Aufgaben: Zufallsexperimente

Ordnen Sie die folgenden Experimente als deterministisch oder zufällig ein und begründen Sie Ihre Antwort jeweils kurz:

1. a) Ein Smartphone aus einem Meter Höhe fallen lassen und beobachten, ob es zu Boden fällt.
2. b) Eine Playlist im Zufallsmodus öffnen und notieren, welches Lied zuerst gespielt wird.
3. c) Die Zeit berechnen, die ein Auto für $200$ km braucht, wenn es mit einer konstanten Geschwindigkeit von $100$ km/h fährt.
4. d) Die erste Person, die man auf der Straße sieht, fragen, in welchem Monat sie geboren wurde.
5. e) Eine Karte aus einem spanischen Kartenspiel mit $40$ Karten ziehen und ihre Farbe beobachten.

Ein Schüler hat in seinem Federmäppchen drei Kugelschreiber in verschiedenen Farben: Blau (A), Schwarz (N) und Rot (R). Er zieht nacheinander zwei Kugelschreiber, ohne den ersten zurückzulegen.

1. a) Geben Sie die Ergebnismenge $E$ dieses Experiments an.
2. b) Geben Sie an, wie viele Elementarereignisse diese Ergebnismenge enthält.
3. c) Definieren Sie das zusammengesetzte Ereignis $S = \text{"den blauen Kugelschreiber an beliebiger Position ziehen"}$.

Wir betrachten das Zufallsexperiment, einen Tetraederwürfel (4 Seiten) mit den Seiten von $1$ bis $4$ und eine $1$-Euro-Münze zu werfen. Wir notieren die Zahl der unteren Seite des Würfels und ob die Münze Kopf $(C)$ oder Zahl $(X)$ zeigt.

1. a) Stellen Sie mithilfe eines Baumdiagramms alle möglichen Ergebnisse dar.
2. b) Geben Sie die Ergebnismenge $E$ an.
3. c) Bestimmen Sie die Elemente des Ereignisses $A = \text{"eine gerade Zahl beim Würfel und Kopf bei der Münze erhalten"}$.

In einem Kurs der Qualifikationsphase werden die Abonnements bei Streamingplattformen untersucht. Wir bezeichnen mit $A$ das Ereignis „Abonnent bei Netflix sein“ und mit $B$ das Ereignis „Abonnent bei Spotify sein“. Geben Sie mit Worten die Bedeutung der folgenden Ereignisse an, die sich aus Mengenoperationen ergeben:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $\bar{A}$ (oder Gegenereignis von $A$)
4. d) $A - B$
5. e) $\bar{A} \cap \bar{B}$

Ein Rollenspiel-Videospiel erlaubt es, einen Charakter zu erstellen, indem man zwischen zwei Klassen wählt: Krieger (G) oder Magier (M). Außerdem kann der Charakter einer von drei Rassen angehören: Mensch (H), Elf (E) oder Zwerg (D).

Es wird zufällig ein Charakter vom Spielserver ausgewählt.

1. a) Geben Sie die Ergebnismenge $E$ mithilfe der Anfangsbuchstaben an (zum Beispiel $GH$ für menschlicher Krieger).
2. b) Beschreiben Sie das Ereignis $S = \text{"die Figur ist kein Magier"}$.
3. c) Wir bezeichnen das Ereignis $\text{"die Figur ist ein Elf"}$ mit $A$. Geben Sie an, welche Elemente das Gegenereignis $\bar{A}$ enthält.

Sei $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments. Bestimmen Sie für die gegebenen Ereignisse $A = \{1, 3, 5, 7\}$ und $B = \{2, 3, 5, 8\}$ die folgenden Mengen:

1. a) $A \cup B$
2. b) $A \cap B$
3. c) $A \cap \bar{B}$
4. d) Prüfen Sie, ob das erste De Morgansche Gesetz gilt: $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}$.

Betrachten Sie das folgende Venn-Diagramm, das die Verteilung der Schüler darstellt, die in einer städtischen Sporthalle Basketball ($B$) und Fußball ($F$) spielen.

Definieren Sie anhand der Grafik die folgenden Bereiche mithilfe von Ereignisoperationen:

1. a) Schüler, die beide Sportarten betreiben.
2. b) Schüler, die Basketball, aber nicht Fußball spielen.
3. c) Schüler, die mindestens eine der beiden Sportarten betreiben.
4. d) Schüler, die keine der beiden genannten Sportarten betreiben.

Wir ziehen eine Kugel aus einer Urne, die $5$ Kugeln enthält, die von $1$ bis $5$ nummeriert sind. Geben Sie an, ob die folgenden Ereignisse möglich, sicher oder unmöglich sind:

1. a) $A = \text{"eine Zahl größer als 0 erhalten"}$.
2. b) $B = \text{"die Zahl 7 erhalten"}$.
3. c) $C = \text{"eine gerade Zahl erhalten"}$.
4. d) $D = \text{"eine Zahl kleiner oder gleich 5 erhalten"}$.
5. e) $F = \text{"eine negative Zahl erhalten"}$.

Hugo, ein Schüler der Qualifikationsphase, analysiert die Qualitätskontrolle elektronischer Bauteile in einem Automobilwerk in Niedersachsen. Für jedes zufällig ausgewählte Bauteil definiert er die Ereignisse $A$: „Das Bauteil hat einen elektrischen Defekt“ und $B$: „Das Bauteil hat einen mechanischen Defekt“. Beim Verfassen des technischen Berichts behauptet Hugo: „Das Ereignis, dass ein Bauteil keinen der beiden Defekte aufweist, wird formal als $\overline{A} \cup \overline{B}$ ausgedrückt.“\na) Finden Sie den begrifflichen Fehler, den Hugo gemacht hat, und erklären Sie genau, welche Bauteile tatsächlich durch die Vereinigung $\overline{A} \cup \overline{B}$ dargestellt werden.\nb) Korrigieren Sie seinen Vorschlag, indem Sie das Ereignis „Das Bauteil weist keinen der beiden Defekte auf“ mathematisch korrekt auf zwei äquivalente Weisen schreiben: zuerst als Durchschnitt von Ereignissen und danach durch Anwendung der De Morganschen Gesetze ausgehend von einer Vereinigung.

In einer Studie zur Pünktlichkeit des öffentlichen Nahverkehrs in Nordrhein-Westfalen wird eine S-Bahn-Linie zwischen den Bahnhöfen Dortmund Universität und Köln Messe/Deutz untersucht. Betrachten Sie die folgenden drei Situationen im Zusammenhang mit einer Fahrt:\n1. Die exakte Länge der Bahnstrecke zwischen beiden Bahnhöfen in Kilometern messen.\n2. Festhalten, ob ein planmäßig um $14{,}15\text{ h}$ verkehrender Zug sein Ziel mit einer Verspätung von mehr als $3$ Minuten gegenüber dem offiziellen Fahrplan erreicht.\n3. Die exakte Zeit berechnen, die ein Zug benötigt, wenn von vornherein bekannt ist, dass er mit einer vom Computer automatisch festgelegten konstanten Geschwindigkeit von $60\text{ km/h}$ auf einem geraden Streckenabschnitt von $15\text{ km}$ fährt.\na) Ordnen Sie jede der drei Situationen begründet als deterministisches oder zufälliges Experiment ein.\nb) Beschreiben Sie für Situation 2 formal ihre Ergebnismenge $E_1$. Wird der Zug an zwei aufeinanderfolgenden Werktagen beobachtet und jeweils notiert, ob er eine Verspätung von mehr als $3$ Minuten hat ($R$) oder pünktlich ist ($P$), so geben Sie die zusammengesetzte Ergebnismenge $E_2$ an und listen Sie die Elementarereignisse auf, die das Ereignis $S$ bilden: „Der Zug hat an höchstens einem der beiden Tage Verspätung“.

Bei einem Zufallsexperiment besteht die Ergebnismenge aus einer Menge positiver ganzer Zahlen $E = \{1, 2, 3, \dots, n\}$. Es werden drei Ereignisse $A$, $B$ und $C$ definiert, über die folgende Informationen bekannt sind:\n1. $A \cap B = \{4, 6\}$\n2. $A - B = \{2, 8\}$\n3. $B - A = \{1, 3, 5\}$\n4. $C$ ist ein mit $A$ unvereinbares Ereignis ($A \cap C = \emptyset$), aber mit $B$ vereinbar, wobei $B \cap C = \{3\}$ gilt.\n5. $\overline{A \cup B \cup C} = \{7, 9, 10\}$\n6. Die Anzahl der Elementarereignisse, die $C$ bilden, ist gleich $3$.\na) Rekonstruieren Sie begründet die Mengen, die die Ereignisse $A$, $B$, $C$ und die vollständige Ergebnismenge $E$ definieren, und bestimmen Sie den Wert der Mächtigkeit $n$.\nb) Drücken Sie das Ereignis „Es tritt genau eines der drei Ereignisse ($A$, $B$ oder $C$) ein“ durch formale Mengenoperationen (Vereinigungen, Durchschnitte oder Komplemente) aus und geben Sie seine Elemente explizit an.

Ein Team von Datenanalysten einer E-Commerce-Plattform mit Sitz in Deutschland ordnet jede Reklamation nach zwei Faktoren ein: dem Eingangskanal (Telefon, Web, mobile App) und der zugewiesenen bearbeitenden Abteilung (Logistik, Abrechnung, Garantie, Kundenservice). Das Zufallsexperiment besteht darin, beide Faktoren für die nächste eingehende Reklamation zu erfassen.\na) Schätzen Sie intuitiv, ohne die detaillierte Liste der Fälle aufzuschreiben, wie viele Elementarergebnisse die Ergebnismenge $E$ enthält und wie viele verschiedene Ereignisse insgesamt (Teilmengen von $E$) bei diesem Experiment theoretisch definiert werden können. Überprüfen Sie Ihre Schätzungen, indem Sie die Mächtigkeit von $E$ mit dem Multiplikationsprinzip und die Mächtigkeit der Potenzmenge $\mathcal{P}(E)$ berechnen. Kommentieren Sie, ob die Größenordnung der Gesamtzahl der Ereignisse Ihrer anfänglichen Intuition entspricht.\nb) Es werden die Ereignisse $A$: „Die Reklamation geht nicht über die mobile App ein“ und $B$: „Die Reklamation wird der Logistik oder der Abrechnung zugewiesen“ definiert. Beschreiben Sie die verbale Bedeutung des Ereignisses $\overline{A \cup B}$ präzise, formen Sie es mithilfe der De Morganschen Gesetze um und bestimmen Sie, wie viele Elementarereignisse es enthält.\nc) Begründen Sie analytisch, ob die Ereignisse $A$ und $\overline{B}$ vereinbar oder unvereinbar sind.

In einer Entwicklungsumgebung für mobile Apps testet ein Programmierer die Sicherheit eines Zugangssystems. Es wird ein Zufallsexperiment definiert, bei dem ein zufälliger vierstelliger Code erzeugt wird, der ausschließlich die Ziffern $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ verwendet. Es werden folgende Ereignisse betrachtet:

• $A$: „Der Code enthält mindestens zwei aufeinanderfolgende gleiche Ziffern“.

• $B$: „Die Quersumme des Codes ist eine Primzahl größer als 15“.

• $C$: „Der Code ist ein Palindrom (er liest sich von links nach rechts genauso wie von rechts nach links)“.

Beschreiben Sie die Ergebnismenge $E$ ausführlich unter Angabe ihrer Mächtigkeit und drücken Sie mithilfe der Mengenalgebra für Ereignisse die folgenden Ereignisse symbolisch aus:

1. a) Der Code ist kein Palindrom oder die Quersumme seiner Ziffern ist keine Primzahl größer als 15.

1. b) Der Code ist ein Palindrom und enthält mindestens zwei aufeinanderfolgende gleiche Ziffern, aber die Quersumme seiner Ziffern ist keine Primzahl größer als 15.

1. c) Zeigen Sie, ob die Ereignisse $A$ und $C$ vereinbar oder unvereinbar sind, und begründen Sie Ihre Antwort anhand eines Beispiels für ein Element der Ergebnismenge.

Ein Kommunikationssatellit sendet Datenbursts, die aus Binärfolgen der Länge $n=3$ bestehen. Aufgrund kosmischen Rauschens wird jedes Bit mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit verändert. Wir definieren die Ergebnismenge $E$ als die Menge aller möglichen binären Tripel. Seien die Ereignisse:

• $A = \{(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)\}$

• $B = \{(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,1,1)\}$

Vereinfachen Sie mithilfe der De Morganschen Gesetze den Term des Ereignisses $S = \overline{(\overline{A} \cup B) \cap (A \cup \overline{B})}$ so weit wie möglich. Beschreiben Sie nach der Vereinfachung in Worten, welche gemeinsame Eigenschaft die Folgen, die dieses Ereignis $S$ bilden, hinsichtlich der Anzahl der „Einsen“ im Burst haben.

In einem Genetiklabor wird die Mutation eines DNA-Strangs untersucht, der durch vier aufeinanderfolgende Stickstoffbasen $\{A, C, G, T\}$ dargestellt wird. Das Experiment besteht darin, einen Strang mit 3 Positionen zu beobachten. Es werden die Ereignisse betrachtet:

• $M$: „Der Strang enthält mindestens eine Base $G$“.

• $N$: „Der Strang beginnt mit $A$ oder endet mit $T$“.

Bestimmen Sie mithilfe von Zähltechniken die Anzahl der Elemente der folgenden Ereignisse:

1. $M \cap N$

2. $\overline{M} \cup N$

3. $\overline{M \cup N}$

Erklären Sie begründet, ob die Menge der Ereignisse $\{M \cap N, \overline{M} \cap N, M \cap \overline{N}, \overline{M \cup N}\}$ eine Zerlegung der Ergebnismenge $E$ bildet.

Betrachten wir ein Zufallsexperiment, dessen Ergebnismenge die Menge der positiven ganzen Zahlen ist, $E = \{1, 2, 3, \dots\}$. Wir definieren die Ereignisse:

$A_k = \{x \in E \mid x \text{ ist ein Vielfaches von } k\}$ für jedes $k \in \{2, 3, 5\}$.

Drücken Sie die folgenden Ereignisse mithilfe von $A_2$, $A_3$ und $A_5$ aus und bestimmen Sie ihre fünf kleinsten Elemente:

1. a) „Die Zahl ist ein Vielfaches von 2 und von 3, aber nicht von 5“.

1. b) „Die Zahl ist Vielfaches von genau einem der drei Werte $\{2, 3, 5\}$“.

1. c) „Die Zahl ist Vielfaches von keinem der drei Werte“.

Ein robotisches Paketsortiersystem macht zufällig Fehler. Bei der Auswertung des Verlaufs von 1000 Paketen werden die Ereignisse definiert:

• $A$: „Das Paket hat ein falsches Gewicht“.

• $B$: „Das Paket hat einen unleserlichen Barcode“.

• $C$: „Das Paket wurde auf eine falsche Route geschickt“.

Es ist bekannt, dass kein Paket alle drei Fehler gleichzeitig aufweist ($A \cap B \cap C = \emptyset$). Bezeichnen wir mit $n(X)$ die Anzahl der Pakete im Ereignis $X$, so gilt:

$n(A) = 45$, $n(B) = 38$, $n(C) = 22$, $n(A \cap B) = 12$, $n(A \cap C) = 8$ und $n(B \cap C) = 5$.

Berechnen Sie die Anzahl der Elemente der folgenden Ereignisse und drücken Sie sie mithilfe von Mengenoperationen aus:

1. $(\overline{A \cup B}) \cap C$

2. $(A \cap \overline{B}) \cup (B \cap \overline{A})$

3. $\overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

Es wird ein Zufallsexperiment durchgeführt: Ein Dart wird auf eine kreisförmige Scheibe mit dem Radius $R$ geworfen. Das Ergebnis des Experiments ist der Abstand $d$ vom Mittelpunkt der Scheibe bis zum Einschlagpunkt. Wir definieren die Ereignisse:

• $S_1$: „Der Dart trifft in einem Abstand $d < \frac{R}{3}$ ein“.

• $S_2$: „Der Dart trifft in einem Abstand $\frac{R}{4} < d < \frac{2R}{3}$ ein“.

Verwenden Sie für den Wert von $d$ die Intervallschreibweise:

1. Geben Sie die Ergebnismenge $E$ an.

2. Bestimmen Sie die Intervalle, die zu den Ereignissen $S_1 \cup S_2$, $S_1 \cap S_2$ und $S_1 - S_2$ gehören.

3. Bestimmen Sie das Gegenereignis von $S_1 \cup S_2$ und erklären Sie seine anschauliche Bedeutung im Kontext des Spiels.

Seien $A, B$ und $C$ drei beliebige Ereignisse eines Zufallsexperiments. Beweisen Sie formal unter Verwendung der Rechenregeln der Ereignisalgebra (Distributivgesetz, Komplementarität usw.) die folgende Identität:

Erklären Sie, wie diese Operation in der Mengenlehre heißt, und stellen Sie das resultierende Ereignis in einem schraffierten Venn-Diagramm dar.

Bei einem E-Sport-Turnier treten drei Spieler ($P_1, P_2, P_3$) in Ausscheidungsspielen „1 gegen 1“ gegeneinander an. Das Experiment besteht darin, den Gewinner jeder Partie festzuhalten, bis ein Spieler zwei Partien nacheinander gewinnt oder höchstens 4 Partien gespielt wurden.

1. Zeichnen Sie das Baumdiagramm, das dieses Zufallsexperiment darstellt, wenn in der ersten Partie $P_1$ gegen $P_2$ spielt und der Verlierer durch den wartenden Spieler ($P_3$) ersetzt wird.

2. Geben Sie alle Elemente der Ergebnismenge $E$ explizit an.

3. Definieren Sie das Ereignis $X$: „Spieler $P_3$ spielt mindestens zwei Partien“ und das Ereignis $Y$: „Das Turnier endet in der dritten Partie“. Sind $X$ und $Y$ unvereinbare Ereignisse? Begründen Sie dies, indem Sie ihren Durchschnitt untersuchen.

Sie können dies auf Papier erledigen und ein Foto mit Ihrer Antwort einsenden.

Bei einem neuen strategischen Brettspiel muss ein Spieler einen Tetraederwürfel (Seiten von $1$ bis $4$ nummeriert) werfen und gleichzeitig eine Karte aus einem verkleinerten Stapel ziehen, der nur die vier Asse und die vier Könige eines spanischen Kartenspiels enthält.

Betrachten Sie das Zufallsexperiment, die Zahl des Würfels und den Wert der Karte (Ass oder König) zu notieren:

1. a) Beschreiben Sie die Ergebnismenge $E$ des Experiments.
2. b) Gegeben seien die Ereignisse:

$A$ = „Eine gerade Zahl auf dem Würfel erhalten“.

$B$ = „Ein Ass beliebiger Farbe erhalten“.

$C$ = „Eine Zahl kleiner als $3$ auf dem Würfel erhalten und die Karte ist ein König“.

Bestimmen Sie die Elemente der Ereignisse $A \cup B$, $A \cap B$ und $B \cap C$.

Ein IT-Sicherheitsunternehmen analysiert Zugriffsversuche auf einen Server. Betrachten Sie die Ergebnismenge $\Omega$ aller möglichen Zugriffe, die nach ihrem Status in $L$ (legitim), $S$ (verdächtig) und $M$ (bösartig) eingeteilt werden. Ein automatisches Filtersystem teilt die Zugriffe in zwei Kategorien ein: $F$ (gefiltert) und $P$ (zugelassen).

Stellen Sie die Situation mit Venn-Diagrammen dar und definieren Sie die folgenden Ereignisse symbolisch:

1. a) Der Zugriff ist bösartig oder verdächtig, wurde aber zugelassen.
2. b) Der Zugriff ist nicht bösartig und wurde gefiltert.
3. c) Das zweite Gesetz von De Morgan gilt für die Ereignisse „Bösartiger Zugriff“ ($M$) und „Gefilterter Zugriff“ ($F$).

In einem Robotik-Labor werden zwei unabhängige Sensoren $S_1$ und $S_2$ getestet. Das Experiment besteht darin zu prüfen, ob jeder Sensor bei einem Reiz anspricht ($1$) oder nicht ($0$).

1. a) Geben Sie die Ergebnismenge $E$ an.
2. b) Beschreiben Sie das Gegenereignis von $A$, wobei $A$ = „Mindestens einer der Sensoren spricht an“.
3. c) Wir definieren das Ereignis $B$ = „Beide Sensoren verhalten sich gleich“. Bestimmen Sie $A \cap B$ und das Differenzereignis $B - A$.

Ein Jugendlicher möchte seine Playlist zum Lernen zusammenstellen. Er hat $3$ Lieder aus dem Genre Lo-fi, $2$ aus dem Genre Jazz und $2$ aus dem Genre Indie. Das Experiment besteht darin, zufällig zwei Lieder nacheinander ohne Wiederholung (ohne Zurücklegen) auszuwählen.

1. a) Stellen Sie das Experiment in einem Baumdiagramm dar und geben Sie an jedem Ast die möglichen Genres an.

1. b) Bestimmen Sie die Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse der Ergebnismenge (die Lieder gelten dabei als unterscheidbare Elemente).

1. c) Beschreiben Sie das zusammengesetzte Ereignis „Die beiden ausgewählten Lieder gehören zu verschiedenen Genres“.

Wir betrachten das Zufallsexperiment, einen Oktaederwürfel (Seiten von $1$ bis $8$) und einen gewöhnlichen Würfel (Seiten von $1$ bis $6$) zu werfen. Wir definieren die folgenden Ereignisse:

$A$ = „Die Augensumme ist eine Primzahl“.

$B$ = „Das Produkt der Augenzahlen ist ein Vielfaches von $10$“.

1. a) Sind $A$ und $B$ vereinbare oder unvereinbare Ereignisse? Begründen Sie Ihre Antwort und geben Sie, falls vorhanden, mindestens ein Element des Durchschnitts an.
2. b) Berechnen Sie die Anzahl der Elemente des Gegenereignisses von $B$.

An einem Gymnasium wird eine Studie zur Nutzung sozialer Netzwerke durchgeführt. Es werden zwei Schüler zufällig ausgewählt und gefragt, ob sie regelmäßig das Netzwerk $X$ und das Netzwerk $Y$ nutzen. Sei $x_i$ das Ereignis „Schüler $i$ nutzt das Netzwerk $X$“ und $y_i$ das Ereignis „Schüler $i$ nutzt das Netzwerk $Y$“.

Drücken Sie die folgenden Ereignisse symbolisch mithilfe der Operationen Vereinigung, Durchschnitt und Komplement aus:

1. a) Nur der erste Schüler nutzt beide sozialen Netzwerke.
2. b) Mindestens einer der beiden Schüler nutzt das Netzwerk $X$, aber keiner nutzt das Netzwerk $Y$.
3. c) Beide Schüler haben bezüglich dieser beiden sozialen Netzwerke genau dasselbe Nutzungsverhalten.

Eine Lostrommel enthält $10$ Kugeln, die von $0$ bis $9$ nummeriert sind. Es werden nacheinander drei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, um eine dreistellige Zahl zu bilden (die erste Kugel entspricht den Hundertern, die zweite den Zehnern und die dritte den Einern; Ergebnisse, die mit $0$ beginnen, sind zulässig, wie $047$).

1. a) Wie viele Elemente hat die Ergebnismenge $E$?
2. b) Beschreiben Sie das Ereignis $S$ = „Die gebildete Zahl ist ein Palindrom“.
3. c) Beschreiben Sie das Ereignis $M$ = „Die gebildete Zahl ist ein Vielfaches von $5$ und größer als $700$“.

Sei $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ die Ergebnismenge eines Zufallsexperiments. Wir betrachten die Ereignisse $A = \{2, 4, 6, 8\}$, $B = \{3, 6\}$ und $C = \{1, 2, 3\}$.

Bestimmen Sie die Mengen, die sich aus den folgenden Operationen ergeben, und prüfen Sie, ob zwischen ihnen eine Teilmengenbeziehung besteht:

1. a) $(A \cup B) \cap C^c$
2. b) $(A \cap C) \cup (B \cap C)$
3. c) $A - (B \cup C)$

Hinweis: $C^c$ bezeichnet das Gegenereignis von $C$.

Das Statistische Bundesamt (Destatis) entwirft eine Studie zum nachhaltigen Mobilitätsverhalten, in der Bürger nach drei vereinbaren Ereignissen eingeteilt werden: $A$ („nutzt regelmäßig das Fahrrad“), $B$ („nutzt regelmäßig den öffentlichen Nahverkehr“) und $C$ („geht regelmäßig zu Fuß“). Für einen Fachbericht formuliert ein Analyst die folgende Einschlussbedingung für Nutzer:\n$$S = (A \cap \overline{B}) \cup (A \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap \overline{C})$$\nUm $S$ zu vereinfachen und herauszufinden, welchem Ereignis es in nicht weiter reduzierbarer Form entspricht, werden zwei Wege betrachtet:\n- Methode 1 (direkte Ereignisalgebra): Anwendung der Distributiv-, Assoziativ- und Komplementgesetze ($X \cup \overline{X} = E$, wobei $E$ die Ergebnismenge bezeichnet).\n- Methode 2 (Komplementbildung und De Morgan): Den Gesamtausdruck doppelt verneinen ($\overline{\overline{S}}$) und die Vereinigungen in Schnitte von Komplementen umformen.\na) Führen Sie Methode 1 vollständig durch und geben Sie bei jedem Schritt ausdrücklich an, welches algebraische Gesetz ihn rechtfertigt, bis Sie die einfachste Darstellung von $S$ erhalten.\nb) Beginnen Sie mit Methode 2, analysieren Sie begründet die algebraischen Schwierigkeiten, die dabei im Vergleich zu Methode 1 auftreten, und begründen Sie, welches der beiden Verfahren effizienter und weniger fehleranfällig ist, um Ausdrücke dieser Art zu vereinfachen.\nc) Vereinfachen Sie mithilfe des in a) erhaltenen reduzierten Ausdrucks das Ereignis $\overline{S \cup B}$ unter strenger Anwendung der De Morganschen Gesetze und deuten Sie seine soziologische Bedeutung im Kontext der urbanen Mobilität.

Ein Netzbetreiber modelliert die Versorgungssicherheit des Stromnetzes zwischen einem Kraftwerk für erneuerbare Energien $G$ und einem Industriegebiet $P$. Das Netz verfügt über drei Leistungsschalter: $I_1$, $I_2$ und $I_3$. Der Strom fließt von $G$ nach $P$, wenn mindestens ein Weg geschlossen bleibt: ein direkter Weg, der ausschließlich vom Schalter $I_1$ abhängt, und ein alternativer Weg aus den in Reihe geschalteten Schaltern $I_2$ und $I_3$ (beide müssen gleichzeitig funktionieren, damit der alternative Weg Energie leitet).\nBetrachtet werden die Ausfallereignisse der einzelnen Schalter bei einer Überlast: $F_1$ („Schalter $I_1$ fällt aus“), $F_2$ („Schalter $I_2$ fällt aus“) und $F_3$ („Schalter $I_3$ fällt aus“).\na) Modellieren Sie mithilfe von $F_1$, $F_2$ und $F_3$ durch Ereignisoperationen ($\cup, \cap, \overline{\phantom{A}}$):\n- Das Ereignis $C$: „Die Stromversorgung zwischen $G$ und $P$ wird vollständig unterbrochen“.\n- Das Ereignis $O$: „Die Stromversorgung zwischen $G$ und $P$ bleibt in Betrieb“.\nb) Beweisen Sie formal mithilfe der De Morganschen Gesetze und der Distributivgesetze der Ereignisalgebra, dass Ihr Ausdruck für $O$ streng gleich dem Gegenereignis von $C$ ist (also $O = \overline{C}$).\nc) Nehmen Sie an, dass die Schalter $I_1$ und $I_2$ über ein gemeinsames physikalisches Differenzialsystem verfügen, das verhindert, dass beide gleichzeitig ausfallen, sodass $F_1$ und $F_2$ unvereinbare Ereignisse sind ($F_1 \cap F_2 = \emptyset$). Begründen Sie, ob diese technische Einschränkung eine Vereinfachung des booleschen Ausdrucks für das Ereignis des Totalausfalls $C$ erlaubt, und bestimmen Sie, ob die Ereignisse $F_1$ und $(F_2 \cup F_3)$ unter dieser Bedingung vereinbar sind oder nicht.