Aufgaben: Einfluss von n und p

Ein Histogramm der Binomialverteilung mit $n=10$ und $p=0,5$ ist symmetrisch.

1. a) Berechnen Sie den Erwartungswert.
2. b) Geben Sie an, bei welchem Wert von $k$ das Maximum der Wahrscheinlichkeiten liegt.

Eine Zufallsgröße $X$ ist binomialverteilt mit $n=20$ und $p=0,1$.

1. a) Berechnen Sie $\mu$ und $\sigma$.
2. b) Beschreiben Sie die Form des Histogramms (symmetrisch, linksschief oder rechtsschief).

Ein Histogramm einer Binomialverteilung hat sein Maximum bei $k=6$ und ist annähernd symmetrisch. Es gilt $n=12$. Bestimmen Sie $p$ näherungsweise.

Vergleichen Sie die Histogramme von $X_1\sim B(20;0,3)$ und $X_2\sim B(20;0,7)$.

1. a) Berechnen Sie jeweils Erwartungswert und Standardabweichung.
2. b) Beschreiben Sie, wie die beiden Histogramme zueinander liegen.

Ein Würfel wird $n$-mal geworfen; $X$ zählt die Sechsen.

1. a) Berechnen Sie $\sigma$ für $n=30$ und für $n=120$.
2. b) Erläutern Sie, wie sich die Breite und die Höhe des Histogramms verändern, wenn $n$ wächst.
3. c) Bestimmen Sie $n$, damit $\sigma = 5$ gilt.

Ein Unternehmen in Stuttgart stellt Bauteile mit einem Ausschussanteil von $p=0,05$ her. In einer Stichprobe vom Umfang $n=100$ ist $X$ die Anzahl defekter Teile.

1. a) Berechnen Sie $\mu$ und $\sigma$.
2. b) Beschreiben Sie, wie das Histogramm aussieht.
3. c) Bestimmen Sie $P(X\le 3)$ mit dem Taschenrechner.

Für $X\sim B(n;p)$ gilt $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$.

1. a) Zeigen Sie, dass $\sigma$ bei festem $n$ für $p=0,5$ maximal wird.
2. b) Begründen Sie damit, warum Histogramme für $p=0,5$ am breitesten sind.
3. c) Begründen Sie, dass für $p$ und $1-p$ die Histogramme spiegelbildlich zueinander sind.

Drei Histogramme gehören zu den Binomialverteilungen $B(10;0,2)$, $B(10;0,5)$ und $B(40;0,5)$. Das erste Histogramm hat sein Maximum bei $k=2$, das zweite bei $k=5$ und ist schmal, das dritte bei $k=20$ und ist breit.

1. a) Ordnen Sie jedem Histogramm eine Verteilung zu und begründen Sie die Zuordnung mit Erwartungswert und Standardabweichung.
2. b) Berechnen Sie für $B(40;0,5)$ die Wahrscheinlichkeit $P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)$ näherungsweise mit dem Taschenrechner.
3. c) Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Faustregel von etwa $68\,\%$.

Bei einer Wahl in Dresden unterstützen $p=0,3$ der Wahlberechtigten eine Partei. Es werden $n$ Personen zufällig befragt.

1. a) Bestimmen Sie $\mu$ und $\sigma$ für $n=50$ und $n=500$ sowie die relative Streuung $\sigma/\mu$.
2. b) Erläutern Sie, wie sich die Verteilung der relativen Häufigkeit $X/n$ mit wachsendem $n$ verändert.
3. c) Bestimmen Sie den kleinsten Stichprobenumfang $n$, für den $\sigma/n\le 0,02$ gilt.