Aufgaben zu Ableitungen

Berechnen Sie die erste und die zweite Ableitung der ganzrationalen Funktion $f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x - 7$.

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion $f(x) = (2x^2 + 3) e^x$.

Die elektrische Ladung, die in Abhängigkeit von der Zeit durch einen Stromkreis fließt, ist durch den Term $q(t) = 5t e^{-0,2t}$ Coulomb gegeben. Berechnen Sie die Stromstärke $I(t) = q'(t)$ und bestimmen Sie, zu welchem genauen Zeitpunkt die Stromstärke null ist.

Betrachtet wird die Funktion mit reellem Parameter $a$: $f(x) = (x^2 + a) \cdot e^{2x}$.

1. a) Betrachten Sie die Funktion „von außen nach innen“, erkennen Sie die äußere Hauptoperation und wenden Sie die entsprechende Regel in Kombination mit der Kettenregel an, um $f'(x)$ zu berechnen. Geben Sie das Ergebnis so an, dass Sie die Exponentialfunktion $e^{2x}$ ausklammern und die Form $f'(x) = (2x^2 + 2x + 2a) \cdot e^{2x}$ entsteht.
2. b) Die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x = 1$ ist waagerecht (d. h. ihre Steigung ist null). Stellen Sie eine Gleichung auf, die $f'(1)$ enthält, und leiten Sie begründet den Wert des Parameters $a$ her.
3. c) Faktorisieren Sie mit dem gefundenen Wert von $a$ das Polynom, das $e^{2x}$ in $f'(x)$ multipliziert, vollständig und bestimmen Sie alle Punkte, an denen die Steigung der Tangente an die Kurve null wird.

Bestimmen Sie die Werte der Parameter $a$ und $b$ (mit $b > 0$) so, dass die Funktion $f(x) = a e^{bx}$ gleichzeitig $f(0) = 3$ erfüllt und ihre zweite Ableitung im Ursprung den Wert $f''(0) = 12$ hat.

Das Abkühlungsgesetz eines Keramikmaterials in einem Industrieofen folgt der Funktion $T(t) = 20 + 800 e^{-0,05t}$, wobei $T$ die Temperatur in Grad Celsius und $t$ die Zeit in Minuten ist. Berechnen Sie die Änderungsrate der Temperatur bezüglich der Zeit, $T'(t)$, und bestimmen Sie, wie viel Zeit vergehen muss, bis die Temperatur mit genau $10^\circ \text{C/min}$ sinkt.

Bestimmen Sie die Ableitung der gebrochenrationalen Funktion $f(x) = \frac{3x - 1}{x^2 + 4}$.

Zum Ableiten der Funktion $f(x) = \frac{5x^4 - 10x^2 + 3}{5}$ schlagen zwei Schüler unterschiedliche Wege vor:

• Jan will die Quotientenregel anwenden und behandelt den Zähler als $u(x) = 5x^4 - 10x^2 + 3$ und den Nenner als konstante Funktion $v(x) = 5$.

• Nerea schlägt vor, die Funktion zunächst umzuschreiben, indem sie den gemeinsamen Nenner in eine Summe von Monomen aufteilt: $f(x) = x^4 - 2x^2 + \frac{3}{5}$, und dann gliedweise abzuleiten.

1. a) Leiten Sie die Funktion nach Jans Methode ab und vereinfachen Sie das Ergebnis.
2. b) Leiten Sie die Funktion nach Nereas Methode ab.
3. c) Vergleichen Sie beide Methoden: Welche erfordert weniger algebraische Umformungen und birgt ein geringeres Fehlerrisiko? Begründen Sie, welche allgemeine Regel über konstante Faktoren die Quotientenregel überflüssig macht, wenn der Nenner eine feste Zahl ist.

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion $f(x) = \frac{8x}{x^2 + 4}$:

1. a) Beachten Sie, dass $f(0) = 0$ gilt und dass die Funktion für einen nahe rechts gelegenen Wert wie $x = 0,5$ den Wert $f(0,5) \approx 0,94 > 0$ annimmt. Schätzen Sie aus diesem Verhalten begründet ab, welches Vorzeichen die Ableitung $f'(0)$ haben müsste, und geben Sie an, ob Sie erwarten, dass die Funktion in dieser Umgebung monoton steigend oder fallend ist.
2. b) Wenden Sie die Quotientenregel an, um den Term von $f'(x)$ zu bestimmen. Vereinfachen Sie den Zähler so weit wie möglich, indem Sie einen Zahlenfaktor ausklammern und die entstehende Differenz von Quadraten faktorisieren.
3. c) Werten Sie $f'(0)$ im erhaltenen Term aus und prüfen Sie, ob es mit Ihrer Abschätzung aus Teilaufgabe a) übereinstimmt.
4. d) Lösen Sie die Gleichung $f'(x) = 0$ mithilfe der faktorisierten Form des Zählers und deuten Sie, welche geometrische Bedeutung die zugehörigen Punkte auf dem Graphen von $f$ haben.

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $f(x) = (5x^3 - 2x)^4$ mithilfe der Kettenregel.

Bestimmen Sie die Ableitung der trigonometrischen Funktion $f(x) = \cos(x^3 - 4x)$.

Bestimmen Sie die Ableitung der Wurzelfunktion $f(x) = \sqrt{x^4 - 3x^2 + 2}$.

Berechnen Sie die Ableitung der verketteten Funktion $f(x) = \sin^3(e^{2x} + 1)$ und achten Sie dabei auf die mehrfache Anwendung der Kettenregel.

Gegeben sind zwei differenzierbare Funktionen $g(x)$ und $h(x)$, und es wird eine neue Funktion $f(x) = g(h(x^2))$ definiert. Mit $h(1) = 2$, $h'(1) = 3$, $g(2) = 5$ und $g'(2) = -4$ berechnen Sie den exakten Wert von $f'(1)$ und geben dabei die Schritte der Kettenregel an.

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $f(x) = \ln(7x^2 + 5) + 3^{2x}$.

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $f(x) = \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$. Geben Sie das Ergebnis als Potenz mit gebrochenem Exponenten oder als Wurzel an.

Die Population einer Meeresalgenart in Millionen Individuen folgt der Funktion $P(t) = \ln(t^2 + 4t + 1) + 5$, wobei $t$ die Zeit in Wochen ist. Bestimmen Sie die momentane Wachstumsrate der Population in der dritten Woche ($t=3$).

Zeigen Sie mit den Logarithmusgesetzen und den Ableitungsregeln, dass die Ableitung der Funktion $f(x) = \ln \sqrt{\frac{1+\sin x}{1-\sin x}}$ gleich $f'(x) = \frac{1}{\cos x}$ ist.

Gesucht ist die Ableitungsfunktion von $f(x) = \ln\left(\frac{x^2}{\sqrt{2x + 1}}\right)$, definiert für $x > 0$.

1. a) Lina versucht, die Kettenregel direkt auf den gesamten Term anzuwenden: zuerst die Ableitung des natürlichen Logarithmus $\frac{u'}{u}$ und anschließend die Quotientenregel mit einer Wurzel im Nenner, um $u'$ zu bestimmen. Beschreibe, welche Schwierigkeiten und welchen algebraischen Aufwand dieser Weg mit sich bringt.
2. b) Hugo schlägt eine andere Strategie vor: Vor dem Ableiten schreibt er $f(x)$ mithilfe der Logarithmusgesetze (Logarithmus eines Quotienten, einer Potenz und einer Wurzel) so um, dass die Funktion als Summe und Differenz einfacher Logarithmen dargestellt wird. Wende Hugos Strategie an, um $f(x)$ umzuformen.
3. c) Leite den von Hugo vereinfachten Term summandenweise ab, bringe die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und überprüfe, wie direkt dieses Vorgehen ist.
4. d) Untersuche mithilfe der in Teilaufgabe c) erhaltenen Ableitung, ob es innerhalb der Definitionsmenge ($x > 0$) eine Stelle mit waagerechter Tangente ($f'(x) = 0$) gibt, und begründe deine Antwort.

In einer Klausur der Einführungsphase soll Alba die Ableitungsfunktion von $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 4}$ berechnen. Ihre schriftliche Rechnung lautet:

Anschließend streicht Alba die Terme $x^4$ in Zähler und Nenner und folgert, dass das Endergebnis $f'(x) = \frac{12x^2}{16} = \frac{3x^2}{4}$ ist.

1. a) Finden Sie die beiden schweren algebraischen Fehler, die Alba gemacht hat, und erklären Sie sie ausführlich: einen beim Ausmultiplizieren des Nenners und einen beim Kürzen des Bruchs.
2. b) Korrigieren Sie die Aufgabe, indem Sie die Ableitung richtig bilden, im Zähler ausklammern und den Term als vollständig gekürzten Bruch mit faktorisiertem Nenner angeben.

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $f(x) = \frac{\sqrt{x^2-1}}{x+2}$ und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich, sodass es mit einem einzigen Nenner dargestellt ist.

Die Gesamtkosten in Euro für die Herstellung von $x$ individuell bedruckten Sweatshirts für die Abschlussfahrt sind durch $C(x) = \frac{150x}{\sqrt{x^2+100}} + 200$ gegeben. Berechnen Sie die Grenzkostenfunktion $C'(x)$.

Gegeben ist die Funktion $f(x) = \ln\left(\cos(3x^2)\right)$. Berechnen Sie ihre Ableitung und werten Sie sie an der Stelle $x = \sqrt{\frac{\pi}{12}}$ aus.

Die Stromstärke in einem Wechselstromkreis schwankt gemäß der Funktion $I(t) = \frac{\sin(3t)}{t^2 + 2}$, wobei $t$ die Zeit in Sekunden ist. Berechnen Sie die Ableitung $I'(t)$ mit der Quotientenregel und der Kettenregel.

Berechnen Sie die n-te Ableitung der Funktion $f(x) = \frac{1}{2x-1}$. Geben Sie das Ergebnis $f^{(n)}(x)$ durch eine allgemeine, von $n$ abhängige Formel an.

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $f(x) = \arcsin\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$ für $x > 0$ und vereinfachen Sie den entstehenden Term so weit wie möglich.

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktion mit der Produktregel und der Kettenregel: $f(x) = e^{x\sin(x)} \cdot \ln(x^2 + 4)$.

Zeigen Sie durch Berechnen der Ableitung und Untersuchen ihres Vorzeichens, dass die Funktion $f(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ auf ihrer gesamten Definitionsmenge streng monoton steigend ist.

Nach Aufzeichnungen des Deutschen Wetterdienstes (DWD) lässt sich an einem Hitzewellentag in Dortmund die zwischen 8:00 Uhr und 22:00 Uhr gemessene Temperatur $T$ (in Grad Celsius) durch das Modell

annähern, wobei $t$ die Tageszeit in Stunden ist ($8 \le t \le 22$).

1. a) Berechnen Sie die Ableitungsfunktion $T'(t)$ mit der Quotientenregel und der Kettenregel. Vereinfachen Sie den Zähler durch Faktorisieren des entstehenden Terms, bis Sie $T'(t)$ als einen einzigen vollständig gekürzten Bruch mit vollständig faktorisiertem Zähler erhalten.
2. b) Die Ableitung $T'(t)$ gibt die momentane Änderungsrate der Temperatur in °C/h an. Berechnen Sie $T'(11)$ und deuten Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang: Steigt oder sinkt die Temperatur um 11:00 Uhr, und mit welcher genauen Rate?
3. c) Bestimmen Sie, zu welcher genauen Uhrzeit die höchste Temperatur erreicht wird, indem Sie die Gleichung $T'(t) = 0$ lösen, und berechnen Sie, wie hoch diese Rekordtemperatur ist.