Aufgaben: Funktionsuntersuchung von e-Funktionen

Gegeben ist $f(x) = e^{x} - 2$.

1. a) Bestimmen Sie das Verhalten von $f$ für $x \to -\infty$ und $x \to \infty$.
2. b) Geben Sie die Gleichung der waagerechten Asymptote an.
3. c) Berechnen Sie die Nullstelle von $f$.

Gegeben ist $f(x) = x \cdot e^{x}$.

1. a) Bestimmen Sie $f'(x)$ mit der Produktregel.
2. b) Bestimmen Sie die Stelle, an der $f'(x) = 0$ gilt.

Gegeben ist $f(x) = e^{-x^2}$.

1. a) Zeigen Sie, dass $f$ achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
2. b) Bestimmen Sie $f'(x)$ und die Stelle des Extrempunkts.
3. c) Entscheiden Sie, ob dort ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.

Gegeben ist $f(x) = (x-1)\cdot e^{x}$.

1. a) Berechnen Sie $f'(x)$ und $f''(x)$.
2. b) Bestimmen Sie Art und Lage des Extrempunkts.
3. c) Bestimmen Sie die Wendestelle.
4. d) Bestimmen Sie $\lim_{x\to-\infty} f(x)$.

Gegeben ist $f(x) = (x^2 - 3)\cdot e^{-x}$.

1. a) Bestimmen Sie die Nullstellen.
2. b) Berechnen Sie $f'(x)$ und bestimmen Sie die Extremstellen.
3. c) Geben Sie die Monotonieintervalle an.

Gegeben ist $f(x) = 4 - 3\cdot e^{-0,5x}$ für $x \ge 0$.

1. a) Untersuchen Sie $f$ auf Monotonie.
2. b) Geben Sie die Asymptote an.
3. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen im Punkt $P(0|f(0))$.

Gegeben ist $f(x) = x^2\cdot e^{-x}$.

1. a) Untersuchen Sie $f$ auf Extrem- und Wendepunkte (Wendestellen mit Begründung).
2. b) Begründen Sie, dass $\lim_{x\to\infty} f(x) = 0$ gilt.
3. c) Skizzieren Sie den Graphen anhand der Ergebnisse (Beschreibung der wesentlichen Merkmale genügt).
4. d) Zeigen Sie, dass $F(x) = -(x^2 + 2x + 2)\cdot e^{-x}$ eine Stammfunktion von $f$ ist.

Gegeben ist $f(x) = \dfrac{e^{x}}{e^{x}+1}$.

1. a) Zeigen Sie, dass $f'(x) = \dfrac{e^{x}}{(e^{x}+1)^2}$ gilt.
2. b) Begründen Sie, dass $f$ streng monoton wachsend ist.
3. c) Bestimmen Sie beide waagerechten Asymptoten.
4. d) Zeigen Sie, dass der Graph punktsymmetrisch zu $P\left(0\middle|\tfrac12\right)$ ist.

Die Funktion $f(x) = (x+1)\cdot e^{-x}$ beschreibt für $x\ge 0$ die Konzentration eines Medikaments (in mg/l) im Blut nach $x$ Stunden.

1. a) Bestimmen Sie den Zeitpunkt der größten Abnahmegeschwindigkeit (Wendestelle) und begründen Sie, dass es sich um die stärkste Abnahme handelt.
2. b) Berechnen Sie die Konzentration zu diesem Zeitpunkt.
3. c) Beurteilen Sie, ob die Konzentration jemals den Wert $0$ erreicht.