Aufgaben: Begrenztes Wachstum

Eine Größe wächst nach dem Modell $f(t) = 50 - 40 \cdot e^{-0,2t}$ mit $t$ in Stunden.

1. a) Berechnen Sie den Anfangswert $f(0)$.
2. b) Geben Sie die Schranke $S$ an, der sich $f(t)$ für $t \to \infty$ nähert.

Gegeben ist $f(t) = 8 - 6 \cdot e^{-0,5t}$.

1. a) Berechnen Sie $f(2)$ auf zwei Nachkommastellen genau.
2. b) Bestimmen Sie die Wachstumskonstante $k$ und den Startwert $B$ der Form $f(t) = S - (S-B)\cdot e^{-kt}$.

Die Funktion $f(t) = 20 - 15 \cdot e^{-0,1t}$ beschreibt einen begrenzten Wachstumsprozess.

1. a) Berechnen Sie die Ableitung $f'(t)$.
2. b) Begründen Sie, dass $f$ streng monoton wachsend ist.

Die Temperatur eines Getränks in einem Kühlschrank in Hamburg wird beschrieben durch $T(t) = 5 + 15 \cdot e^{-0,05t}$ ($t$ in Minuten, $T$ in °C).

1. a) Geben Sie die Anfangstemperatur und die Temperatur des Kühlschranks an.
2. b) Berechnen Sie die Temperatur nach 30 Minuten.
3. c) Bestimmen Sie, nach wie vielen Minuten die Temperatur $8\,°C$ erreicht.

Ein Wasserbecken in Leipzig fasst höchstens $200\,\text{m}^3$. Zu Beginn enthält es $20\,\text{m}^3$. Der Füllstand wird modelliert durch $V(t) = S - (S-B)\cdot e^{-kt}$ ($t$ in Stunden). Nach 4 Stunden enthält das Becken $100\,\text{m}^3$.

1. a) Geben Sie $S$ und $B$ an.
2. b) Bestimmen Sie $k$.
3. c) Berechnen Sie, wann das Becken zu $90\,\%$ gefüllt ist.

Der Bestand an Wissen eines Lernenden wird modelliert durch $f(t) = 100 - 80 \cdot e^{-0,15t}$ ($t$ in Wochen, $f$ in Prozent).

1. a) Berechnen Sie die momentane Änderungsrate zu Beginn und nach 10 Wochen.
2. b) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Änderungsrate auf $1$ Prozentpunkt pro Woche gesunken ist.
3. c) Interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

Für begrenztes Wachstum gilt $f(t) = S - (S-B)\cdot e^{-kt}$ mit $S > B > 0$ und $k > 0$.

1. a) Zeigen Sie, dass $f'(t) = k\,(S - f(t))$ gilt.
2. b) Erläutern Sie mit Hilfe von a), warum die Änderungsrate mit wachsendem $t$ abnimmt.
3. c) Zeigen Sie, dass die Halbwertszeit des „Restes“ $S - f(t)$ unabhängig von $B$ ist, und geben Sie sie in Abhängigkeit von $k$ an.

Ein Kaffee wird in einer Kantine in Köln mit $90\,°C$ serviert. Die Raumtemperatur beträgt $20\,°C$. Nach 10 Minuten hat der Kaffee $60\,°C$. Die Temperatur wird modelliert durch $T(t) = 20 + 70\cdot e^{-kt}$.

1. a) Bestimmen Sie $k$.
2. b) Berechnen Sie, wann der Kaffee $40\,°C$ erreicht.
3. c) Bestimmen Sie den Zeitpunkt, zu dem die Abkühlungsrate betragsmäßig kleiner als $0,5\,°C$ pro Minute ist.
4. d) Beurteilen Sie die Grenzen des Modells.

Zwei Modelle für die Anzahl $N$ verkaufter Einheiten (in Tausend) einer App in den ersten Monaten $t$ werden verglichen:

Modell A (begrenzt): $A(t) = 100 - 100\cdot e^{-0,1t}$.

Modell B (linear): $B(t) = 8t$.

1. a) Zeigen Sie, dass $t = 0$ eine Lösung der Gleichung $A(t) = B(t)$ ist, und bestimmen Sie die weitere Lösung im Bereich $0 < t \le 20$ näherungsweise (z. B. mit Tabelle oder Rechner).
2. b) Vergleichen Sie die Steigungen beider Modelle bei $t = 0$ und begründen Sie, welches Modell für große $t$ unrealistisch ist.
3. c) Bestimmen Sie $t$, sodass Modell A $95\,\%$ der Schranke erreicht.