Aufgaben: Bedingte Wahrscheinlichkeit

Auf einer Convention für Gaming-Fans wird unter den Besuchern eine Konsole der neuesten Generation verlost. Es nehmen 120 Personen aus Berlin, 80 aus Köln und 50 aus Düsseldorf teil. Außerdem ist bekannt, dass 60 % aller Teilnehmer unter 18 Jahre alt sind. Es wird zufällig ein Gewinner gezogen. Berechnen Sie:

1. a) Die Ergebnismenge bezüglich der Herkunft der Teilnehmer.

1. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinner aus Berlin kommt.

1. c) Die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinner volljährig ist.

Ein Social-Media-Analyst untersucht das Verhalten von Jugendlichen auf zwei Plattformen: TikTok ($T$) und Instagram ($I$). Nach einer Befragung in einer Oberstufengruppe stellt er fest, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler TikTok nutzt, $P(T) = 0,75$ beträgt, die, dass er Instagram nutzt, $P(I) = 0,60$, und die, dass er beide Plattformen nutzt, $P(T \cap I) = 0,45$.

Das Venn-Diagramm enthält diese Daten; die mit „?“ markierten Bereiche sind Wahrscheinlichkeiten, die noch nicht bekannt sind.

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler:

1. a) TikTok oder Instagram nutzt.
2. b) TikTok, aber nicht Instagram nutzt ($T \setminus I$).
3. c) keine der beiden Plattformen nutzt.

In einer Sprachschule sind 40 % der Lernenden im Deutschkurs eingeschrieben ($A$). Von den im Deutschkurs Eingeschriebenen besuchen 30 % auch den Konversationskurs ($C$). Es wird zufällig ein Lernender der Schule ausgewählt. Bestimmen Sie:

1. a) Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Lernender im Deutschkurs eingeschrieben ist und den Konversationskurs besucht.
2. b) Ein Lernender ist im Deutschkurs. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er den Konversationskurs nicht besucht?

Seien $A$ und $B$ zwei stochastisch unabhängige Ereignisse eines Zufallsexperiments mit $P(A) = 0,4$ und $P(B) = 0,5$. Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

1. a) $P(A \cap B)$
2. b) $P(A \cup B)$
3. c) $P(A|B)$
4. d) $P(\bar{A} \cap \bar{B})$

In einer Gruppe von 100 Personen wird eine Studie zum Haustierbesitz durchgeführt. Die Ergebnisse sind in der folgenden Vierfeldertafel festgehalten:

1. a) Vervollständigen Sie die Vierfeldertafel.
2. b) Eine Person wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie Hund und Katze hat?
3. c) Die ausgewählte Person hat einen Hund. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie auch eine Katze hat?

Eine Urne enthält 5 weiße und 3 schwarze Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen (die erste wird vor dem Ziehen der zweiten zurückgelegt). Stellen Sie die Situation in einem Baumdiagramm dar und berechnen Sie:

1. a) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind.
2. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass die erste schwarz und die zweite weiß ist.
3. c) Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln dieselbe Farbe haben.

In einer Arztpraxis wird geschätzt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient Grippe hat, $P(G) = 0,15$ beträgt. Bekannt ist: Hat ein Patient Grippe, beträgt die Wahrscheinlichkeit für Fieber $0,90$, während sie bei einem Patienten ohne Grippe auf $0,10$ sinkt.

Ein Patient wird zufällig ausgewählt und hat Fieber. Wie heißt die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(G|F)$ und welcher Satz wird üblicherweise zu ihrer Berechnung verwendet? (Die abschließende numerische Berechnung ist nicht nötig, es genügt, die Begriffe zu benennen.)

Zwei faire sechsseitige Würfel werden gleichzeitig geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:

1. a) Die Augensumme ist gleich 7.
2. b) Auf dem ersten Würfel ist eine gerade Zahl gefallen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 7 beträgt?
3. c) Sind die Ereignisse „Summe gleich 7“ und $G$: „erster Würfel gerade“ stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie $P(S=7|G)$ mit $P(S=7)$ vergleichen.

An einem Gymnasium wurden Daten von 200 Schülern der Jahrgangsstufe 13 zu zwei Ereignissen erhoben: $A$ (die Mathematikklausur bestehen) und $B$ (regelmäßig die Schulbibliothek besuchen). Die Erhebung zeigt: 120 besuchen die Bibliothek, 90 bestehen die Klausur und 60 tun beides.

Marcos möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Schüler Mathematik besteht, wenn er die Bibliothek besucht, und schreibt in seiner Klausur:

1. a) Geben Sie genau an, welche Wahrscheinlichkeit Marcos tatsächlich berechnet hat, und erklären Sie den begrifflichen Fehler seines Ansatzes in Bezug auf die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit und den Wechsel der Ergebnismenge.
2. b) Korrigieren Sie die Rechnung, indem Sie den richtigen Wert von $P(A|B)$ bestimmen.
3. c) Begründen Sie formal, ob für diese Schülergruppe der Bibliotheksbesuch und das Bestehen der Mathematikklausur stochastisch unabhängige Ereignisse sind.

Nach Daten des Kraftfahrt-Bundesamts zum Erwerb des Führerscheins Klasse B in einem Kreis besteht $40\%$ der Bewerber die praktische Prüfung beim ersten Versuch (Ereignis $A$). Außerdem absolviert $30\%$ der Bewerber vorher einen Intensivkurs im Fahrsimulator (Ereignis $S$), und es ist bekannt, dass $20\%$ aller Bewerber den Simulatorkurs absolvieren und zusätzlich beim ersten Mal bestehen.

1. a) Modellieren Sie die Situation, indem Sie die Ereignisse mit der passenden Wahrscheinlichkeitsnotation definieren, und geben Sie die Werte von $P(A)$, $P(S)$ und $P(A \cap S)$ an.
2. b) Es wird zufällig ein Bewerber ausgewählt, der den Simulatorkurs absolviert hat. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er die praktische Prüfung beim ersten Versuch besteht.
3. c) Verändert der Simulatorkurs angesichts der Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Mal zu bestehen, oder sind die Ereignisse stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie $P(A|S)$ mit $P(A)$ vergleichen.

Auf einer Streaming-Plattform sehen $60\%$ der Nutzer Science-Fiction-Serien (Ereignis $S$) und $45\%$ sehen Dokumentationen (Ereignis $D$). Bekannt ist, dass $20\%$ der Nutzer beide Genres mögen. Es wird zufällig ein Nutzer ausgewählt, von dem man weiß, dass er Science-Fiction-Serien sieht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er auch Dokumentationen sieht. Sind die Ereignisse „Science-Fiction-Serien sehen“ und „Dokumentationen sehen“ stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort.

Ein Sportleistungszentrum analysiert die Leistung seiner 120 Athleten. Man stellt fest, dass 65 von ihnen eine spezielle Diät einhalten, 70 hochintensives Training absolvieren und 40 beide Bedingungen erfüllen.

1. Ordnen Sie die Daten in einer Vierfeldertafel.

2. Ein Athlet wird zufällig ausgewählt und absolviert kein hochintensives Training. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die spezielle Diät einhält?

3. Der ausgewählte Athlet hält die Diät nicht ein. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er auch kein hochintensives Training absolviert?

Eine Musik-App hat zwei Wiedergabelisten. Liste $A$ enthält 8 Popsongs und 4 Rocksongs. Liste $B$ enthält 5 Popsongs und 7 Rocksongs. Man wirft einen fairen Würfel: Fällt eine Zahl kleiner als 3, spielt die App zufällig einen Song aus Liste $A$ ab, andernfalls aus Liste $B$.

1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der abgespielte Song ein Rocksong ist.

2. Der abgespielte Song war ein Popsong. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er aus Liste $A$ stammt?

Bei einer Qualitätskontrolle in einem Werk für elektronische Bauteile ist bekannt, dass das Ereignis $F$ (das Bauteil hat einen Lötfehler) die Wahrscheinlichkeit $P(F) = 0,08$ hat und das Ereignis $C$ (das Bauteil hat einen Gehäusefehler) die Wahrscheinlichkeit $P(C) = 0,12$. Wenn beide Ereignisse stochastisch unabhängig sind, berechnen Sie:

1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil beide Fehler hat.

2. Die Wahrscheinlichkeit, dass es mindestens einen Fehler hat.

3. Die Wahrscheinlichkeit, dass es keinen Fehler hat.

4. Das Bauteil hat einen Gehäusefehler. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es keinen Lötfehler hat?

Ein Test zur Erkennung einer Sicherheitslücke bei Servern fällt bei $98\%$ der tatsächlich infizierten Server positiv aus. Er liefert jedoch in $2\%$ der Fälle einen „falsch positiven“ Befund (positiv bei gesunden Servern). In einem Firmennetzwerk sind schätzungsweise $1\%$ der Server infiziert.

1. Ein Server fällt im Test positiv aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er tatsächlich infiziert ist?

2. Interpretieren Sie anhand des vorherigen Ergebnisses, ob der Test für den Masseneinsatz in diesem Netzwerk zuverlässig ist.

Aus einem spanischen Kartenspiel mit 40 Karten werden nacheinander ohne Zurücklegen zwei Karten gezogen. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:

1. Die zweite Karte ist ein König, wenn die erste ein Ass war.

2. Die zweite Karte ist ein König, wenn die erste ebenfalls ein König war.

3. Beide Karten sind Bildkarten (Bube, Reiter oder König).

4. Die zweite Karte war ein Oro (Münzen). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es die erste ebenfalls war?

Ein Logistikunternehmen liefert Pakete in drei Bezirken aus: Nord ($40\%$), Mitte ($35\%$) und Süd ($25\%$). Der Anteil verspäteter Lieferungen beträgt $5\%$ im Norden, $8\%$ in der Mitte und $12\%$ im Süden.

1. Ein Paket wird zufällig ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es pünktlich geliefert wurde?

2. Ein Paket wurde verspätet geliefert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es für den Bezirk Süd bestimmt war?

Seien $A$ und $B$ zwei Ereignisse mit $P(A) = 0,4$, $P(B|A) = 0,25$ und $P(A' \cap B') = 0,45$.

1. Berechnen Sie $P(A \cap B)$.

2. Berechnen Sie $P(B)$.

3. Berechnen Sie $P(A|B)$.

4. Bestimmen Sie, ob die Ereignisse $A$ und $B$ vereinbar und ob sie stochastisch unabhängig sind. Begründen Sie Ihre Schlussfolgerungen.

In einer Viehzuchtregion wird ein Diagnosetest zur Erkennung einer bakteriellen Infektion mit sehr geringer Prävalenz eingesetzt: Nur $2\%$ des Viehbestands ist infiziert (Ereignis $E$). Der Veterinärtest hat eine Sensitivität von $95\%$ (Wahrscheinlichkeit, bei Infektion positiv auszufallen, $P(+|E) = 0,95$) und eine Rate falsch positiver Ergebnisse von $5\%$ (Wahrscheinlichkeit, bei einem gesunden Tier positiv auszufallen, $P(+|\overline{E}) = 0,05$).

1. a) Schätzen Sie, bevor Sie etwas berechnen, intuitiv: Ein Rind wird zufällig ausgewählt und sein Test ist positiv. Glauben Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass es tatsächlich infiziert ist, über $80\%$, in der Nähe von $50\%$ oder unter $30\%$ liegt? Formulieren Sie Ihre Schätzung und begründen Sie Ihren ersten Eindruck in ein bis zwei Zeilen.
2. b) Modellieren Sie das Problem mithilfe des Satzes von der totalen Wahrscheinlichkeit und berechnen Sie die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(E|+)$ exakt.
3. c) Vergleichen Sie das mathematische Ergebnis mit Ihrer vorherigen Schätzung. Begründen Sie, warum das Ergebnis für viele Menschen kontraintuitiv ist, und erklären Sie, wie die Gesamtprävalenz der Infektion die Aussagekraft eines positiven Ergebnisses beeinflusst.

Beim Abitur eines Hochschulbezirks werden die Anmeldungen zu zwei Wahlfächern untersucht: Technisches Zeichnen ($D$) und Physik ($F$). Aus den offiziellen Protokollen geht hervor, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Schüler Technisches Zeichnen wählt, $P(D) = 0,35$ beträgt und die Wahrscheinlichkeit, dass er mindestens eines der beiden Fächer wählt, $P(D \cup F) = 0,74$.

1. a) Stellen Sie eine Gleichung auf und bestimmen Sie, welchen genauen Wert die a-priori-Wahrscheinlichkeit, Physik zu wählen, $P(F)$, haben müsste, damit die Wahl beider Fächer vollständig stochastisch unabhängig wäre.
2. b) In Wirklichkeit sind die Wahlen im Bezirk nicht unabhängig, und die bedingte Wahrscheinlichkeit, Zeichnen zu wählen, wenn Physik gewählt wurde, beträgt $P(D|F) = 0,40$. Berechnen Sie die tatsächliche Wahrscheinlichkeit, Physik zu wählen, $P(F)$, und die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit $P(F|D)$.
3. c) Erstellen Sie mit den Daten aus Teilaufgabe b) die vollständige Vierfeldertafel der Wahrscheinlichkeiten für die Ereignisse $D$, $\overline{D}$, $F$ und $\overline{F}$.

In einem Biotechnologielabor wird die Resistenz eines Bakteriums gegen zwei Antibiotika, $A$ und $B$, untersucht. Bekannt ist, dass die Wahrscheinlichkeit, dass das Bakterium gegen das Antibiotikum $A$ resistent ist, $P(A) = 0,65$ beträgt und die Wahrscheinlichkeit, dass es gegen das Antibiotikum $B$ resistent ist, $P(B) = 0,48$. Außerdem wurde ermittelt, dass die Wahrscheinlichkeit, gegen keines der beiden resistent zu sein, $12\%$ beträgt.

Berechnen Sie mit Begründung:

1. a) Die Wahrscheinlichkeit, dass das Bakterium gegen $A$ resistent ist, unter der Bedingung, dass es gegen $B$ resistent ist.
2. b) Die Wahrscheinlichkeit, dass es nur gegen eines der beiden Antibiotika resistent ist.
3. c) Sind die Ereignisse „gegen $A$ resistent sein“ und „gegen $B$ resistent sein“ stochastisch unabhängig? Begründen Sie Ihre Antwort durch Rechnung.

Ein Paketdienst nutzt drei verschiedene Routen ($R_1, R_2, R_3$), um Pakete in einer Großstadt auszuliefern. $30\%$ der Sendungen werden Route $R_1$ zugewiesen, $45\%$ Route $R_2$ und der Rest Route $R_3$. Aus Erfahrung ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeiten, dass ein Paket auf der jeweiligen Route verspätet ankommt, $4\%$, $6\%$ bzw. $2\%$ betragen.

Wenn wir zufällig ein Paket auswählen und feststellen, dass es verspätet angekommen ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es NICHT über Route $R_2$ gelaufen ist?

Ein Sicherheitssystem für einen kritischen Server besteht aus zwei parallel geschalteten Komponenten $C_1$ und $C_2$, d. h., das System funktioniert, wenn mindestens eine der Komponenten funktioniert. Die Wahrscheinlichkeit, dass Komponente $C_1$ in einem Jahr ausfällt, beträgt $0,05$ und die, dass $C_2$ ausfällt, $0,08$. Die Ausfälle der Komponenten sind stochastisch unabhängige Ereignisse.

Berechnen Sie:

1. a) Die Wahrscheinlichkeit, dass das System ein Jahr lang einwandfrei funktioniert.
2. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Komponente $C_1$ ausgefallen ist, wenn bekannt ist, dass das System einwandfrei funktioniert hat?

In einem E-Sport-Turnier muss ein Spieler zwei Phasen überstehen. Die Wahrscheinlichkeit, die erste Phase zu überstehen, beträgt $0,7$. Wenn er die erste übersteht, beträgt die Wahrscheinlichkeit, die zweite zu überstehen, $0,5$. Wenn er die erste jedoch nicht übersteht, hat er eine Chance über die Hoffnungsrunde, bei der die Wahrscheinlichkeit, direkt ins Finale zu kommen (und die zweite Phase zu überspringen), nur $0,2$ beträgt.

1. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler das Finale erreicht (entweder durch Bestehen beider Phasen oder über die Hoffnungsrunde).
2. b) Wenn der Spieler das Finale erreicht hat, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er es über die Hoffnungsrunde geschafft hat?

Wir haben zwei Urnen mit farbigen Kugeln. Urne $U_1$ enthält 4 weiße und 6 schwarze Kugeln. Urne $U_2$ enthält 5 weiße und 3 schwarze Kugeln. Aus Urne $U_1$ wird zufällig eine Kugel gezogen und, ohne ihre Farbe anzusehen, in Urne $U_2$ gelegt. Anschließend wird eine Kugel aus Urne $U_2$ gezogen.

Berechnen Sie:

1. a) Die Wahrscheinlichkeit, dass die aus der zweiten Urne gezogene Kugel weiß ist.
2. b) Wenn die aus der zweiten Urne gezogene Kugel weiß ist, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die von der ersten in die zweite Urne umgelegte Kugel schwarz war?

Es wurde ein Diagnosetest zur Erkennung einer Schwachstelle in einer Verwaltungssoftware durchgeführt. $5\%$ der analysierten Anwendungen enthalten diese Schwachstelle. Der Test ist in $98\%$ der Fälle positiv, in denen die Schwachstelle vorhanden ist, liefert aber auch $2\%$ falsch positive Ergebnisse (positiv, obwohl die Anwendung sicher ist).

1. a) Wenn der Test positiv ausfällt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anwendung tatsächlich die Schwachstelle hat?
2. b) Wenn der Test negativ ausfällt, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Anwendung tatsächlich sicher ist?
3. c) Interpretieren Sie die Ergebnisse: Ist der Test zuverlässiger, um die Schwachstelle zu bestätigen oder um sie auszuschließen?

Seien $A$ und $B$ zwei Ereignisse eines Zufallsexperiments, deren bedingte Wahrscheinlichkeiten $P(A|B) = 0,25$ und $P(B|A) = 0,4$ erfüllen. Wenn wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung beider $P(A \cup B) = 0,55$ beträgt, berechnen Sie die Werte von $P(A)$ und $P(B)$.

In einem Leistungszentrum für Sport trainieren $40\%$ der Athleten Schwimmen ($N$), $30\%$ trainieren Radsport ($C$) und die übrigen trainieren Laufen ($R$). Die Wahrscheinlichkeit, im Laufe der Saison eine Muskelverletzung zu erleiden, beträgt $0,15$ bei den Schwimmern, $0,20$ bei den Radsportlern und $0,35$ bei den Läufern.

1. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Athlet eine Muskelverletzung erleidet.
2. b) Ein Athlet hat keine Verletzung erlitten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er Schwimmer ist?
3. c) Sind die Ereignisse „Radsport trainieren“ und „eine Verletzung erleiden“ stochastisch unabhängig? Weisen Sie dies nach.

Ein IT-Sicherheitsbericht über kleine und mittlere Unternehmen in Spanien bewertet die Wirksamkeit einer Firewall gegen Angriffe von außen. Drei Tatsachen sind bekannt:

• Bei $8\%$ der Unternehmen kommt es monatlich zu einem ernsthaften Eindringversuch (Ereignis $I$).

• Wenn bei einem Unternehmen ein Eindringversuch stattfindet, löst die Firewall mit der Wahrscheinlichkeit $P(A|I) = 0,90$ einen Alarm aus.

• Wenn das Unternehmen keinen Eindringversuch erlebt, besteht eine Wahrscheinlichkeit von $3\%$ für einen Fehlalarm aufgrund von Systemfehlern, also $P(A|\overline{I}) = 0,03$.

Die Geschäftsleitung möchte die Wahrscheinlichkeit kennen, dass es sich bei einem ausgelösten Alarm tatsächlich um einen Fehlalarm handelt ($P(\overline{I}|A)$), sowie die Wahrscheinlichkeit, dass das System still bleibt und kein Eindringversuch vorliegt ($P(\overline{A} \cap \overline{I})$).

1. a) Lösen Sie das Problem mit zwei verschiedenen Methoden:

• Methode 1: Baumdiagramm und Berechnung mit den Formeln für die bedingte Wahrscheinlichkeit und dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit.

• Methode 2: Vierfeldertafel mit absoluten Häufigkeiten, bezogen auf eine hypothetische Gesamtheit von $10.000$ Unternehmen.

1. b) Analysieren und vergleichen Sie beide Methoden: Welche der beiden verringert das Risiko, bei der Interpretation der Ergebnisse $P(A|\overline{I})$ mit $P(\overline{I}|A)$ zu verwechseln, wirksamer? Begründen Sie Ihre Antwort, indem Sie darlegen, wie jede Technik die neue, eingeschränkte Ergebnismenge darstellt.

Anhand der Mikrodaten einer Arbeitskräfteerhebung in einem Bundesland werden zwei Ereignisse bei jungen Menschen zwischen 18 und 24 Jahren untersucht: eine reguläre Ausbildung bzw. ein Studium absolvieren ($E$) und eine bezahlte Beschäftigung haben ($T$). Die geschätzten Quoten sind $P(E) = 0,55$ und $P(T) = 0,30$.

Ein Student behauptet: „Da ein Vollzeitstudium und Arbeit kaum vereinbar sind, sind die Ereignisse unvereinbar, und deshalb sind sie auch unabhängig, weil das eine nicht vom anderen abhängt.“

1. a) Zeigen Sie formal, dass zwei Ereignisse $A$ und $B$ mit Wahrscheinlichkeiten ungleich null ($P(A) > 0$ und $P(B) > 0$) nie gleichzeitig unvereinbar und unabhängig sein können. Erklären Sie in Worten den begrifflichen Fehler des Studenten.
2. b) Die Umfragedaten zeigen, dass $40\%$ der jungen Menschen weder studieren noch arbeiten ($P(\overline{E} \cap \overline{T}) = 0,40$). Berechnen Sie mithilfe der De Morganschen Gesetze und der Eigenschaften der bedingten Wahrscheinlichkeit die Wahrscheinlichkeit, dass ein junger Mensch eine Beschäftigung hat, wenn er in Ausbildung bzw. Studium ist, $P(T|E)$.
3. c) Bestimmen Sie anhand des Wertes von $P(T|E)$ im Vergleich zu $P(T)$ begründet, ob die Bedingung, in Ausbildung bzw. Studium zu sein, die Wahrscheinlichkeit einer Beschäftigung in dieser Bevölkerungsgruppe erhöht, verringert oder unbeeinflusst lässt.