Aufgaben: Parameterbestimmung bei e-Funktionen

Die Funktion $f(x) = a\cdot e^{x}$ verläuft durch den Punkt $P(0|3)$. Bestimmen Sie $a$.

Die Funktion $f(x) = 2\cdot e^{kx}$ verläuft durch den Punkt $Q(1|2e^{3})$. Bestimmen Sie $k$.

Gegeben ist $f_a(x) = e^{x} - a x$ mit $a > 0$. Bestimmen Sie $f_a'(x)$ und die Stelle, an der $f_a'(x)=0$ gilt, in Abhängigkeit von $a$.

Die Anzahl der Nutzer einer Plattform in Berlin wächst nach $N(t) = N_0\cdot e^{kt}$ ($t$ in Monaten). Zu Beginn sind es 2.000 Nutzer, nach 6 Monaten 3.000.

1. a) Bestimmen Sie $N_0$ und $k$.
2. b) Berechnen Sie, wann 10.000 Nutzer erreicht werden.

Gegeben ist $f_a(x) = x\cdot e^{-ax}$ mit $a>0$.

1. a) Bestimmen Sie die Extremstelle in Abhängigkeit von $a$ und weisen Sie nach, dass es ein Hochpunkt ist.
2. b) Bestimmen Sie $a$, sodass der Hochpunkt bei $x = 2$ liegt.
3. c) Berechnen Sie für dieses $a$ die y-Koordinate des Hochpunkts.

Der Graph von $f(x) = a - b\cdot e^{-x}$ schneidet die y-Achse bei $2$ und hat die Asymptote $y = 5$.

1. a) Bestimmen Sie $a$ und $b$.
2. b) Prüfen Sie, ob $f$ eine Nullstelle besitzt.
3. c) Berechnen Sie gegebenenfalls die Nullstelle von $f$.

Gegeben ist die Schar $f_t(x) = (x - t)\cdot e^{x}$ mit $t\in\mathbb{R}$.

1. a) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von $t$ die Extrem- und die Wendestelle.
2. b) Zeigen Sie, dass alle Tiefpunkte auf einer Kurve liegen, und geben Sie deren Gleichung an.
3. c) Bestimmen Sie $t$, sodass der Tiefpunkt auf der x-Achse liegt, oder begründen Sie, dass das nicht möglich ist.

Ein Medikament wird im Körper abgebaut. Die Konzentration (in mg/l) nach $t$ Stunden wird beschrieben durch $c(t) = a\cdot t\cdot e^{-bt}$ mit $a,b>0$. Nach 2 Stunden wird das Maximum von $8$ mg/l erreicht.

1. a) Bestimmen Sie $b$.
2. b) Bestimmen Sie $a$.
3. c) Berechnen Sie, wann die Konzentration erstmals unter $1$ mg/l sinkt, nachdem sie das Maximum erreicht hat (Näherung genügt).

Gegeben ist $f_k(x) = k\cdot e^{x} - x$ mit $k>0$.

1. a) Zeigen Sie, dass $f_k$ genau einen Extrempunkt hat, und bestimmen Sie dessen Koordinaten in Abhängigkeit von $k$.
2. b) Bestimmen Sie die Werte von $k$, für die $f_k$ keine Nullstelle besitzt.
3. c) Bestimmen Sie $k$, sodass der Tiefpunkt die y-Koordinate $2$ hat.