Aufgaben: Ableitungen elementarer Funktionen

Berechnen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden ganzrationalen Funktion:

$f(x) = 4x^5 - \frac{3}{2}x^4 + 7x^2 - \sqrt{2}x + 5$

Bestimmen Sie mit der Produktregel die Ableitung der Funktion:

$g(x) = x^3 \ln x$

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion des folgenden Quotienten von Funktionen:

$h(x) = \frac{e^x}{x^2+1}$

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden trigonometrischen Funktion:

$f(x) = 5\sin x - 3\cos x + \tan x$

Wenden Sie die Kettenregel an, um die folgende Potenz einer Funktion abzuleiten:

$p(x) = (3x^2 - 5x + 1)^4$

Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion der folgenden verketteten Exponentialfunktion:

$q(x) = e^{4x^3 - 7x}$

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion mit Wurzel:

$r(x) = \sqrt{5x^2 - 3x + 2}$

Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden verketteten Logarithmusfunktion:

$s(x) = \ln(2x^4 + x^2 - 3)$

Emilia soll die Ableitungsfunktion von $f(x) = 3^x + \ln(4x)$ berechnen und schreibt in ihrer Klausur Folgendes:

1. a) Finden Sie die beiden Fehler, die Emilia gemacht hat. Erklären Sie ausführlich, warum es falsch ist, $3^x$ wie eine Potenzfunktion der Form $x^n$ zu behandeln und was sie bei der Anwendung der Kettenregel im Logarithmusterm vergessen hat.
2. b) Geben Sie die korrekte Rechnung Schritt für Schritt an und berechnen Sie den exakten Wert der Tangentensteigung an der Stelle $x = 1$.

Zur Berechnung der Ableitung der Funktion $f(x) = \ln\left(\frac{e^{2x}}{x^2 + 1}\right)$ diskutieren zwei Mitschüler, welchen Weg sie wählen sollen:

• Strategie A (direkt): Die allgemeine Formel $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ anwenden und den Bruch direkt mit der Quotientenregel ableiten.

• Strategie B (vorheriges Vereinfachen): Zuerst die Logarithmusgesetze $(\ln(A/B) = \ln A - \ln B$ und $\ln(e^k) = k)$ anwenden, um $f(x)$ umzuschreiben, und dann gliedweise ableiten.

1. a) Bestimmen Sie die Ableitung mit Strategie B und geben Sie das Ergebnis als einen einzigen vereinfachten Bruch an.
2. b) Begründen Sie, welche der beiden Strategien günstiger ist, um das Risiko von Rechenfehlern beim Ableiten von Funktionen mit Logarithmen zu minimieren.

Die Anzahl der aktiven Nutzer eines aufstrebenden sozialen Netzwerks (in Tausend) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Monaten) ist durch den Term $U(t) = 50 e^{0,2t^2 - 0,1t}$ gegeben. Berechnen Sie die momentane Wachstumsrate der Nutzerzahl zum Zeitpunkt $t = 3$ Monate.

Die Position einer an eine gedämpfte Feder gekoppelten Masse ist durch die Funktion $x(t) = 5 e^{-0,4t} \cos(3t)$ gegeben, wobei $x$ in Zentimetern und $t$ in Sekunden gemessen wird. Bestimmen Sie die Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$ des Oszillators, indem Sie die Ortsfunktion ableiten.

Die Gesamtkosten für die Produktion von $q$ Stück eines hochpräzisen elektronischen Bauteils werden in Euro durch die Funktion $C(q) = \frac{200q^2 + 500}{q+2}$ modelliert. Berechnen Sie die Grenzkosten $C'(q)$, wenn genau $q = 10$ Stück produziert werden.

Wenden Sie die Kettenregel mehrfach an, um die Ableitungsfunktion der folgenden trigonometrischen Funktion zu bestimmen:

$f(x) = \sin^3(2x^2 + \pi)$

Verwenden Sie die Logarithmusgesetze, um den Term vor dem Ableiten zu vereinfachen, und bestimmen Sie die Ableitung der Funktion:

$g(x) = \ln\left(\sqrt{\frac{x-2}{x+2}}\right)$

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die durch $f(x) = x e^{-2x} + \cos(\pi x)$ definierte Kurve an der Stelle $x = 0$.

Die Temperatur $T$ (in Grad Celsius) eines Industriemotors in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (in Minuten) nach dem Abschalten folgt dem newtonschen Abkühlungsgesetz, gegeben durch $T(t) = 25 + 85 e^{-0,05t}$. Berechnen und deuten Sie den Wert von $T'(10)$, d. h. die Geschwindigkeit, mit der die Temperatur nach 10 Minuten sinkt.

Berechnen Sie die Ableitung der folgenden Funktion, die Arkusfunktionen mit Exponentialfunktionen und Polynomen kombiniert:

$h(x) = \arctan(e^x) + \arcsin(2x)$

Betrachten Sie die Funktion $f(x) = \arctan(3x)$.

1. a) Nehmen Sie, bevor Sie irgendeine Ableitung berechnen, die folgenden qualitativen Abschätzungen vor und argumentieren Sie dabei mit dem Graphen und der Definition des Arkustangens:

• Welches Vorzeichen erwarten Sie für die Steigung der Tangente bei beliebigem $x$?

• In welchem der beiden Punkte, $x = 0$ oder $x = 2$, erwarten Sie, dass die Tangente steiler ist (größere Steigung)?

1. b) Berechnen Sie formal die Ableitungsfunktion $f'(x)$ und bestimmen Sie die exakten Werte von $f'(0)$ und $f'(2)$.
2. c) Prüfen Sie, ob die erhaltenen Werte mit Ihren Abschätzungen übereinstimmen, und begründen Sie, was mit dem Wert der Steigung geschieht, wenn $x$ unbegrenzt groß wird ($x \to +\infty$), und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.

Anhand von Aufzeichnungen des Deutschen Wetterdienstes (DWD) während einer Hitzewelle in Köln wird die Temperatur $T$ (in Grad Celsius) im Verlauf eines Sommertages durch die folgende Funktion modelliert:

wobei $t$ die seit Mitternacht vergangene Zeit in Stunden ist ($t \in [0; 24]$).

1. a) Bestimmen Sie den Term der momentanen Änderungsrate der Temperatur, $T'(t)$, und geben Sie deutlich die Einheit an, in der sie gemessen wird.
2. b) Berechnen Sie $T'(10)$ und $T'(16)$ und deuten Sie ihre Bedeutung. Zu welchem dieser beiden Zeitpunkte ändert sich die Temperatur schneller?
3. c) Lösen Sie die Gleichung $T'(t) = 0$ im Intervall $[0; 24]$ mit Begründung und bestimmen Sie, zu welchen Uhrzeiten die minimale und die absolute maximale Temperatur auftreten, und geben Sie beide Temperaturwerte an.

Bestimmen Sie die Werte der reellen Parameter $a$ und $b$ so, dass die Funktion $f(x) = \frac{ax+b}{x^2+4}$ im Punkt $P(2|1)$ einen relativen Extrempunkt hat.

Zeigen Sie mit der Quotientenregel und dem trigonometrischen Pythagoras ($\sin^2 x + \cos^2 x = 1$), dass die Ableitung der Sekansfunktion $f(x) = \frac{1}{\cos x}$ gleich $f'(x) = \tan x \cdot \sec x$ ist.

Ein Lichtstrahl läuft vom Punkt $A(0|a)$ zum Punkt $B(d|b)$ und wird dabei an einem ebenen Spiegel reflektiert, der auf der x-Achse im Punkt $P(x|0)$ liegt. Die insgesamt vom Licht zurückgelegte Strecke ist durch die Funktion $L(x) = \sqrt{x^2 + a^2} + \sqrt{(d-x)^2 + b^2}$ gegeben. Berechnen Sie $L'(x)$ und zeigen Sie, dass die Bedingung minimaler Weglänge $L'(x) = 0$ bedeutet, dass der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel ist ($\sin \theta_1 = \sin \theta_2$).

In einem epidemiologischen Modell folgt der Anteil der mit einem Virus infizierten Bevölkerung im Verlauf der Zeit $t$ (in Wochen) einer logistischen Kurve, die durch $I(t) = \frac{1}{1 + 49e^{-0,5t}}$ gegeben ist. Berechnen Sie die Änderungsrate der Infektion $I'(t)$ und bestimmen Sie, in welcher Woche sich die Krankheit am schnellsten ausbreitet (also den Wendepunkt, an dem $I''(t) = 0$).

Bestimmen Sie den allgemeinen Term für die n-te Ableitung (der Ordnung $n$) der Funktion $f(x) = \ln(2x - 1)$.

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Kurve $f(x) = e^x \cos x$, die parallel zur Geraden $y = -e^{\pi} x + 5$ verläuft, wobei der Berührpunkt im Intervall $[0; 2\pi]$ liegt.

Der monatliche Gewinn eines Softwareunternehmens in Tausend Euro wird durch die Funktion $B(x) = x^2 \ln\left(\frac{10}{x}\right)$ modelliert, wobei $x$ die Marketinginvestition in Tausend Euro ist ($0 < x \le 10$). Berechnen Sie die optimale Investition $x$, die den Gewinn maximiert, und zeigen Sie, dass es sich um ein relatives Maximum handelt.

In einer biomedizinischen Studie wird die Blutkonzentration $C(t)$ (in mg/l) eines Wirkstoffs nach oraler Einnahme durch eine Funktion der Familie

modelliert, wobei $t$ die vergangene Zeit in Stunden ist und die Konstanten $a$ und $k$ positive reelle Parameter sind.

1. a) Bestimmen Sie die exakten Werte von $a$ und $k$, wenn bekannt ist, dass die anfängliche Aufnahmegeschwindigkeit in den Blutkreislauf $6\text{ mg/(l}\cdot\text{h)}$ beträgt (d. h. $C'(0) = 6$) und dass die maximale Konzentration genau 2 Stunden nach der Einnahme erreicht wird (d. h. $C'(2) = 0$).
2. b) Berechnen Sie mit den gefundenen Werten die Änderungsrate 4 Stunden nach der Einnahme ($C'(4)$) und deuten Sie das erhaltene Vorzeichen.
3. c) Zeigen Sie analytisch, dass die Ableitungsfunktion für jeden Zeitpunkt $t > 2$ streng $C'(t) < 0$ erfüllt, und begründen Sie, welche klinische Bedeutung diese Tatsache für den Verlauf der Wirkstoffkonzentration hat.

Zwei Schüler gehen die Berechnung der Ableitung der auf $[-1; 1]$ definierten Funktion $f(x) = \arcsin(x) + \arccos(x)$ unterschiedlich an:

• Lea wendet mechanisch die Regeln der Ableitungstabelle auf beide elementaren Funktionen an und addiert die algebraischen Ergebnisse.

• Matteo erinnert sich an die geometrische Eigenschaft komplementärer Winkel im rechtwinkligen Dreieck, nach der $\arcsin(x) + \arccos(x) = \frac{\pi}{2}$ für alle $x \in [-1; 1]$ gilt, und leitet diese Konstante ab.

1. a) Führen Sie Leas analytisches Vorgehen zur Berechnung von $f'(x)$ im Intervall $]-1; 1[$ aus. Was kann jeder Betrachter unmittelbar aus ihrer Ableitung am Graphen von $f(x)$ ablesen?
2. b) Erklären Sie, wie Matteos geometrische Überlegung Leas Ergebnis bestätigt, und vergleichen Sie die Effizienz beider Ansätze.
3. c) Wählen Sie die geeignetste Methode zur Berechnung der Ableitungsfunktion von $g(x) = \arctan(x) + \arctan\left(\frac{1}{x}\right)$ für alle $x > 0$ und begründen Sie Ihre Wahl. Führen Sie die Rechnungen durch und erklären Sie, welche geometrische Eigenschaft der Wert von $g'(x)$ für die Funktion $g$ offenbart.