Näherungswert mit zwei Nachkommastellen.

In der Abbildung sind der Graph $y = 2^{x}$ und die Gerade $y = 5$ dargestellt.

1. a) Erklären Sie, warum die Lösung der Gleichung $2^{x} = 5$ die x-Koordinate des mit „?" markierten Schnittpunkts ist.

1. b) Schließen Sie die Lösung mithilfe des Graphen oder durch Probieren zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen ein.

1. c) Geben Sie die exakte Lösung mithilfe eines Logarithmus an und berechnen Sie ihren Näherungswert mit drei Nachkommastellen.

Gegeben ist die Exponentialgleichung $3^{2x-1} = 50$:

1. a) Schätzen Sie den Wert der Variablen $x$ ohne Taschenrechner und ohne Logarithmen ab. Bestimmen Sie dazu, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzzahligen Potenzen zur Basis $3$ die Zahl $50$ liegt, folgern Sie, zwischen welchen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen der Exponent $2x-1$ liegen muss, und geben Sie daraus ein Intervall für $x$ an, dessen Grenzen einfache rationale Zahlen oder Dezimalzahlen sind.
2. b) Lösen Sie die Gleichung exakt, indem Sie auf beiden Seiten den dekadischen Logarithmus bilden und nach der Variablen $x$ auflösen.
3. c) Bestimmen Sie den Näherungswert mit drei Nachkommastellen und prüfen Sie, ob Ihre anfängliche Abschätzung aus Teil a) dazu passte.

Nach den Bewertungstabellen für Gebrauchtfahrzeuge verliert ein Pkw mit Verbrennungsmotor in den ersten Jahren etwa $12\,\%$ seines Wertes pro Jahr. Ein Kurierdienst kauft einen Lieferwagen für $25\,000\text{ \euro}$. Sein Restwert $V(t)$ in Euro nach $t$ Betriebsjahren wird durch die Funktion $V(t) = 25\,000 \cdot (0,88)^t$ modelliert.

1. a) Stellen Sie die Exponentialgleichung auf, mit der berechnet werden kann, nach wie vielen Jahren der Wert des Lieferwagens genau auf $10\,000\text{ \euro}$ gesunken ist.
2. b) Lösen Sie diese Gleichung mithilfe von Logarithmen, runden Sie das Ergebnis auf Hundertstel und deuten Sie den erhaltenen Wert, indem Sie angeben, nach etwa wie vielen Jahren und Monaten dieser Wert erreicht ist.
3. c) Hätte das Unternehmen einen größeren Lieferwagen für $50\,000\text{ \euro}$ mit derselben jährlichen Wertminderung von $12\,\%$ gekauft: Würde er länger, kürzer oder genauso lange brauchen, um genau die Hälfte seines Anfangswerts zu verlieren? Begründen Sie Ihre Antwort anhand der algebraischen Struktur der Gleichung, ohne alle Rechnungen zu wiederholen.

Eine Familie legt $5.000\ \text{ €}$ bei einem jährlichen Zinssatz von $4 \%$ mit Zinseszins an, sodass das Kapital nach $t$ Jahren $C(t) = 5.000 \cdot 1,04^{t}$ beträgt.

1. a) Stellen Sie die Exponentialgleichung auf, die bestimmt, nach wie vielen Jahren das Kapital $8.000\ \text{ €}$ erreicht.

1. b) Lösen Sie sie mithilfe von Logarithmen und runden Sie das Ergebnis auf Monate.

1. c) Überlegen Sie ohne die ganze Rechnung, ob die benötigte Zeit bei einem Zinssatz von $2 \%$ genau doppelt so lang wäre. Überprüfen Sie Ihre Vermutung durch Rechnung.

Eine Bakterienkolonie wächst täglich um $15 \%$, wobei sich das Wachstum aufsummiert. Zu Beginn sind $2.000$ Bakterien vorhanden:

1. a) Geben Sie den Term für die Anzahl der Bakterien nach $t$ Tagen an und stellen Sie die Ungleichung auf, die bestimmt, wann die Population $10.000$ Bakterien übersteigt.

1. b) Lösen Sie sie mithilfe von Logarithmen und folgern Sie, wie viele ganze Tage mindestens vergehen müssen.

Lösen Sie die Gleichung $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ mit der Substitution $t = 2^{x}$. Prüfen Sie die erhaltenen Lösungen.

Lea versucht, die Exponentialgleichung $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$ zu lösen, und gibt in ihrem Heft die folgende Rechnung ab:

„Schritt 1: Ich substituiere $t = 2^x$, damit wird $4^x = (2^x)^2 = t^2$.

Schritt 2: Ich erhalte $t^2 - 3t - 4 = 0$ mit den Lösungen $t_1 = 4$ und $t_2 = -1$.

Schritt 3: Ich mache die Substitution rückgängig:

• Für $t_1 = 4 \implies 2^x = 4 \implies x = 2$.

• Für $t_2 = -1 \implies 2^x = -1 \implies x = -0,5$ (weil $2 \cdot (-0,5) = -1$).

Ergebnis: Die Gleichung hat zwei reelle Lösungen: $x = 2$ und $x = -0,5$."

1. a) Finden Sie den begrifflichen Fehler, den Lea in Schritt 3 gemacht hat, und erklären Sie ihn ausführlich. Begründen Sie mit den Eigenschaften der Exponentialfunktion, warum die Gleichung $2^x = -1$ in den reellen Zahlen unmöglich ist.
2. b) Korrigieren Sie die Lösung und bestimmen Sie die endgültige Lösungsmenge der Gleichung.

Lösen Sie die Exponentialgleichung $9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$ mit den folgenden Schritten:

1. a) Schreiben Sie $9^{x}$ als Potenz zur Basis $3$ und führen Sie die Substitution $t = 3^{x}$ durch.

1. b) Lösen Sie die entstandene quadratische Gleichung.

1. c) Machen Sie die Substitution rückgängig, prüfen Sie jede Lösung in der ursprünglichen Gleichung und verwerfen Sie die unbrauchbaren.

Lösen Sie die Gleichung $4^{x} - 3 \cdot 2^{x + 1} + 8 = 0$.

1. a) Schreiben Sie die Gleichung nur mit Potenzen zur Basis $2$ um und substituieren Sie $t = 2^{x}$.

1. b) Lösen Sie die quadratische Gleichung in $t$.

1. c) Machen Sie die Substitution rückgängig und prüfen Sie die beiden Lösungen.

Lösen Sie das Logarithmussystem:

Zeigen Sie, dass die Lösung beide Gleichungen erfüllt und dass die Werte für die Logarithmen zulässig sind.

Lösen Sie das Exponentialsystem:

Hinweis: Wandeln Sie jede Gleichung in eine lineare Gleichung für die Exponenten um.

Lösen Sie die folgenden Gleichungen, in denen die Variable an ungewöhnlichen Stellen auftritt:

1. a) $\log_{x} 8 = \frac{3}{2}$ (die Variable ist die Basis des Logarithmus; denken Sie daran, welche Werte eine Basis annehmen darf).

1. b) $\log_{3}(x + 2) - \log_{3}(x - 2) = 1$ (wenden Sie das Logarithmusgesetz für den Quotienten an und prüfen Sie die Lösung).

Betrachten Sie das folgende nichtlineare Gleichungssystem:

$\begin{cases} \log x + \log y = 2 \\ x - y = 15 \end{cases}$

1. a) Lösen Sie das Gleichungssystem algebraisch mithilfe der Logarithmusgesetze und des Einsetzungsverfahrens.
2. b) Beim Lösen der dabei entstehenden quadratischen Gleichung erhält man zwei Wertepaare: $(20|5)$ und $(-5|-20)$. Erklären Sie analytisch anhand der Definition und der Definitionsmenge der ursprünglichen Logarithmusfunktion, warum eines davon verworfen werden muss.
3. c) Ein Schüler ersetzt die erste Gleichung durch $\log(x \cdot y) = 2$ und formt das System um zu:

$\begin{cases} \log(x \cdot y) = 2 \\ x - y = 15 \end{cases}$

Ist dieses neue System zum ursprünglichen äquivalent? Vergleichen Sie begründet die Definitionsmengen der Terme $\log x + \log y$ und $\log(x \cdot y)$ und entscheiden Sie, ob das Paar $(-5|-20)$ eine zulässige Lösung dieses zweiten Systems ist.