Aufgaben: Totale Wahrscheinlichkeit und Satz von Bayes

An einer Schule können die Schülerinnen und Schüler der Q2 zwischen zwei Plattformen wählen, um ihre Arbeiten in der Cloud zu erstellen: $65\%$ nutzen Google Workspace und der Rest nutzt Microsoft 365. Es ist bekannt, dass $20\%$ der Google-Nutzer Werkzeuge der künstlichen Intelligenz verwenden, um Entwürfe zu schreiben, während es bei Microsoft $15\%$ sind.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler künstliche Intelligenz für seine Entwürfe nutzt.

Eine Supermarktkette verkauft Joghurt von zwei verschiedenen Lieferanten. $40\%$ der Joghurts stammen von Lieferant A und $60\%$ von Lieferant B. Die Qualitätskontrolle zeigt, dass $5\%$ der Joghurts von Lieferant A Verpackungsfehler aufweisen, während dieser Fehler bei Lieferant B nur in $2\%$ der Fälle auftritt.

Wir kaufen einen Joghurt und stellen fest, dass er einen Verpackungsfehler hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er von Lieferant A stammt?

Ein TikTok-Creator beobachtet, dass seine Kurzvideos auf zwei Arten angesehen werden: über den Empfehlungsalgorithmus ($80\%$ der Fälle) oder über die direkte Suche ($20\%$). Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Nutzer „Gefällt mir“ vergibt, beträgt $0,10$, wenn das Video über eine Empfehlung angezeigt wird, und $0,30$, wenn der Nutzer direkt danach gesucht hat.

Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Nutzer, der das Video ansieht, „Gefällt mir“ vergibt.

Bei einem eSports-Turnier erreicht ein Spieler das Finale. Er kann zwischen zwei Strategien wählen: offensiv (wählt er in $70\%$ der Fälle) oder defensiv ($30\%$). Spielt er offensiv, gewinnt er die Partie mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,6$, spielt er defensiv, beträgt seine Siegwahrscheinlichkeit $0,4$.

Der Spieler hat die Partie gewonnen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er die defensive Strategie verwendet hat.

Ein Paketdienst nutzt in einer Stadt drei Routen zur Paketzustellung: Route Nord ($50\%$), Route Süd ($30\%$) und Route Mitte ($20\%$). Verspätungen bei der Zustellung treten auf der Route Nord in $2\%$ der Fälle auf, auf der Route Süd in $4\%$ und auf der Route Mitte in $10\%$.

Bestimmen Sie den Gesamtanteil der Pakete, die in dieser Stadt verspätet zugestellt werden.

Es wird eine Studie über eine neue Fitness-App durchgeführt. Man schätzt, dass $1\%$ der Jugendlichen einer Stadt sie nutzen. Die App hat eine „Tageschallenge“, die in $95\%$ der Fälle erfolgreich abgeschlossen wird, wenn der Nutzer regelmäßig dabei bleibt. Ist er nicht regelmäßig dabei ($99\%$ der Bevölkerung nutzen die App nicht), beträgt die Wahrscheinlichkeit, eine ähnliche Challenge zufällig zu schaffen, nur $0,05$.

Wir wählen zufällig eine jugendliche Person aus und sehen, dass sie die Challenge erfolgreich abgeschlossen hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie ein regelmäßiger Nutzer der App ist?

In einer Designagentur sind $60\%$ der Beschäftigten Senior Designer und $40\%$ Junior Designer. In der letzten Werbekampagne haben $90\%$ der Seniors Vektorgrafik-Software verwendet, bei den Juniors nur $70\%$.

Wir wählen zufällig eine beschäftigte Person aus. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie keine Vektorgrafik-Software verwendet hat.

Ein Autohaus für Elektroautos verkauft drei Modelle: Kompaktwagen ($40\,\%$), Limousine ($35\,\%$) und SUV ($25\,\%$). Man hat beobachtet, dass im ersten Monat ein Software-Update nötig ist: bei $3\,\%$ der Kompaktwagen, bei $2\,\%$ der Limousinen und bei $5\,\%$ der SUV. Die Abbildung zeigt das Baumdiagramm der Situation.

Ein Kunde ruft an, weil sein Auto im ersten Monat ein Software-Update benötigt hat. Welches Modell hat er mit der größten Wahrscheinlichkeit gekauft? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Markus löst eine Aufgabe zur Qualitätskontrolle für eine Olivengenossenschaft in Jaén. Die Oliven stammen von zwei Anbauflächen: Fläche $F_1$ liefert $60\,\%$ der Ernte und Fläche $F_2$ $40\,\%$. Der Anteil der Oliven, die sich nicht für die Herstellung von nativem Olivenöl extra eignen, beträgt $5\,\%$ auf Fläche $F_1$ und $10\,\%$ auf Fläche $F_2$. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine ungeeignete Olive von Fläche $F_1$ stammt. Markus schreibt in seiner Klausur:

„$P(F_1 | \text{Nicht geeignet}) = P(F_1) \cdot P(\text{Nicht geeignet} | F_1) = 0{,}60 \cdot 0{,}05 = 0{,}03$. Also besteht eine Wahrscheinlichkeit von $3\,\%$, dass sie von Fläche $F_1$ stammt. Das ergibt Sinn, weil die Zahl kleiner als $1$ ist.“

1. a) Benennen Sie die beiden Denkfehler, die Markus gemacht hat, und erklären Sie sie ausführlich (einer betrifft die Verwechslung von Schnittmenge und bedingter Wahrscheinlichkeit, der andere den Satz von Bayes).
2. b) Korrigieren Sie die Aufgabe, indem Sie die gesuchte Wahrscheinlichkeit sauber berechnen.

Laut Berichten zum Fahrgastaufkommen auf einer deutschen Bahnstrecke fahren $50\,\%$ der Fahrgäste im Fernverkehr (ICE), $30\,\%$ im Regionalexpress und die übrigen $20\,\%$ in der S-Bahn. Die Pünktlichkeitsdaten zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit einer Verspätung von mehr als $15$ Minuten im Fernverkehr $2\,\%$, im Regionalexpress $6\,\%$ und in der S-Bahn $10\,\%$ beträgt.

1. a) Begründen Sie, dass die Zugarten eine vollständige Zerlegung der Ergebnismenge bilden, und definieren Sie die beteiligten Ereignisse eindeutig.
2. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person auf dieser Strecke mit mehr als $15$ Minuten Verspätung ihr Ziel erreicht.
3. c) Eine zufällig ausgewählte Person hatte eine Verspätung von mehr als $15$ Minuten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sie im Fernverkehr gefahren ist. Kommentieren Sie das Ergebnis: Warum ist diese Wahrscheinlichkeit verhältnismäßig niedrig, obwohl die Hälfte der verkauften Tickets auf diesen Dienst entfällt?

In einem Leistungszentrum für E-Sport trainieren die Spieler auf drei verschiedenen Plattformen: PC, Konsole und mobile Geräte. $50\ \%$ der Spieler nutzen den PC, $30\ \%$ die Konsole und der Rest mobile Geräte. Es wurde beobachtet, dass die Leistung durch visuelle Ermüdung bei $8\ \%$ der PC-Spieler, bei $5\ \%$ der Konsolenspieler und bei $12\ \%$ der Spieler mit mobilen Geräten abnimmt.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Spieler visuelle Ermüdung zeigt.

1. b) Wir wählen einen Spieler aus und sehen, dass er unter visueller Ermüdung leidet. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er üblicherweise mit einem mobilen Gerät trainiert?

Ein IT-Sicherheitsunternehmen analysiert den E-Mail-Verkehr eines Technologie-Start-ups. $70\ \%$ der eingehenden E-Mails sind intern, $20\ \%$ stammen von bekannten Kunden und die restlichen $10\ \%$ sind externe E-Mails unbekannter Herkunft. Der Sicherheitsfilter markiert $1\ \%$ der internen E-Mails, $4\ \%$ der Kunden-E-Mails und $25\ \%$ der unbekannten E-Mails als „verdächtig".

1. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte E-Mail vom System als verdächtig markiert wird.

1. b) Wenn ein Mitarbeiter eine Benachrichtigung über eine verdächtige E-Mail erhält, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die E-Mail tatsächlich unbekannter Herkunft ist?

In einem Montagewerk für Batterien von Elektroautos werden zwei Produktionslinien eingesetzt, $L_1$ und $L_2$. Die Linie $L_1$ produziert $60\ \%$ der Batterien und die Linie $L_2$ den Rest. Es ist bekannt, dass $2\ \%$ der Batterien von $L_1$ Defekte an der Versiegelung aufweisen, während dieser Defekt bei $L_2$ bei $5\ \%$ der Einheiten auftritt.

1. a) Wenn zufällig eine Batterie aus der Gesamtproduktion ausgewählt wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie nicht defekt ist?

1. b) Wenn bei einer Qualitätskontrolle eine defekte Batterie entdeckt wird, welche Linie hat sie mit größerer Wahrscheinlichkeit hergestellt? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie beide A-posteriori-Wahrscheinlichkeiten berechnen.

Eine Studie zur nachhaltigen Mobilität in einer Stadt zeigt, dass $45\ \%$ der Wege mit öffentlichen Verkehrsmitteln, $35\ \%$ mit dem Fahrrad oder E-Scooter und $20\ \%$ mit dem eigenen Auto zurückgelegt werden. Die Wahrscheinlichkeit, zu spät zur Arbeit zu kommen, wird auf 0,15 bei Nutzung öffentlicher Verkehrsmittel, auf 0,05 bei Nutzung von Fahrrad/E-Scooter und auf 0,30 bei Nutzung des eigenen Autos (wegen der Staus) geschätzt.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bürger pünktlich an seinem Arbeitsplatz ankommt.

1. b) Wir wissen, dass ein Arbeitnehmer zu spät gekommen ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mit seinem eigenen Auto gefahren ist?

Ein Pharmalabor entwickelt einen Schnelltest zum Nachweis eines Vitaminmangels, der $5\ \%$ der jungen Bevölkerung betrifft. Klinische Studien zeigen, dass der Test bei $96\ \%$ der Personen, die den Mangel tatsächlich haben, positiv ausfällt. Er liefert jedoch auch bei $2\ \%$ der gesunden Personen ein „falsch positives" Ergebnis.

1. a) Wie viel Prozent der Gesamtbevölkerung werden im Test positiv ausfallen?

1. b) Wenn ein Jugendlicher den Test macht und das Ergebnis positiv ist, wie groß ist die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, dass er an diesem Vitaminmangel leidet? Kommentieren Sie, ob Ihnen das Ergebnis im Verhältnis zur Zuverlässigkeit des Tests hoch oder niedrig erscheint.

In einem Kurs der Q2 können die Schülerinnen und Schüler ein Abschlussprojekt zu drei Themen wählen: Robotik, Programmierung oder erneuerbare Energien. $25\ \%$ wählen Robotik, $40\ \%$ Programmierung und $35\ \%$ erneuerbare Energien. Die Wahrscheinlichkeit, die Note „sehr gut" zu erhalten, beträgt 0,20 bei Robotik, 0,15 bei Programmierung und 0,10 bei erneuerbaren Energien.

1. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der Klasse nicht die Note „sehr gut" erhält.

1. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Projekt eines Schülers, der die Note „sehr gut" erhalten hat, zum Thema Robotik war?

Ein Musik-Streaming-Dienst teilt seine Nutzer in drei Kategorien ein: „Free" (mit Werbung), „Premium" und „Family". $60\ \%$ sind Free-Nutzer, $30\ \%$ Premium-Nutzer und $10\ \%$ Family-Nutzer. Es ist bekannt, dass $80\ \%$ der Free-Nutzer mehr als 2 Stunden täglich hören, während dieser Anteil bei den Premium-Nutzern $90\ \%$ und bei den Family-Nutzern $95\ \%$ beträgt.

1. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Nutzer höchstens 2 Stunden täglich Musik hört?

1. b) Wir wählen einen Nutzer aus, der mehr als 2 Stunden täglich Musik hört. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zum Tarif „Premium" gehört?

In einer Abiturklausur stößt ein Schüler auf eine Multiple-Choice-Frage mit 4 möglichen Antworten, von denen nur eine richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler die richtige Antwort kennt, beträgt 0,6. Wenn er sie kennt, antwortet er mit Sicherheit richtig. Wenn er sie nicht kennt, wählt er zufällig eine der 4 Optionen.

1. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler die Frage richtig beantwortet?

1. b) Wenn die Korrektorin feststellt, dass die angekreuzte Antwort richtig ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler den Stoff tatsächlich kannte und nicht zufällig geantwortet hat?

Bei einer Verkehrspräventionskampagne der Polizei auf Landstraßen wird geschätzt, dass $1\,\%$ der Fahrer unter dem Einfluss nicht erlaubter Substanzen fahren ($S$). Der bei den Kontrollen eingesetzte Speichel-Vortest hat eine Sensitivität von $98\,\%$ (wenn ein Fahrer konsumiert hat, fällt er mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}98$ positiv aus), weist aber eine Rate falsch positiver Ergebnisse von $4\,\%$ auf (bei Fahrern, die nicht konsumiert haben, fällt der Test mit der Wahrscheinlichkeit $0{,}04$ fälschlicherweise positiv aus).

1. a) Schätzen Sie vor jeder numerischen Berechnung intuitiv ab und begründen Sie kurz, ob die Wahrscheinlichkeit, dass ein positiv getesteter Fahrer tatsächlich konsumiert hat, eher in der Nähe von $90\,\%$, von $50\,\%$ oder unter $25\,\%$ liegt.
2. b) Wenden Sie den Satz von Bayes an, um $P(S | \text{Positiv})$ exakt zu berechnen.
3. c) Vergleichen Sie den erhaltenen Wert mit Ihrer Schätzung aus Teilaufgabe a). Erklären Sie, welches wahrscheinlichkeitstheoretische Phänomen dieses Ergebnis hervorruft und warum die Vorschriften verlangen, eine zweite Probe an ein toxikologisches Labor zu schicken, bevor eine Sanktion verhängt wird.

Ein Paketlogistikzentrum im Ruhrgebiet verteilt seine Sendungen über zwei automatisierte Sortierlinien, $L_1$ und $L_2$. Die Linie $L_1$ übernimmt einen Anteil $p$ des gesamten Paketvolumens ($0 < p < 1$), während die Linie $L_2$ den restlichen Anteil sortiert ($1-p$). Aufgrund mechanischen Verschleißes beschädigt die Linie $L_1$ $1\,\%$ der von ihr bearbeiteten Pakete, während die Linie $L_2$ mit älterer Technik $4\,\%$ beschädigt.

1. a) Geben Sie in Abhängigkeit von $p$ die Wahrscheinlichkeit $P(D)$ an, dass ein am Ende des Prozesses zufällig ausgewähltes Paket beschädigt ist.
2. b) Die technische Leitung legt fest, dass, um die Gutachterabteilung der Linie $L_1$ nicht zu überlasten, von allen als beschädigt erkannten Paketen höchstens $20\,\%$ aus dieser Linie stammen dürfen ($P(L_1 | D) \le 0{,}20$). Stellen Sie die entsprechende Ungleichung auf und bestimmen Sie, welcher Mindestanteil des gesamten Paketaufkommens der Linie $L_2$ zugewiesen werden muss, um dieses Qualitätskriterium zu erfüllen.

Ein IT-Sicherheitsunternehmen setzt drei Systeme mit künstlicher Intelligenz ($S_1$, $S_2$ und $S_3$) ein, um unberechtigte Zugriffsversuche in einem Firmennetzwerk zu erkennen. Das System $S_1$ bearbeitet $45 \%$ der Warnmeldungen, das System $S_2$ $35 \%$ und das System $S_3$ den Rest.

Aus früheren Prüfungen ist bekannt, dass unter den von den einzelnen Systemen ausgegebenen Warnmeldungen $2 \%$ der Meldungen von $S_1$, $5 \%$ der Meldungen von $S_2$ und $8 \%$ der Meldungen von $S_3$ Fehlalarme sind (ein legitimer Zugriff wird als Angriff gemeldet). Die übrigen Meldungen jedes Systems entsprechen echten Angriffen. Außerdem beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein System einen echten Angriff übersieht (falsch negativ), in allen Fällen $1 \%$; diese Angabe benötigen Sie für diese Aufgabe nicht.

Zu einem bestimmten Zeitpunkt erscheint im Kontrollpanel eine Warnmeldung, die einen Angriff anzeigt.

1. a) Stellen Sie die Situation in einem Baumdiagramm dar und tragen Sie die Wahrscheinlichkeiten an allen Pfaden ein.

1. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgegebene Warnmeldung tatsächlich ein Fehlalarm ist.

1. c) Es wird bestätigt, dass die Warnmeldung ein Fehlalarm war. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie vom System $S_3$ erzeugt wurde?

Eine automatisierte Montagelinie produziert Renndrohnen. Die Fabrik verwendet zwei Motortypen: den Motor Alpha, der in $60 \%$ der Drohnen eingebaut wird, und den Motor Beta, der in die übrigen eingebaut wird. Aufgrund der hohen erforderlichen Präzision weisen einige Motoren Kalibrierfehler auf.

Es ist bekannt, dass $5 \%$ der Motoren Alpha defekt sind. Nach einem Qualitätstest am Ende der Linie zeigt sich, dass die Wahrscheinlichkeit, eine Drohne mit defektem Motor zu finden, insgesamt $4,4 \%$ beträgt.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Motor defekt ist, wenn bekannt ist, dass er vom Typ Beta ist.
2. b) Es wird zufällig eine Drohne ausgewählt, und der Qualitätstest zeigt, dass der Motor einwandfrei funktioniert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Drohne einen Motor Alpha hat?

In einem Leistungszentrum für Sport werden die Athleten auf Doping kontrolliert. $1 \%$ der Athleten nehmen eine verbotene Substanz ein. Der verwendete Test hat eine Zuverlässigkeit von $98 \%$ (Wahrscheinlichkeit für ein positives Ergebnis, wenn die Substanz eingenommen wurde). Der Test liefert jedoch auch $3 \%$ „falsch Positive" (positives Ergebnis bei Athleten, die nichts eingenommen haben).

1. a) Wenn ein Athlet bei der Kontrolle positiv getestet wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Substanz tatsächlich eingenommen hat?
2. b) Das Komitee beschließt, bei demselben Athleten einen zweiten, unabhängigen Test durchzuführen, falls der erste positiv ausfällt. Wenn auch dieser zweite Test (mit derselben Zuverlässigkeit) positiv ausfällt, wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass der Athlet schuldig ist? Begründen Sie, ob das Vertrauen in das Urteil deutlich gestiegen ist.

Eine Studie zur Nutzung von Streaming-Inhalten zeigt, dass $70 \%$ der Jugendlichen einer Stadt bei Plattform A abonniert sind, $40 \%$ bei Plattform B und $20 \%$ bei beiden. Es wird zufällig ein Jugendlicher ausgewählt.

1. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch bei Plattform A abonniert ist, wenn bekannt ist, dass er bei Plattform B abonniert ist? Sind die Ereignisse „bei A abonniert" und „bei B abonniert" stochastisch unabhängig?

1. b) Es ist bekannt, dass $15 \%$ der Nutzer ausschließlich von Plattform A Dokumentationen bevorzugen, $25 \%$ der Nutzer ausschließlich von Plattform B sie ebenfalls bevorzugen und dass dieser Anteil bei denen, die bei beiden Plattformen abonniert sind, auf $50 \%$ steigt. Unter den Jugendlichen, die bei keiner der beiden Plattformen abonniert sind, bevorzugen $10 \%$ Dokumentationen. Wenn ein zufällig ausgewählter Jugendlicher Dokumentationen bevorzugt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei beiden Plattformen abonniert ist?

In einem Biotechnologielabor werden drei Bakterientypen verwendet: $T_1$, $T_2$ und $T_3$. Ein Behälter enthält 100 Proben: 20 von $T_1$, 30 von $T_2$ und 50 von $T_3$. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Probe innerhalb von 24 Stunden eine Antibiotikaresistenz entwickelt, beträgt $0,2$ für $T_1$, $0,4$ für $T_2$ und einen unbekannten Wert $p$ für $T_3$.

Es wird zufällig eine Probe entnommen, und es zeigt sich, dass sie nach 24 Stunden eine Resistenz entwickelt hat. Die Wahrscheinlichkeit, dass diese Probe vom Typ $T_2$ ist, beträgt bekanntlich $0,375$:

1. a) Bestimmen Sie den Wert der Wahrscheinlichkeit $p$, die zu den Bakterien vom Typ $T_3$ gehört.
2. b) Berechnen Sie mit dem erhaltenen Wert von $p$ die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Probe keine Resistenz entwickelt.

Ein Nachrichtensender nutzt drei verschiedene Quellen für seine Informationen: Agenturen ($A$), Korrespondenten ($C$) und soziale Netzwerke ($R$). $50 \%$ der Nachrichten stammen von $A$, $30 \%$ von $C$ und der Rest von $R$.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nachricht falsch ist (Fake News), beträgt $0,01$, wenn sie von $A$ stammt, und $0,05$, wenn sie von $C$ stammt. Es wurde festgestellt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte und als falsch erkannte Nachricht aus den sozialen Netzwerken stammt, $0,75$ beträgt.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nachricht aus den sozialen Netzwerken falsch ist.
2. b) Berechnen Sie die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Nachricht dieses Senders wahr ist.

Drei Maschinen $M_1$, $M_2$ und $M_3$ stellen Präzisionsteile her. $M_1$ produziert doppelt so viele Teile wie $M_2$, und $M_3$ produziert genauso viele wie $M_1$ und $M_2$ zusammen. Der Anteil defekter Teile beträgt $2 \%$ bei $M_1$ und $4 \%$ bei $M_2$.

Es ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig aus der Gesamtproduktion entnommenes Teil defekt ist, $2,5 \%$ beträgt.

1. a) Berechnen Sie den Anteil defekter Teile, den die Maschine $M_3$ produziert.
2. b) Wir entnehmen ein Teil und stellen fest, dass es defekt ist. Welche Maschine hat es mit der größten Wahrscheinlichkeit hergestellt?

Bei einer Auswahlprüfung umfasst der Stoff 80 Themen. Die Prüfungskommission zieht zufällig zwei Themen (ohne Zurücklegen), und der Prüfling muss eines davon auswählen und ausarbeiten. Ein Prüfling hat sich nur auf 45 Themen vorbereitet.

1. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Prüfling mindestens ein Thema auswählen kann, das er beherrscht?
2. b) Angenommen, der Prüfling besteht, wenn das gewählte Thema eines der vorbereiteten ist. Wir wissen, dass der Prüfling durchgefallen ist, weil er keines der gezogenen Themen wählen konnte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Möglichkeit gehabt hätte, mindestens eines zu wählen, wenn die Prüfung darin bestanden hätte, drei statt zwei Themen zu ziehen? Begründen Sie mathematisch, ob die Wahrscheinlichkeit zu bestehen dadurch deutlich steigen würde.

In einem öffentlichen Gesundheitsprogramm des nationalen Gesundheitssystems zur Früherkennung von Darmkrebs bei Personen zwischen $50$ und $69$ Jahren beträgt die Prävalenz der Erkrankung in dieser Bevölkerungsgruppe $0{,}5\,\%$. Der verwendete Test auf okkultes Blut im Stuhl hat eine Sensitivität von $80\,\%$ (er fällt bei $80\,\%$ der kranken Personen positiv aus) und eine Rate falsch positiver Ergebnisse von $3\,\%$ (er fällt bei $3\,\%$ der gesunden Personen positiv aus). Ein Patient wird beim Screening positiv getestet, und es soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, dass er tatsächlich an der Krankheit leidet, $P(E | +)$.

1. a) Methode 1 (Ereignisalgebra): Stellen Sie formal das vollständige Ereignissystem, die A-priori-Wahrscheinlichkeiten und die Likelihoods auf und bestimmen Sie $P(E | +)$ mithilfe des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit und des Satzes von Bayes.
2. b) Methode 2 (natürliche Häufigkeiten): Modellieren Sie die Situation anhand einer hypothetischen Gruppe von $100.000$ Personen. Erstellen Sie eine Vierfeldertafel $2 \times 2$ mit den ganzzahligen Anzahlen gesunder/kranker und positiv/negativ getesteter Personen und leiten Sie daraus direkt den Wert von $P(E | +)$ ab.
3. c) Kritische Bewertung: Vergleichen Sie beide Methoden und begründen Sie, warum verschiedene Untersuchungen der kognitiven Psychologie und der Mathematikdidaktik behaupten, dass Methode 2 deutlich transparenter ist und Fehlurteile bei der Diagnose gegenüber der abstrakten algebraischen Formulierung von Methode 1 verringert.

Die IT-Revisionsabteilung eines deutschen Kreditinstituts überwacht internationale Überweisungen, um Betrug zu verhindern. Die Transaktionen laufen über drei Kanäle: SEPA/EU-Kanal ($70\,\%$ des Gesamtvolumens), gewöhnlicher internationaler Kanal ($20\,\%$) und internationaler Hochrisikokanal ($10\,\%$). Aus historischen Aufzeichnungen ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eine Überweisung betrügerisch ist ($F$), im SEPA-Kanal $0{,}1\,\%$, im gewöhnlichen internationalen Kanal $0{,}5\,\%$ und im Hochrisikokanal einen unbekannten Wert $k$ ($0 < k \le 1$) beträgt.

1. a) Wenn die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Überweisung der Bank betrügerisch ist, genau $0{,}0037$ ($0{,}37\,\%$) beträgt, berechnen Sie den Wert des Parameters $k$ mithilfe des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit.
2. b) Das Sicherheitssystem fängt eine Überweisung ab, und es wird festgestellt, dass sie betrügerisch ist. Bestimmen Sie mithilfe des Satzes von Bayes, aus welchem Kanal sie am wahrscheinlichsten stammt.
3. c) Begründen Sie die folgende theoretische Frage: Angenommen, die kanaleigenen Betrugsraten (die bedingten Prozentsätze $P(F|\text{Kanal})$ der Aufgabenstellung) bleiben unverändert. Wäre es möglich, ausschließlich die Verteilung des Transaktionsvolumens auf die drei Kanäle so zu verändern, dass eine als betrügerisch bekannte Überweisung mit größerer Wahrscheinlichkeit aus dem SEPA-Kanal stammt als aus den beiden anderen zusammen ($P(\text{SEPA}|F) > 0{,}50$)? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie herleiten, welche algebraische Bedingung die neuen Marktanteile der Kanäle erfüllen müssten.